一、解析式的表达形式——解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。

1、一般式是大部分函数的表达形式，例

一次函数：b kx y += )0(≠k ；二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x

k y =

)0(≠k ；正比例函数：kx y = )0(≠k 2、分段式：函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n 个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。 例1、设函数(]()

⎩⎨⎧+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 的值为 。

3、复合式：若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。

例2、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。

二、解析式的求法—根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。

1待定系数法——若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。

例3、已知二次函数)(x f y =满足),2()2(--=-x f x f 且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f y =的解析式。 分析：二次函数的解析式有三种形式：

① 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f

② 顶点式：()为函数的顶点点其中k h a k h x a x f ,,0)()(2≠++= ③ 双根式：的两根是方程与其中0)(,0))(()(2121=≠--=x f x x a x x x x a x f

2、换元法——例4、已知：11)11(2-=+x

x f ，求)(x f 。

注意：使用换元法要注意t 的范围，这是一个极易忽略的地方。

3、配凑法——例5、已知：221)1(x

x x x f +=+，求)(x f 。

注意：1、使用配凑法也要注意自变量的范围；

2、换元法和配凑法在解题时可以通用，若一题能用换元法求解析式，则也能用配凑法求解析式。

4、赋值（式）法：例6、已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立，且0)1(=f 。(1)求)0(f 的值；(2)求)(x f 的解析式。

5、方程法——例7、已知：)0(,31)(2≠=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+x x x f x f ，求)(x f 。

三、练习

（一）换元法1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式. 2．若x

x x f -=1)1(,求)(x f .

（二）．配凑法3．已知221)1(x

x x x f +=-, 求)(x f 的解析式. 4．若x x x f 2)1(+=+,求)(x f .

（三）．待定系数法5．设)(x f 是一元二次函数, )(2)(x f x g x ⋅=,且212)()1(x x g x g x ⋅=-++,求)(x f 与)(x g .

6．设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ,且图象在y 轴上截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求)(x f 的表达式.

（四）．解方程组法 7．设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式x x

f x f 4)1(2)(3=+,求)(x f 的解析式.

8．（1）若x x

x f x f +=-+1)1(

)(,求)(x f . （2）若f(x)+f(1-x)=1+x,求f(x).

（五）．特殊值代入法9．若)()()(y f x f y x f ⋅=+,且2)1(=f ，求值)

2004()2005()3()4()2()3()1()2(f f f f f f f f ++++ .

10．已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f

（六）．利用给定的特性求解析式.

11．设)(x f 是偶函数,当x ＞0时, x e x e x f +⋅=2)(,求当x ＜0时，)(x f 的表达式.

12．对x ∈R, )(x f 满足)1()(+-=x f x f ,且当x ∈[－1,0]时, x x x f 2)(2+=求当

x ∈[9,10]时)(x f 的表达式.下载本文