导数与数列型不等式的交汇问题，体现了导数的工具性，凸显了知识之间的纵横联系，一些题构思精巧、新颖，加强对能力的考察，逐渐成为高考的新亮点。本文就2014年高考陕西理数第21题谈起，总结解决此类问题的一般思路和方法。
例1 （2014年高考陕西卷 理21）设函数，，，其中是的导函数.
（1），求的表达式；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，比较与的大小，并加以证明.
解：（1），，，，，
，，，，
假设当时，，则
当时，也成立.综上，，
（2），，，.
令，，易知，则，.
当时，在上恒成立，在上单调递增，，满足条件；
当时，令，解得，令，解得.
于是在上单调递减，在上单调递增，，与题设矛盾，
综上可知.
（3），证明如下：
要证，
只需证.
在（2）中取，可得，，
令，，则，
故有，，…，，
上述各式相加可得.
从上面的解答方法可以看出，解决问题的方法为由函数得到函数不等式，进而对取值，再得到数列不等式，达到解决问题的目的。在此过程中有两个关键步骤：其一是如何得到函数不等式，其二是如何由函数不等式过渡到数列不等式。下面通过几道例题来感受一下：
例2 已知函数，，
（1）求函数的单调区间；
（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：.
解：（1）函数的单调增区间为，单调减区间为.
（2），，. 令，，
令，解得；令，解得.
则在单调递增，在单调递减，故，则.
（3）由（2）知，，
.
例3 已知函数.
（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；
（2）当且时，证明：.
解：（1）实数的取值范围为.
（2）由（1）知，令，则在上为增函数，，
即，当且仅当时取等号.
要证明，只需证.
在中取，有，则；
在中取，易知，则.
综上可知成立，则原命题成立.下载本文
