本章研究液体机械运动的基本规律及其在工程中的初步应用。根据物理学和理论力学中的质量守恒原律、牛顿运动定律及动量定理等，建立水动力学的基本方程，为以后各章的学习奠定理论基础。
液体的机械运动规律也适用于流速远小于音速（约340 m/s）的低速运动气体。因为当气体的运动速度不大于约50m/s时，其密度变化率不超过1%，这种情况下的气体也可认为是不可压缩流体，其运动规律与液体相同。
研究液体的运动规律，也就是要确定描述液体运动状态的物理量，如速度、加速度、压强、切应力等运动要素随空间与时间的变化规律以及相互关系。
由于实际液体存在粘性，使得水流运动分析十分复杂，所以工程上通常先以忽略粘性的理想液体为研究对象，然后进一步研究实际液体。在某些工程问题上，也可将实际液体近似地按理想液体估算。
§3-1 描述液体运动的两种方法
描述液体运动的方法有拉格朗日（J.L.Lagrange）法和欧拉（L.Euler）法两种。
1．拉格朗日法（Lagrangian View） 拉格朗日法是以液体运动质点为对象，研究这些质点在整个运动过程中的轨迹（称为迹线）以及运动要素(Kinematic Parameter)随时间的变化规律。每个质点运动状况的总和就构成了整个液体的运动。所以，这种方法与一般力学中研究质点与质点系运动的方法是一样的。
用拉格朗日法描述液体的运动时，运动坐标不是变量，设某质点在初始时刻t=t0时的空间坐标为a、b、c（称为起始坐标），则它在任意时刻t的运动坐标x、y、z可表示为确定这个质点的起始坐标与时间变量的函数，即
(3-1-1)
变量a，b，c，t统称为拉格朗日变量。显然，对于不同的质点，起始坐标a，b，c是不同的。根据式（3-1-1），将某质点运动坐标时间历程描绘出来就得到该质点的迹线(Trace)。
在直角坐标中，给定质点在x，y，z方向的流速分量ux，uy，uz可通过求相应的运动坐标对时间的一阶偏导数得到，即
(3-1-2)
给定质点在x，y，z方向的加速度分量ax，ay，az，可通过求相应的流速分量对时间的一阶偏导，或求相应的运动坐标对时间的二阶偏导得到，即
(3-1-3)
由于液体质点的运动轨迹非常复杂，用拉格朗日法分析流动，在数学上会遇到很多的困难，同时实用上一般也不需要知道给定质点的运动规律，所以除少数情况外（如研究波浪运动），水力学通常不采用这种方法，而采用较简便的欧拉法。
2．欧拉法(Eulerian View) 欧拉法是把液体当作连续介质，以充满运动质点的空间——流场(Flow Field)为对象，研究各时刻流场中不同质点运动要素的分布与变化规律，而不直接追踪给定质点在某时刻的位置及其运动状况。
用欧拉法描述液体运动时，运动要素是空间坐标x，y，z与时间变量t的连续可微函数。变量x，y，z，t统称为欧拉变量。因此，各空间点的流速所组成的流速场可表示为
(3-1-4)
各空间点的压强所组成的压强场可表示为
(3-1-5)
加速度应是速度对时间的全导数。注意到式（3-1-4）中x，y，z是液体质点在t时刻的运动坐标，对同一质点来说它们不是变量，而是时间变量t的函数。根据复合函数求导规则，得
式中
；；
故
同理 (3-1-6)
上式右边第一项表示通过固定点的液体质点速度随时间的变化率，称为当地加速度：等号右边后三项反映了在同一时刻因地点变更而形成的加速度，称为迁移加速度。所以，用欧拉法描述液体运动时，液体质点的加速度应是当地加速度与迁移加速度之和。例如，由水箱侧壁开口并接出一根收缩管（图3-1-1），水经该管流出。由于水箱中的水位逐渐下降，收缩管内同一点的流速随时间不断减小；另一方面，由于管段收缩，同一时刻收缩管内各点的流速又沿程增加（理由见§3-3）。前者引起的加速度就是当地加速度（在本例中为负值），后者引起的加速度就是迁移加速度（在本例中为正值）。
图3-1-1
§3-2 欧拉法的几个基本概念
1．恒定流与非恒定流(Steady Flow and Unsteady Flow) 液体运动可分为恒定流与非恒定流两类。若流场中所有空间点上一切运动要素都不随时间改变，这种流动称为恒定流。否则，就叫做非恒定流。例如，图3-1-1中水箱里的水位不恒定时，水流中各点的流速与压强等运动要素随时间而变化，这样的流动就是非恒定流。若设法使箱内水位保持恒定，则液体的运动就成为恒定流。
恒定流中一切运动要素只是坐标x，y，z的函数，而与时间t无关，因而恒定流中
(3-2-1)
恒定流中当地加速度等于零，但迁移加速度可以不等于零。
恒定流与非恒定流相比较，欧拉变量中少了一个时间变量t，因而问题要简单得多。在实际工程中不少非恒定流问题的运动要素随时间非常缓慢地变化，或者是在一段时间内运动要素的平均值几乎不变，此时可近似地把这种流动当作恒定流处理。另外，有些非恒定流经改变坐标系后可变成恒定流。例如，船在静止的河水中等速直线行驶时，船两侧的水流对于岸上的人看来（即对于固结于岸上的坐标系来说）是非恒定流，但对于站在船上的人看来（即对于固结于船上的坐标系来讲）则是恒定流，它相当于船不动，而远处水流以与船相反的方向等速流过来。
2．一元流、二元流与三元流(One_,Two_ and Three_Dimensional Flow) 恒定流与非恒定流是根据欧拉变量中的时间变量对运动要素有无影响来分类的；若考察运动要素与坐标变量的关系，液体的流动可分为一元流、二元流与三元流。
若运动要素是三个空间坐标的函数，这种流动就称为三元流；若是二个坐标（不限于直角坐标）的函数，就叫做二元流；若是一个坐标（如沿流动方向的坐标）的函数，就叫做一元流。
液体一般在三元空间中流动。例如，水在断面形状与大小沿程变化的天然河道中的流动，水对船体的绕流等等，这类流动属于三元流。
若液体在平行平面间流动，而且在与这些平面垂直的方向上各点的流动状态相同，则称为平面流动。平面流动就属于二元流动。例如，水在非常宽阔的矩形渠道中流动，远离侧边的与xz平面平行的诸铅垂面上（图3-2-1中a-a，b-b，c-c断面）的流动就是直角坐标系中的二元流动。在这些平面上运动要素与直角坐标中的y无关，而只是x，z的函数。又如，实际液体在圆截面（轴对称）管道中的流动（图3-2-2），运动要素只是柱坐标中r，x的函数，而与θ角无关，这也是二元流动。其断面流速分布如图所示，由于液体的粘性及对管壁的附着作用，紧靠管壁的液体质点的流速等于零，而管道轴上的液体质点因受管壁的影响最小，故流速最大，中间是过渡状态。
图3-2-2
若考虑流道（管道或渠道）中实际液体运动要素的断面平均值（图3-2-3），则运动要素只是曲线坐标s的函数，这种流动属于一元流动。
显然，坐标变量越少，问题越简单。因此在工程问题中，在保证一定精度的条件下，尽可能将复杂的三元流动简化为二元流动乃至一元流动，求得它的近似解。在水力学中经常运用一元分析法或总流分析法来解决管道与渠道中的许多流动问题。
3．流线，均匀流与非均匀流
（1）流线(Streamline) 为了用欧拉法形象地描绘流速矢量场，引进流线的概念。若某时刻在流速场中画出这样一条空间曲线，它上面所有液体质点的流速矢量都与这一曲线相切，这条曲线就称为该时刻的一条流线。因此，流线表明了某时刻流场中各点的流速方向。流线的作法如下：在流速场中任取一点1（图3-2-4），绘出在某时刻通过该点的质点的流速矢量u1，再在该矢量上取距点1很近的点2处，标出同一时刻通过该处的质点的流速矢量u2……如此继续下去，得一折线1 2 3 4 5 6……，若折线上相邻各点的间距无限接近，其极限就是某时刻流速场中经过点1的流线。
在整个运动液体的空间可绘出一系列的流线，称为流线簇，流线簇构成的流线图称为流谱（图3-2-5）。不可压缩的液体中，流线簇的疏密程度反映了流场各点的速度大小。流线密集的地方流速大，而稀疏的地方速度小（理由见§3-3）。
流线和迹线是两个完全不同的概念。非恒定流的流线与迹线不相重合，但恒定流的流线与迹线相重合。可利用图3-2-4作如下说明：设某时刻经过点1的质点的流速为u1，经dt1时间该质点运动到无限接近的点2时，在恒定流条件下，仍以原来的流速u2运动，于是经过dt2时间，它必然到达点3，……如此继续下去，则曲线1-2-3…即为迹线。而前面已说明此曲线为流线。因此，液体质点的运动迹线在恒定流时与流线相重合。
根据流线的定义可得到流线的微分方程：设ds为流线的微元长度，u为质点在该点的流速，因两者重合故流线方程应满足
ds×u=0
在直角坐标系中即
式中i，j，k分别是x，y，z方向的单位矢量。展开后得到流线的微分方程为
(3-2-2)
流速分量ux，uy，uz是坐标x，y，z与时间t的函数，这里t是以参数形式出现的。非恒定流时，因流场中各点的流速矢量随时间变化，因此，流线在不同时刻有不同的形状；反之，恒定流的流线形状与位置不随时间改变。
例3-1 已知流速场为
其中C为常数，求流线方程。
解 由式（3-2-2），
化简为
积分得
则
此外，则uz=0得
则
因此，流线为xOy平面上的一簇通过原点的直线（图3-2-6）。这种流动称为平面点源流动（C＞0时）或平面点汇流动（C＜0时＝。
图3-2-6
（2）流线的性质：
①恒定流的流线形状不随时间变化，非恒定流的流线形状随时间变化；
②恒定流的流线与迹线重合，非恒定流的流线与迹线不重合；
③流线一般不会相交，也不会转折(驻点除外)。
推论：过流场中一点，只能引一条流线。
（3）均匀流与非均匀流(Uniform Flow and Nonuniform Flow) 根据流线形状不同可将液体流动分为均匀流与非均匀流两种。若诸流线是平行直线，这种流动就称为均匀流；否则，称为非均匀流。例如，液体在等截面直管中的流动，或液体在断面形状与尺寸沿程不变的直长渠道中的流动都是均匀流。若液体在收缩管、扩散管或弯管中的流动，以及液体在断面形状或尺寸沿程变化的渠道中的流动都形成非均匀流。在均匀流中，位于同一流线上各质点的流速大小和方向均相同，而在非均匀流中情况与上述相反。
均匀流与恒定流，非均匀流与非恒定流是两种不同的概念。恒定流的当地加速度等于零，而均匀流的迁移加速度等于零。所以，液体的流动分为恒定均匀流，恒定非均匀流，非恒定非均匀流，非恒定均匀流四种情况。在明渠流中，由于存在自由液面，所以一般不存在非恒定均匀流这一情况。
根据流线的概念还可引入以下几个重要的概念。
4．流管、元流、总流、过水断面、流量与断面平均流速
（1）流管(Streamtube) 在流场中画出任一微小封闭曲线l（不是流线），它所围的面积为无限小，经该曲线上各点作流线，这些流线所构成的封闭管状面称为流管（图3-2-7a）。
根据流线的性质，在各个时刻，液体质点只能在流管内部或沿流管表面流动，而不能穿破流管。
图3-2-7
（2）元流(Filament) 流管所包含的液流称为元流或微小流束（图3-2-7b）。因恒定流时流线的形状与位置不随时间改变，故恒定流时流管及元流的形状与位置也不随时间改变。
（3）总流(Total Flow) 具有一定边界和规模的实际流动称为总流。总流可视为无数个元流之和。
（4）过水断面(Cross Section) 与元流或总流正交的横断面称为过水断面。过水断面不一定是平行面，流线互不平行的非均匀流过水断面是曲面；流线相互平行的均匀流过水断面才是平面（图3-2-8）。
图3-2-8
总流的过水断面面积A等于无数元流的过水断面面积dA之和。
元流的过水断面面积为无限小，断面上各点的运动要素，如流速、压强等，在同一时刻可认为是相同的，而总流的过水断面上各点的运动要素一般是不同的。
（5）流量(Discharge) 单位时间内通过过水断面的液体体积称为流量，以Q表示。流量的单位是米3/秒（m3/s）或升/秒（l/s）等，量纲为[L3T-1]。
因为元流过水断面上各点的速度在同一时刻可认为是相同的，而过水断面又与流速矢量正交，所以元流的流量为
(3-2-3)
而总流的流量等于所有元流的流量之和，即
(3-2-4)
若流速u在过水断面上的分布已知，则可通过积分求得通过该过水断面的流量。
一般流量指的是体积流量，但有时也引用重量流量(γQ)与质量流量(ρQ)，它们分别表示单位时间通过过水断面的液体重量与质量。重量流量的单位为牛/秒（N/s）或牛/小时（N/h）等。质量流量的单位为公斤/秒（kg/s）或公斤/小时（kg/h）等。
（6）断面平均流速(Mean Velocity) 一般断面流速分布不易确定，此时可根据积分中值定理引进断面平均流速v确定，积分式（3-2-4）
(3-2-5)
这就是说，假定总流过水断面上流速按v值均匀分布，由此算得的流量vA应等于实际流量Q。其几何解释是：以底为A、高为v的柱形体积等于流速分布曲线与过水断面所围的体积（图3-2-9）。显然
(3-2-6)
图3-2-9
从上述分析可知，引进断面平均流速后可将实际三元或二元问题简化为一元问题，这就是一元分析法或总流分析法（参见图3-2-3）。
§3-3 连续性方程(Continuity Equation)
液体一元流动的连续方程是水力学的一个基本方程，它是质量守恒原理在水力学中的应用。
从总流中任取一段（图3-3-1），其进口过水断面1-1面积为A1，出口过水断面2-2面积为A2；再从中任取一元流，其进口过水断面为dA1，流速为u1，出口过水断面积为dA2，流速为u2。考虑到：
图3-3-1
（1）在恒定流条件下，元流的形状与位置不随时间改变；
（2）不可能有液体经元流侧面流进或流出；
（3）液体是连续介质，元流内部不存在空隙。
根据质量守恒原理，单位时间内流进dA1的质量等于流出dA2的质量，因元流过水断面很小，可认为ρu均布， 即
＝常数 (3-3-1)
对于不可压缩的液体，密度ρ1=ρ2=常数，则有
(3-3-2)
这就是元流的连续性方程。它表明：不可压缩元流的流速与其过水断面积成反比，因而流线密集的地方流速大，而流线稀疏的地方流速小。
总流是无数个元流之和，将元流的连续性方程在总流过水断面上积分可得总流的连续性方程：
引入入断面平均流速后成为
(3-3-3)
这就是不可压缩恒定总流的连续性方程，它在形式上与元流的连续性方程相似，应注意的是：总流是以断面平均流速v代替点流速u。上式表明，不可压缩液体的恒定总流中，任意两过水断面，其平均流速与过水断面面积成反比。
连续性方程是不涉及任何作用力的方程，所以，它无论对于理想液体或实际液体都适用。
连续性方程不仅适用于恒定流条件下，而且在边界固定的管流中，即使是非恒定流，对于同一时刻的两过水断面仍然适用。当然，非恒定管流中流速与流量都要随时间改变。
上述总流的连续性方程是在流量沿程不变的条件下导得的。若沿程有流量汇入或分出，则总流的连续性方程在形式上需作相应的修正。如图3-3-2所示的情况，
(3-3-4)
图3-3-2
例3-2 直径d为100mm的输水管道中有一变截面管段（图3-3-3），若测得管内流量Q为10l/s，变截面弯管段最小截面处的断面平均流速v0=20.3m/s，求输水管的断面平均流速 v及最小截面处的直径d0。
图3-3-3
解 由式（3-2-6），
=1.27m/s
根据式（3-3-3）
=0.000626
故 d0=0.0250m=25mm
§3-4 连续性微分方程(Differential Equation of Continuity)
将质量守恒原理应用于流场中的微元空间，可导得三元流动的连续性微分方程。
假定液体连续地充满着整个流场，从中任取一个以O′（x，y，z）点为中心的微分六面体（图3-4-1），边长为dx，dy，dz，分别平等于坐标轴x，y，z。设某时刻通过O′点的液体质点的三个流速分量为ux，uy，uz，将它们按泰勒级数展开，并略去高阶小量，可得到该时刻通过六面体的六个表面中心点的质点流速。例如，沿x方向通过左表面中心点M的流速等于
图3-4-1
通过右表面中心点N的流速等于
再分析在单位时间内通过六面体的质量变化。因为六面体无限小，可认为其各表面上的流速均匀分布，所以单位时间流进左表面的质量是
单位时间流出右表面的质量是
单位时间沿x方向流出与流进六面体的质量差为
同理，单位时间沿y方向及z方向，流出与流进六面体的质量差为
与
若液体是连续的，则根据质量守恒原理，单位时间内流出与流入六面体的质量差应等于六面体内因密度变化而减少的质量，即
整理得 (3-4-1)
这就是连续性微分方程的一般形式。
对于恒定流，，上式成为
(3-4-2)
对于均匀不可压缩的液体，ρ=常数，式（3-4-1）成为
(3-4-3)
这就是运动液体的连续性微分方程。方程（3-4-3）给出了通过一固定空间点液体的三个流速分量之间的关系，它表明：对于不可压缩液体，单位时间单位体积空间内流出与流入的液体体积之差等于零，即液体体积守恒。
不可压缩液体的连续性微分方程（3-4-3）对于理想液体或实际液体都适用。
液体总流的连续性方程还可通过液体的连续性微分方程对总流体积积分导得。设总流1-1-2-2-1中的体积为V（图3-3-1），其微分体积为dV，则有
假定总流的表面积为s，其微面积为ds，根据数学分析中的奥斯特洛格拉斯基-高斯 （Отроградский-Gauss）定理，
式中un为总流表面的法向分速度。
则
对于总流的形状不随时间改变的流动，注意到总流侧面上的法向流速等于零，而过水断面上的流速即法向流速，则上式成为
式中第一项为正值是因u2与A2的外法向一致，而第二项取负值是因u1与A1的外法向相反。
利用断面平均流速的概念，上式可改写为
＝常数
得到总流的连续性方程（3-3-3）。
§3-5 理想液体的运动微分方程(Euler's Equation of Motion)
运用牛顿第二运动定律可导得理想液体三元流动的运动微分方程。
从运动的理想液体中任取一个以O′（x，y，z）点为中心的微分六面体，边长为dx，dy，dz，分别平行于坐标轴x，y，z（图3-5-1），它与推导连续性微分方程时所取的微分六面体不同，微分体不是代表固定空间，而是代表一个运动质点（微团）。
图3-5-1
设O′（x，y，z）点的流速分量为ux，uy，uz；对于理想液体，表面力中不存在切应力，而只有动水压强，它是空间点坐标与时间变量的单值可微函数，故可设O′点的动水压强为p（x，y，z，t）。
作用于理想液体微分六面体的外力有表面力与质量力，根据牛顿第二运动定律，作用于六面体的外力在某轴方向投影之代数和，等于该液体质量乘以在同轴方向的加速度ΣF=ma。x轴方向有
两边除以ρdxdydz（即对单位质量而言），整理得
同理 (3-5-1)
若将上式右侧按式（3-1-6）展开，得
(3-5-2)
方程（3-5-1）或（3-5-2）称为理想液体的运动微分方程，又称为欧拉运动微分方程。该方程对于恒定流或非恒定流，对于不可压缩流体或可压缩流体都适用。当液体平衡时，，则得欧拉平衡微分方程式（2-2-1）。
欧拉运动微分方程只适用于理想液体。对于实际液体，需进一步考虑切应力的作用。实际液体的运动微分方程的一般形式称为纳维尔-斯托克斯(Navier-Stokes)方程。因其推导繁复，故在此仅介绍所得结果。
(3-5-3)
式中称为拉普拉斯（Laplace）算子符，为液体的运动粘性系数，表示切应力作用的粘性项。
§3-6 理想液体运动微分方程的伯诺里积分
对于不可压缩液体，理想液体运动微分方程中有四个未知数：ux，uy，uz与p，它与连续性微分方程一起共四个方程，因而从原则上讲，理想液体运动微分方程是可解的。但是，由于它是一个一阶非线性的偏微分方程组（迁移加速度的三项中包含了未知函数与其偏导数的乘积），所以至今仍未能找到它的通解，只是在几种特殊情况下得到了它的特解。
水力学中最常见的伯诺里（D.Bernoulli）积分，是在以下具体条件下积分得到的：
（1）恒定流，此时
因而
（2）液体是均质不可压缩的，即ρ=常数
（3）质量力有势。设W（x，y，z）为质量力的力势函数（见式（2-2-4））则
对于恒定的有势质量力，
（4）沿流线积分（在恒定流条件下也就是沿迹线积分），此时
首先将欧拉运动微分方程（3-5-1）三式分别乘以dx，dy，dz，然后相加，得
利用上述四个条件得
因ρ=常数，故上式可写成
积分得
(3-6-1)
这就是伯诺里积分，它表明：对于不可压缩的理想液体，在有势的质量力作用下作恒定流时，在同一条流线上值保持不变。但对于不同的流线，伯诺里积分常数一般是不同的。
§3-7 伯诺里方程(Bernoulli's Equation)
若作用在理想液体上的质量力只有重力，当z轴铅垂向上时，有
将其代入式（3-6-1）得
(3-7-1)
上式各项是对单位质量而言，若各项除以g，则是对单位重量而言,注意到γ=ρg，则有
(3-7-2)
对于同一流线的任意两点1与2，上式可改写成
(3-7-3)
这是理想元流的伯诺里方程（又称为能量方程）。由于元流的过水断面面积无限小，流线是元流的极限状态，所以沿流线的伯诺里方程也就是元流的伯诺里方程。这一方程在水力学中极为重要，它反映了重力场中理想元流（或者说沿流线）作恒定流时，位置标高z，动水压强p与流速u之间的关系。
理想元流的伯诺里方程还可简单地利用动能定理导得。1738年伯诺里本人就是这样得到的。
在理想液体中任取一段元流（图3-7-1）。进口过水断面为1-1，面积为dA1，形心距离某基准面0-0的铅垂高度为z1，流速为u1，动水压强为p\\-1；而出口过断面为2-2，其相应的参数为dA2，z2，u2与p2。元流同一过水断面上各点的流速与动水压强可认为是均布的。
图3-7-1
假定是恒定流，经过时间dt，所取流段从1-2位置变形运动到1′-2′位置。1-1断面与2-2断面移动的距离分别是：
根据动能定理，运动液体的动能增量等于作用在它上面各力作功的代数和。其各项具体分析如下：
（1）动能增量dEu 元流从1-2位置运动到1′-2′位置，其动能增量dEu在恒定流时等于2-2′段动能与1-1′段动能之差，因为恒定流时公共部分1′-2段的形状与位置及其各点流速不随时间变化，因而其动能也不随时间变化。
根据质量守恒原理，2-2′段与1-1′段的质量同为dM，注意到对于不可压缩的液体，常数，dQ=常数，于是
（2）重力作功dAG 对于恒定流，公共部分1′-2段的形状与位置不随时间改变，重力对它不作功。所以，元流以1-2位置运动到1′-2′位置重力作功dAG等于1-1′段液体运动到2-2′位置时重力所作的功，即
（3）压力作功dAp 元流从1-2位置运动到1′-2′位置时作用在过水断面1-1上的动力压力p1dA1与运动方向相同，作正功；作用在过水断面2-2上的动水压力p2dA2与运动方向相反，作负功；而作用在元流侧面上的动水压强与运动方向垂直，不作功。于是
对于理想液体，不存在切应力，其作功为零。根据动能定理，
将各项代入得
消去dQdt并整理得
(3-7-3)
或 常数 (3-7-4)
§3-8 理想元流伯诺里方程的物理意义与几何意义
1．物理意义 理想元流伯诺里方程中的三项分别表示单位重量液体的三种不同形式的能量：
①z为单位重量液体的位能（位置势能或重力势能），这是因为重量为Mg，高度为z的液体质点的位能是MgZ。
图3-8-1
②为单位重量液体的压能（压强势能）。压能是压强场中移动液体质点时压力作功而使液体获得的一种势能。可作如下说明：设想在运动液体中某点插入一根测压管，液体就会沿着测压管上升（图3-8-1）。若p是该点的相对压强，则液体的上升高度。这说明压强具有作功的本领而使液体位置势能增加，所以压能是液体的一种势能形式。因为重量为Mg的液体质点，当它沿测压管上升后，相对压强由p变为零，它所作的功为，所以单位重量液体的压能等于。可见，p为相对压强时，是单位重量液体相对于大气压强（可认为大气压等于零）的压能。不言而喻，p为绝对压强时，是单位重量液体相对于绝对真空的压能。
于是是单位重量液体的势能，即位置势能与压强势能之和。
③为单位重量液体的动能，因重量为Mg的液体质点的动能是。是单位重量液体的总机械能。
理想元流的伯诺里方程表明：对于同一恒定元流（或沿同一流线），其单位重量液体的总机械能守恒。所以，伯诺里方程体现了能量守恒原理，又称能量方程。
2．几何意义 理想元流伯诺里方程的各项表示了某种高度，具有长度的量纲。
z是元流过水断面上某点的位置高度（相对于某基准面），称为位置水头(Elevation Head)。显然，其量纲
是压强水头(Pressure Head)，p为相对压强时，也即测压管高度，压强水头的量纲。
称为流速水头(Velocity Head)，也即液体以速度u垂直向上喷射到空中时所达到的高度（不计阻力）。流速水头的量纲
通常p为相对压强，此时称为测压管水头(Piezometric Head)，以Hp表示，而叫做总水头(Total Head)，以H表示。所以总水头与测压管水头之差等于流速水头。
图3-8-2
流速水头或流速可利用下面装置实测。如图3-8-2所示，在运动液体（如管流）中放置一根测速管，它是弯成直角的两端开口的细管，一端正对来流，置于测定点B处，另一端垂直向上。B点的运动质点由于测速管的阻滞因而流速等于零，动能全部转化为压能，使得测速管中液面升高为。B点称为滞止点或驻点。另一方面，在B点上游同一水平流线上相距很近的A点未受测速管的影响，流速为u，其测压管高度可通过同一过水断面壁上的测压管测定。应用恒定流理想液体沿流线的伯诺里方程于A、B两点，有
得 (3-8-1)
由此说明了流速水头等于测速管与测压管的液面差hu。这是流速水头几何意义的另一种解释。
则 (3-8-2)
根据这个原理，可将测压管与测速管组合制成一种测定点流速的仪器，称为皮托（H.Pitot）管。其构造如图3-8-3所示，其中与前端迎流孔相通的是测速管，与侧面顺流孔（一般有4至8个）相通的是测压管。考虑到实际液体从前端小孔至侧面小孔的粘性效应，还有毕托管放入后对流场的干扰，以及前端小孔实测到的测速管高度不是一点的值，而是小孔截面的平均值，所以使用时应引入修正系数ζ，即
(3-8-3)
式中ζ值由实验测定，通常很接近于1。
图3-8-3
§3-9 实际元流的伯诺里方程
由于实际液体具有粘性，在流动过程中须克服内摩擦阻力作功，消耗一部分机械能，使之不可逆地转变为热能等能量形式而耗散掉，因而液流的机械能沿程减小。设为元流单位重量液体从1-1过水断面流至2-2过水断面的机械能损失，称为元流的水头损失(Head Loss)，根据能量守恒原理，实际液体元流的伯诺里方程应为
(3-9-1)
显然，水头损失也具有长度的量纲：。
实际元流的伯诺里方程中各项及总水头、测压管水头的沿程变化可用几何曲线来表示。
设想元流各过水断面放置测压管与测速管，各测压管液面的连线称为测压管水头线(Pressure Head Line)，记为PHL；而各测速管液面的连线称为总水头线(Total Head Line)（图3-9-1），记为THL。这两条线清晰地显示了液流三种能量及其组合的沿程变化过程。
图3-9-1
由于实际液体在流动中总机械能沿程减小，所以实际液体的总水头线总是沿程下降的；而测压管水头线可能下降，水平或上升，这取决于水头损失及动能与势能相互转化的情况。
实际元流之总水头线沿程下降的快慢可用总水头线的坡度J表示，称为水力坡度(Energy Slope)，它表示单位重量液体沿元流单位长度的能量损失，即
(3-9-2)
式中 dL为元流的微元长度。
dH为单位重量液体在dL长度上的总机械能（总水头）增量。
为相应长度的单位重量液体的能量损失（水头损失）。上式引入负号是因总水头线总是沿程下降的，引入负号后使J永为正值。测压管水头线沿程的变化可用测压管坡度JP表示，它是单位重量液体沿元流单位长度的势能减少量，即
(3-9-3)
式中 为元流微元长度单位重量液体的势能增量。按上述定义，测压管水头线下降时JP为正，上升时为负。
§3-10 实际总流的伯诺里方程
一、渐变流过水断面上的动水压强分布规律
液体的流动可分为渐变流(Gradually Varied Flow)与急变流(Rapidly Varied Flow)两类。渐变流（又称为缓变流）是指诸流线接近于平行直线的流动（图3-10-1）。这就是说，各流线的曲率很小（即曲率半径R很大），而且流线间的夹角β也很小。否则，就称为急流变。渐变流与急变流没有明确的界限，往往由边界条件决定。另外，渐变流的极限情况是流线为平行直线的均匀流。
图3-10-1
图3-10-2
渐变流过水断面具有下面两个性质：
（1）渐变流过水断面近似为平面；
（2）恒定渐变流过水断面上，动水压强的分布与静水压强的分布规律相同。现就均匀流情况证明如下：在均匀流过水断面上、任意两相邻流线间取微小柱体，长为dn，底面积为dA（图3-10-2）。分析该柱体所受轴线方向的作用力：
上下底面的压强p与p+dp；
柱体自重沿轴线方向的投影γdAdncosα，其中α为重力与轴线的夹角；
侧面上的动水压强在轴向投影为0，侧面上的摩擦力；两底面上的摩擦力在轴线方向投影为零。
在均匀流条件下惯性力可略去不计。
根据达朗伯原理，沿轴线方向的各作用力与惯性力之代数和等于零，
注意到
化简为
积分得 (3-10-1)
上式说明了均匀流同一过水断面上的动水压强按静压规律分布，但是对于不同的过水断面，上式中的常数一般是不同的。应该指出，因为渐变流是一种近似的均匀流，所以渐变流过水断面的动水压强也符合静压分布规律。
二、实际总流的伯诺里方程
前面已经得到了实际元流的伯诺里方程（3-9-1），但要解决实际工程问题，还需通过在过水断面上积分把它推广到总流。将式（3-9-1）各项乘以γdQ，得到单位时间内通过元流两过水断面的全部液体的能量关系式
注意到dQ=u1dA1=u2dA2，在总流过水断面上积分，得到通过总流两过水断面的能量关系为
可分写成
(3-10-2)
上式共有三种类型的积分，现分别确定如下：
1．它是单位时间内通过总流过水断面的液体势能。
若将过水断面取在渐变流上，则
(3-10-3)
2． 它是单位时间通过总流过水断面的液体动能。由于流速u在总流过水断面上的分布一般难以确定，故可根据积分中值定理，且用断面平均流速v来表示实际动能，令u3=αv3，则
(3-10-4)
因为按断面平均流速计算的动能与实际动能存在差异，所以需要引入动能修正系数α——实际动能与按断面平均流速计算的动能之比值。α值取决于总流过水断面上的流速分布。α一般大于1。流速分布较均匀时α=1.05～1.10，流速分布不均匀时α值较大，甚至可达到2（见§5-4）或更大。在工程计算中常取α=1。
3． 它是单位时间总流过水断面1-1与2-2之间的机械能损失，同样可用单位重量液体在这两断面间的平均能量损失（称为总流的水头损失）hw来表示，则
(3-10-5)
将式（3-10-3），（3-10-4）与（3-10-5）一起代入式（3-10-2），注意到Q1=Q2=Q，再两边除以γQ，则得
(3-10-6)
这就是实际总流的伯诺里方程（能量方程）。它在形式上类似于实际元流的伯诺里方程，只是以断面平均流速v代替点流速u（相应地考虑动能修正系数α），以平均水头损失hw代替元流的水头损失。总流伯诺里方程的物理意义和几何意义与元流的伯诺里方程相类似。
综上所述，总流伯诺里方程在推导过程中的条件可归纳如下：
（1）恒定流
（2）不可压缩流体
（3）质量力限有重力
（4）所选取的两过水断面必须是平均势能已知的渐变流断面，但两过水断面间的流动可以是急变流。
（5）总流的流量沿程不变。若在两断面间有流量分出（如图3-3-2所示的情况）或汇入，因总流的伯诺里方程是对单位重量液体而言的，因而这种情况下只须计入相应的能量损失，该方程仍可近似应用。当两断面间有连续的流量分出或汇入，为沿程变量流。沿程变量流的伯诺里方程则具有另外的形式。
（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。但当总流在两断面间通过水泵、风机或水轮机等流体机械时，流体额外地获得或失去能量，则总流的伯诺里方程应作如下的修正：
(3-10-7)
式中 +Hm表示单位重量流体流过水泵、风机所获得的能量，-Hm表示单位重量流体流经水轮机所失去的重量。
最后补充说明几点：
（1）选取渐变流过水断面是运用伯诺里方程解题的关键，应将渐变流过水断面取在已知参数较多的断面上，并使伯诺里方程含有所要求的未知数。
（2）过水断面上的计算点原则上可任取，这因断面上各点势能=常数，而且断面上各点平均动能相同。为方便起见，通常对于管流取在管轴线上，明渠流取在自由液面上。
（3）方程中动水压强p1与p2，原则上可取绝对压强，也可取相对压强，但对同一问题必须采用相同的标准。在一般水力计算中，以取相对压强为宜。
（4）位置水头的基准面可任选，但对于两个过水断面必须选取同一基准面，通常使z≥0。
图3-10-3
图3-10-4
下面举例说明总流伯诺里方程的应用。
例3-3 自流管从水库取水（如图3-10-3），已知H=12m，管径d=100mm，水头损失 hw=8，求自流管流量Q。
解：1．基准面（下游水面）；
2．渐变流端断面（如图）；
3．代表点：水面。
建立能量方程：
v=5.42m/s
例3-4 如图断面突然缩小管道，已知d1=200mm，d2=150mm，Q=50l/s，水银比压计读数h=500mmHg，求hw。
解：1．基准面（任取）；
2．渐变流端断面（如图3-10-4）；
3．代表点（管轴线）。
建立能量方程
（1）由连续方程：
=1.59m/s， =0.129m
=2.83m/s， =0.408m
（2）由水银比压计公式：
=0.63m
代入能量方程
取 α1≈α2≈α≈1.0
hw=0.35m
§3-11 恒定总流的动量方程
恒定总流的动量方程是继总流的连续性方程与伯诺里方程之后，研究液体一元流动的又一基本方程，统称水力学三大方程。
工程实践中往往需要计算运动液体与固体边壁间的相互作用力，若利用伯诺里方程，通过确定接触面上的压强分布与切应力分布而后积分的方法求解，则计算比较复杂，特别是当有些流动的水头损失以及压强与切应力分布难以确定时无法求解。为此，需要利用动量方程。该方程将运动液体与固体边壁间的作用力，直接与运动液体的动量变化联系起来，它的优点是不必知道流动范围内部的流动过程，而只需知道端面上的流动状况。
恒定总流的动量方程是根据理论力学动量定理导得的。这一定理可表述为：物体的动量变化率等于所受外力的合力F，即
它是个矢量方程，同时方程中不出现内力。
从恒定总流中任取一束元流（图3-11-1），初始时刻在1-2位置，经dt时段运动到1′-2′位置，设通过过水断面1-1与2-2的流速分别为u1与u2。
图3-11-1
dt时段内元流的动量增量dK等于1′-2′段与1-2段液体各质点动量的矢量和之差，由于恒定流公共部分1′-2段的形状与位置及其动量不随时间改变，因而元流段的动量增量等于2-2′段动量与1′-1段动量之矢量差。根据质量守恒原理，2-2′段的质量与1′-1段的质量相等（设为dM），则元流的动量增量
对于不可压缩的液体，，故
根据动量定理，得恒定元流的动量方程
(3-11-1)
式中F是作用在元流段1-2上外力的合力。
再建立恒定总流的动量方程。总流的动量变化ΣdK等于所有元流的动量变化之矢量和，若将总流段端断面取在渐变流上，则dt时间段总流的动量变化等于元流积分
由于流速u在过水断面上的分布一般难以确定，故用断面平均流速v来计算总流的动量增量，得
按断面平均流速计算的动量ρv2A与实际动量存在差异，为此需要修正。因断面1-1与断面2-2是渐变流过水断面，即v方向与各点u方向几乎相同，则可引入动量修正系数β——实际动量与按断面平均流速计算的动量的比值。β值总是大于1。β值决定于总流过水断面的流速分布，一般渐变流动的β=1.02～1.05，但有时可达到1.33（见§5-4）或更大，工程上常取β=1。
注意到 ，则
根据质点系的动量定理，对于总流有，得
(3-11-2′)
或 (3-11-2)
式中 ΣF是作用在总流段1-2上所有外力的合力。
现在用欧拉法研究液体的流动，可认为单位时间内恒定总流的动量变化等于不随流体一起运动的封闭曲面Ⅰ-Ⅰ-Ⅱ-Ⅱ-Ⅰ内在该时段的动量变化（流出动量与流入动量之差），这一封闭曲面称为控制面。相应地，ΣF应等于作用在该控制面内所有液体质点的质量力（对于惯性坐标系即为重力）ΣFm与作用在该控制面上所有表面力ΣFs的合力，即
(3-11-3)
恒定总流的动量方程(3-11-2′)或(3-11-2)表明：总流作恒定流动时，单位时间控制面内总流的动量变化（流出与流入的动量之差），等于作用在该控制面内所有液体质点的质量力与作用在该控制面上的表面力的合力。
恒定流动的动量方程不仅适用于理想液体，而且也适用于实际液体。
实际上，即使是非恒定流，只要流体在控制面内的动量不随时间改变（例如泵与风机中的流动），这一方程仍可适用。
用动量方程解题的关键在于如何选取控制面，一般应将控制面的一部分取在运动液体与固体边壁的接触面上，另一部分取在渐变流过水断面上，并使控制面封闭。
因动量方程是矢量方程，故在实用上是利用它在某坐标系上的投影式进行计算。为方便起见，应使有的坐标轴垂直于不要求的作用力或动量（速度）。写投影式时应注意各项的正负号。
例3-5 水流从喷嘴中水平射向一相距不远的静止固体壁面，接触壁面后分成两股并沿其表面流动，其水平图如图3-11-2所示。设固壁及其表面液流对称于喷嘴的轴线。若已知喷嘴出口直径d为40mm，喷射流量Q为0.0252m3/s，求液流偏转角θ分别等于60°，90°与180°时射流对固壁的冲击力R，并比较它们的大小。
图3-11-2
解 利用总流的动量方程计算液体射流对固壁的冲击力。取渐变流过水断面0-0，1-1与2-2以及液流边界面所围的封闭曲面为控制面。
流入与流出控制面的流速，以及作用在控制面上的表面力如图所示，其中R′是固壁对液流的作用力，即为所求射流对固壁冲击力R的反作用力。因固壁及表面的液流对称于喷嘴的轴线，故R′位于喷嘴轴线上。控制面四周大气压强的作用因相互抵消而不需计及。同时，因只研究水平面上的液流，故与其正交的重力也不必考虑。
为方便起见，选喷嘴轴线为x轴（设向右为正）。
若略去水平面上液流的能量损失，则由总流的伯诺里方程得
=20m/s
因液流对称于x轴，故Q1=Q2=Q/2。取β1=β2=1。规定动量及力的投影与坐标轴同向为正，反向为负。总流的动量方程（3-11-2）在x轴上的投影为
得 (3-11-4)
而R=-R′，即两者大小相等，方向相反。
由式（3-11-4）得：
当θ=60°时（固壁凸向射流），
R=R′=1000×0.0252×20×1(1－cos60°)=252N
当θ=90°时（固壁为垂直平面），
R=R′=1000×0.0252×20×1(1－cos90°)=504N
当θ=180°时（固壁凹向射流），
R=R′=1000×0.0252×20×1(1－cos180°)=1008N
由此可见，三种情况以θ=180°时（固壁凹向射流）的R值最大。斗叶式水轮机的叶片开状就是根据这一原理设计的，以求获得最大的冲击力与输出功率。当然，此时叶片并不固定而作圆周运动，有效作用力应由相对速度所决定。
图3-11-3
例3-6 管路中一段水平放置的等截面弯管，直径d为200mm，弯角为45°（图3-11-3）。管中1-1断面的平均流速v1=4m/s，其形心处的相对压强p1=1个大气压。若不计管流的水头损失，求水流对弯管的作用力Rx与Ry（坐标轴x与y如图所示）。
解 利用总流的动量方程求解Rx与Ry。取渐变流过水断面1-1与2-2以及管内壁所围成的封闭曲面为控制面。
作用在控制面上的表面力，以及流入与流出控制面的流速如图3-11-3所示，其中与是弯管对水流的反作用力，p1与p2分别是1-1断面与2-2断面形心处的相对压强。所以作用在这两断面上的总压力分别为P1=p1A1，P2=p2A2。作用在控制面内的水流重力，因与所研究的水平面垂直，故不必考虑。
总流的动量方程（3-11-2）在x轴与y轴上的投影为
则 (3-11-5)
式中 ×3.14×0.22×4=0.126m3/s
根据总流的连续性方程（3-3-3），v2=v1=4m/s，同时，因弯管水平，且不计水头损失，则由总流的伯诺里方程得到p2=p1=1大气压=9.8N/cm2，于是
×3.14×202=3077N
取 β1=β2=1
将它们代入式（3-11-5）得
=1049N
2532N
Rx与，Ry与分别大小相等，方向相反。
§3-12 恒定总流的动量矩方程
当要确定运动液体与固体边壁相互间作用的力矩时，一般运用恒定总流的动量矩方程。
利用恒定元流的动量方程（3-11-1）对某固定点取矩，可得到恒定元流的动量矩方程
(3-12-1)
式中 r1、r2分别是从固定点到流速矢量u1、u2的作用点的矢径。再在总流过水断面上求矢量积分则得恒定总流的动量矩方程
(3-12-2)
这就是说，单位时间里控制面内恒定总流的动量矩变化(流出的动量矩与流入的动量矩之矢和差)等于作用于该控制面内所有液体质点的外力矩之和。
动量矩方程的一个最重要的应用是利用它导出叶片式流体机械(泵、风机、水轮机及涡轮机等)的基本方程。现以离心泵或风机为例作推导。如图3-12-1a所示，流体从叶轮的内缘流入，经叶片槽道于外缘流出。叶轮中流体质点作复合运动：一方面，在离心力的作用下相对叶片流动(相对运动)；另一方面，流体质点受旋转叶片的作用作圆周运动(牵连运动)。流体质点的绝对速度c应等于其相对速度w与牵连速度(又称为圆周速度)u的矢量和，即
c=w+u (3-12-3)
离心泵或风机的进出口速度三角形如图所示。其中a1与a2分别是进出口绝对速度与相应圆周速度的夹角。
图3-12-1
取进出口轮缘(两圆柱面)为控制面。此时，尽管对于固结在机壳上的惯性坐标系来说，叶轮中流体是非恒定流，但控制面内的动量矩不随时间改变，故仍可运用恒定总流的动量矩方程(3-12-2)。假定断面流速分布是均匀的(一元流动)，注意到对轮心的外力矩中，重力的合力矩等于零，叶轮进出口圆柱面上的动水压强p1与p2因通过轮心，其力矩也等于零，流体与叶片间的切应力指向轮心，其力矩仍等于零，只有叶片对流体的作用力对转轴产生了力矩M。利用总流的动量矩方程对轮心取矩得
(3-12-4)
设叶轮的旋转角速度为ω，则叶轮对流体所作功率(输入功率)
(3-12-5)
另外，理想流体作一元流动时N=γQHm(输出功率)，则单位重量流体所获得的能量
(3-12-6)
这就是泵与风机的基本方程。该式首先由欧拉在1754年得到，故又称为欧拉方程。
对于水轮机或涡轮机(图3-12-1b)，流体从叶轮外缘流向内缘，其基本方程类似地为
(3-12-7)
图3-12-2
例3-7 如图3-12-2所示，水流经管段以均匀流速v2=10m/s从喷嘴出流。喷嘴出口直径 d2=20mm，出口截面形心的标高yc=1m。试求管段及喷嘴保持不动时所需对A点之力矩M。假定可不计重力的作用。
解 应用恒定总流的动量矩方程(3-12-2)，取管段与喷嘴内壁及过水断面1-1与2-2所围成的封闭曲面1-1-2-2-1为控制面，注意到pa等于大气压强，而作用于控制面的大气压强相互抵消，且1-1断面上各点之相对压强与流速矢量对于点A对称，它们对点A之合力矩等于零，再利用已知条件，对A点取矩则得管段及喷嘴对水流的反力矩，即其保持不动所需对A点之力矩
取 β2=1
=×3.14×0.22×1000×102×1=3140N-m
§3-13 液体微团的运动
前面讨论了一元流动总流的连续性方程(§3-3)、伯诺里方程(§3-10)、动量方程(§3-11)及动量矩方程(§3-12)，它们是描述一元水动力学问题的四个基本方程，是可应用于一般管流与明渠流水动力学问题水力计算的四个基本方程，但是，自然界与工程中广泛存在的是二元流动及三元流动，有必要进一步研究流速与压强等参数在平面与空间的分布规律(例如渗流流场)。以下介绍二元流动与三元流动的分析方法。
从理论力学知道，一般情况下刚体的运动是由平移和绕某瞬时轴的转动两部分所组成。液体的运动比较复杂，因为液体微团(质点)的运动，一般除了平移和转动以外还要发生变形(包括线变形与角变形)。现在通过分析微团上邻近两点的速度关系来说明液体质点运动与变形之间的关系。
如图3-13-1所示，若已知时刻t流场中任一液体微团的点A(x,y,z)的速度分量为ux(x，y，z)，uy(x,y,z)与uz(x,y,z)，则相邻点M(x+dx,y+dy,z+dz)的速度分量可按泰勒级数展开得到，若略去二阶以上的微量，则为
(3-13-1)
图3-13-1
为显示液体微团运动的上述三个组成部分，将上式(3-13-1)中第一个式子， 并重新组织，得到
类似地将式(3-13-1)中第二个与第三个式子变成
进一步引入符号：θ为质点的线变形速度，ε为角度变形速度，ω为质点的旋转角度速度，则
(3-13-2)
则上述确定、与的式子成为
(3-13-3)
图3-13-2
现在说明式(3-13-2)及(3-13-3)的物理意义。为简单起见，先分析六面体微团的一个面在其所在的xOy平面上的运动(图3-13-2)，然后，再将其结果推广到yOz与zOx平面上去，得到液体微团的三元流动情况。设在t时刻的矩形平面ABCD上A点的分速为ux与uy，则B点的速度分量为
D点的速度分量为
经dt时间矩形平面ABCD变形运动到A′B′C′D′，点A′，B′，D′的移动距离如图所示，现对液体微团的运动分析如下：
1．ux、uy与uz分别是液体微团在x,y,z方向的平移速度，这是显而易见的，如A点移至A′，B点移至B″等等。
2．θx，θy及θz分别是液体微团在x,y,z方向的线变形速度。
因沿x方向的绝对变形(伸长或缩短)为故沿x方向单位时间单位长度线段的线变形是，即θx=为x方向的线变形速度。同理，，分别是y方向与z方向的线变形速度。
根据材料力学所述，体积变形速度θ应等于三个方向线变形速度之和。再利用不可压缩液体的连续性微分方程(3-4-3)，可得
用不可压缩液体的连续性微分方程描述了不可压缩液体的体积变形速度为零这一事实。
3．εz及εx,εy分别是液体微团在xOy及yOz,zOx平面上的角变形速度之半。
因角变形
同理
故液体微团在xOy平面上的角变形速度之半为
同理，液体微团在yOz及zOx平面上的角变形速度之半分别为
4．ωz及ωx,ωy分别是液体微团绕z及x，y轴的旋转角速度：
定义矩形平面中∠BAD之平分线绕z轴的旋转角速度为液体微团绕z轴的旋转角速度ωz，根据几何关系，ωz应等于直角边AB与AD的旋转角速度的平均值，即
类似地，液体微团绕x,y轴的旋转角速度分别为
综上所述，式(3-13-3)中第一项是平移速度分量，第二项与第三、四项是角变形运动引起的速度分量，第五项与第六项是旋转运动所引起的速度分量，由此说明了液体微团运动是由平动、转动和变形运动(包括线变形与角变形)三部分所组成。
§3-14 有旋流动与无旋流动
液体的流动可分为无旋流(Irrotational Flow)与有旋流(Rotational Flow)两种类型。若运动液体微团的旋转角速度矢量
即 (3-14-1)
这种流动就称为无旋流或有势流(Potential Flow)，否则就叫做有旋流或旋涡流。
无旋流与有旋流决定于液本微团是否绕自身轴旋转，而与其运动轨迹无关。如图3-14-1所示，在图a中液体运动轨迹虽是个圆，但可证明这是无旋流；在图b中液体运动虽是一条直线，但是有旋流。
图3-14-1
一般无旋流存在于无粘性的理想液体中，而实际液体多为有旋流动。但是，实际液体的层状渗流却是无旋有势流(见第九章)。本节及后面几节主要介绍理想液体无旋流动的一些运动规律。
过去曾指出，理想液体恒定流动的伯诺里积分常数对于不同的流线一般是不同的(§3-6)，实际上是指有旋流的情况，而无旋流的伯诺里积分常数在全流场都相同，现证明如下：
将理想液体的运动微分方程(3-5-2)的三个式子分别乘以dx,dy与dz然后相加，对于恒定流动，得
这里dx,dy,dz分别是空间任意微元长度(可不在一条流线上)在x,y,z轴上的投影。利用无旋流的条件：
得
对于不可压缩的液体，应
积分得
(3-14-2)
重力场中即 (3-14-3)
该式称为理想恒定势流的欧拉积分。显然该式适用于整个势流场。
例3-8 已知液体流动的流速场为
问该流动是无旋流还是有旋流?
解 因
故流动是无旋流。
§3-15 流速势与流函数、流网
本节讨论恒定无旋流动。
1．流速势(Velocity Potential) 从数学分析知道，对于无旋流，式(3-14-1)是使uxdx+uydy+uzdz成为某一函数φ(x,y,z) 的全微分的充分与必要条件，则
(3-15-1)
函数φ(x,y,z)的全微分可写成
比较以上两式得
(3-15-2)
可把这个函数称为无旋流动的流速势。所以，无旋流必为有势流，反之亦然。
从式(3-15-2)知道，对于无旋(势)流，只要能确定流速势一个未知数，便可方便地求得ux,uy,uz三个未知数，再利用势流的欧拉积分式(3-14-3)进一步可求得压强分布。所以，无旋(有势)流的关键在于确定流速势。
对于不可压缩的液体，利用连续性微分方程(3-4-3)
将式(3-15-2)代入得
(3-15-3)
或
式中是拉普拉斯算子符。在数学上，式(3-15-3)称为拉普拉斯(Laplace)方程。满足该方程的函数称为调和函数(Harmonic Function)。所以，流速势满足拉普拉斯方程，是一个调和函数。对于不可压缩液体的无旋流，问题归结为在特定的边界条件下求解流速势所满足的拉普拉斯方程。求解这一线性方程要比求解非线性的欧拉运动微分方程及连续性微分方程确定ux,uy,uz,p方便得多。
对于xOy平面上的不可压缩液体的平面(二元)势流，式(3-15-2)与式(3-15-3)分别成为
(3-15-4)
与
(3-15-5)
2．流函数(Stream Function) 根据不可压缩液体平面流动的连续性微分方程，有
它是使-uydx+uxdy成为某一函数ψ(x,y)的全微分的充分与必要的条件，则有
(3-15-6)
得到
(3-15-7)
ψ称为不可压缩液体平面流动的流函数。实际上，无论是无旋势流还是有旋流动，无论是理想液体还是实际液体，在不可压缩液体的平面流动中必存在流函数。式(3-15-7)说明了，若能确定流函数ψ一个未知数，则也可求得ux与uy。
至于xOy 平面上的平面势流，有
将式(3-15-7)代入得
(3-15-8)
或
式中
式(3-15-8)说明了不可压缩液体平面势流中流函数也是调和函数，它也满足拉普拉斯方程。不可压缩液体平面势流也可认为是在特定边界条件下求解流函数所满足的拉普拉斯方程。
若ψ(x,y)=常数，则
得到
图3-15-1
显然，这是平面流线方程。因此，等流函数线(ψ=常数)就是流线。
流函数还有另外一个物理意义，这就是：在不可压缩液体的平面流动中，任意两条流线的流函数之差等于这两条流线间所通过的液体流量。现证明如下：如图3-15-1所示，在流函数ψ1与ψ3的两条流线间有任一曲线AB(不一定垂直于流线)，在它上面任取一微元线段dl，假定垂直于流动平面的宽度等于1，则通过它的单宽流量
故
(3-15-9)
式中 n是微元线段dl的法向单位矢量；
un是流速u在微元线段dl的法向分量。
这一积分与曲线AB的形状无关，仅决定于A、B两点的ψ值。由此得证。
3．流网(Flow Net) 不可压缩液体的平面势流中，势函数与流函数有一定关系，即等势线与等流函数处处正交，现在证明这个问题：
在等势线上
在等流函数上
由第一个式子再利用式(3-15-4)，得
由第二个式子再利用式(3-15-7)，得
从解析几何知道，上式说明了等势线与等流函数线应相互垂直。
等势线与流线构成的正交网格称为流网(图3-15-2)。在工程上，可利用绘制流网的方法，图解与计算势流流速场，再运用势流的伯诺里方程便可计算压强场。在第九章将具体介绍网法及其在渗流中的应用。
图3-15-2
例3-9 对于例3-1中的平面点源(汇)流动：
(1)问是无旋流还是有旋流；
(2)若是无旋流，求其流速势；
(3)求平面流动的流函数ψ；
(4)求压强分布。
解 (1)因
，
故
所以是无旋流。
(2)对于点源(汇)流动，为方便起见采用极坐标系。此时，如图3-15-3所示，
图3-15-3
uθ=0
因
故
上式中积分常数可任意给定，现取积分常数等于零。从该式可见，等势线是一簇以原点为心的同心圆(r=常数)。
(3)因dψ=-uydx+uxdy
故
上式中令θ=0时ψ=0，则积分常数等于零。从上式可见，流线是一簇通过原点的射线(θ=常数)，由此说明了等势线与流线互相正交。
(4)由式(3-14-3)，若可不计重力的影响，应
将代入整理得
可设r→∞时u=0，p=p∞，则C′=p∞，于是
所以p沿r方向按抛物线规律分布，如图3-15-4所示。
图3-15-4
最后指出以上式中C的确定：由单位长度(z=1)的流量
得
称为平面点源(汇)强度。
§3-16 势流叠加原理
平面势流问题归结于在具体的边界条件下求解势函数或流函数所满足的拉普斯方程。由于拉普拉斯方程是线性的，所以几个势函数或流函数的线性叠加仍然满足拉普斯方程。这就是说，几个势流叠加后的流动仍然是势流。现在证明如下：
设有n个势函数，，，…… 满足拉普拉斯方程：
，，，……
将这些势函数相叠加：…… ，则有
同样，几个平面势流的流函数相叠加仍然满足拉普拉斯方程，即
另外指出，几个势流叠加后的流速等于每个势流流速之矢量和。这是因为：将对x取偏导得
即
同理，由对y取偏导可得
势流的叠加原理为我们提供了一种求解较复杂流动的方法，可以将几种最简单的已知势流叠加起来得到较复杂的势流。当然，叠加的结果还应满足所考察问题中的边界条件。因为合乎边界条件的解一般说来只有一个，所以问题的解是唯一的。均匀流(题3-4)，平面涡流(题3-5)，点源或点汇等等都是一些最简单的已知势流。将几个点源或点汇叠加起来可求解第九章所述井群的渗流问题。至于其它已知简单势流及其叠加可参见一般流体力学书籍，在此不再赘述。
例3-10 求均匀流与点源叠加后的流动。已知x方向流速为U的均匀流
置于原点强度为之点源
解 叠加后的流动为
故
滞止点A为
通过滞止点的流线为
显然，通过滞止点时常数
则
得
或
当x→∞时，r→∞，y→
还可作出其它一些流线，如图3-16-1所示。通过滞止点的流线将流场分为两部分：由均匀流引起的这部分流量皆在这条流线之外流动，而由点源引起的那部分流量皆在这条流线之内流动。这样便可把通过滞止点的这一条流线视为固壁，并且仅考察其外部绕流，这就是所谓“二元半体绕流”。
图3-16-1
根据二元半体绕流表面的流速分布，利用伯诺里方程，可得到其表面的压强分布。
习 题
3-1 已知流速场
求流场x=2，y=2，z=1之点在t=3时的加速度。
3-2 已知流速场
(1)求点(1，2，3)之加速度。
(2)是几元流动?
(3)是恒定流还是非恒定流?
(4)是均匀流还是非均匀流?
3-3 已知流速场
(1)求(2，2，3)点之加速度。
(2)是几元流动?
(3)是恒定流还是非恒定流?
(4)是均匀流还是非均匀流?
3-4 已知平面流动的流速分布为
其中a,b为常数，求流线方程并画出若干条y＞0时的流线。
3-5 已知平面流动流速分布为
其中C为常数。求流线方程并画出若干条流线。
3-6 如图所示的管路水流中，过水断面上各点流速按下列抛物线方程轴对称分布：
式中水管半径r0为3cm，管轴上最大流速umax为0.15m/s。试求总流量Q与断面平均流速v。题3-6图
3-7 有一过水断面为矩形的人工渠道，其宽度B等于1m(题3-7图)。测得断面1-1与2-2处的水深h1为0.4m，h2=0.2m。若断面平均流速v2等于5m/s，试求通过此渠道的流量 Q及断面1-1的平均流速v1。
题3-7图 题3-8图
3-8 一直径D为1m的盛水圆筒铅垂放置，现接出一根直径d为10cm的水平管子。已知某时刻水管中断面平均流速v2等于2m/s，求该时刻圆筒中液面下降的速度v1。
3-9 输水管道通过三通管形成分枝流(见图示)。管径d1，d2均为200mm，ds为100mm，若断面平均流速v1为3m/s，v2为2m/s，求vs。
题3-9图 题3-10图
3-10 试利用题3-10图证明不可压缩液体二元流动的连续性微分方程的极坐标形式为
3-11 对于不可压缩液体，下面的流动是否满足连续性条件：
(1)ux=2t+2x+2y，uy=t-y-z，uz=t+x-z；
(2)ux=x2+xy-y2，uy=x2+y2，uz=0；
(3)ux=3ln(xy)，uy=，uz=4；
(4)ur=，，uz=0。
3-12 利用题3-12图及牛顿第二定律证明重力场中沿流线坐标 S 方向的欧拉运动微分方程为
题3-12图
3-13 利用皮托管原理测量输水管中的流量(见图示)。已知输水管直径d为200mm，测得水银差压计读数hp为60mm，若此时断面平均流速v=0.84uA，式中uA是皮托管前管轴上未受扰动水流之A点的流速。问输水管中的流量Q及断面平均流速?
题3-13图 题3-14图
3-14 一障碍物置于均匀水平水流中。若未受扰动的水流速度uA=10m/s，其相对压强 pA为1个大气压，求障碍物滞止点B的相对压强。
3-15 用皮托管测定气流中某点的流速。将皮托管接向水差压计，读得其水面差h为0.1m，求未设置皮托管前该点的流速u。已知气体的密度ρ为1.25kg/m3，水的密度ρ′为1000kg/m3。假定不考虑毕托管的校正系数。
3-16 若两固定平行平板间液体的断面流速分布为
，y≥0
计算总流的动能修正系数α。
题3-16图 题3-17图
3-17 有一管路，由两根不同直径的管子与一渐变连接管组成(见图示)。已知dA为200mm，dB为400mm；A点的相对压强pA为0.7大气压，B点的相对压强pB为0.4大气压；B点处的断面平均流速vB为1m/s。A，B两点高差Δz为1m。要求判别流动方向，并计算这两断面间的水头损失hw。
3-18 为了测量石道的流量，安装一文丘里流量计(题3-18图)。管道直径d1为20cm，文丘里管喉道直径d2为10cm，石油密度ρ为850kg/m3，文丘里管的流量系数μ=0.95。现测得水银差压计读数hp为15cm，问此时石油流量Q多大?
题3-18图 题3-19图
3-19 一孔板流量计，如题3-19图所示，开孔孔径d0=6.5mm，管子直径d=152mm，相应的流量系数μ=0.61。孔板前后接一水银差压计，若水银柱高差hp=18.4cm，求管中水流量。
3-20 如题图所示，一盛水的密闭容器，液面上气体的相对压强p为0.5大气压。若在容器底部接一段管路，管长为4m，与水平面夹角30°，出口断面直径d为50mm。管路进口断面中心位于水下深度H为5m处，水出流时总的水头损失hw为2.3m，求水的流量Q。
题3-20图
3-21 一水平变截面管段接于输水管路中，管段进口直径d1为10cm，出口直径d2为5cm(题3-21图)。当进口断面平均流速v1为1.4m/s，相对压强p1为0.6大气压时，若不计两断面间的水头损失，试计算出口断面的相对压强p2。
题3-21图 题3-22图
3-22 水轮机的直锥形尾水管见图示。已知A-A断面之直径dA为0.6m，流速vA为6m/s，B-B断面之直径dB为0.9m，若由A流至B的水头损失hw=0.14，试计算：
(1)当z为5m时， A-A断面的真空压强pvA；
(2)当允许真空度为5.1m水柱时，A-A断面的位置z等于多少?
题3-21图 题3-22图
3-23 如图所示水管通过的流量等于9l/s。若测压管水头差h为100.6cm，直径d2为5cm，试确定直径d1。假定水头损失可忽略。
题3-23图 题3-24图
3-24 水箱中的水从一扩散短管流到大气中(题3-24图)。若直径d1为100mm，该处绝对压强p1为0.5大气压，而直径d2为150mm，求水头H。水头损失可忽略不计。
3-25 一大水箱的水通过一铅垂管与收缩管嘴流入大气(见图示)。直管直径d为10cm，收缩管嘴出口断面直径dB为5cm，若不计水头损失，求直管中A点的相对压强pA。铅垂方向尺寸如图所示。
题3-25图 题3-26图
3-26 在水平的管路中所通过的水流量Q=2.5l/s，直径d1为5cm，d2为2.5cm，相对压强p1为0.1大气压。两断面间水头损失可忽略不计。问：连接于该管收缩断面上(见图示)的水管可将水自容器内吸上多大高度h?
3-27 离心式风机借集流器 A从大气中吸入空气(见图示)。在直径d为200mm的圆柱形管段接一根玻璃管，管的下端插入水槽中。若玻璃管中的水面上升H为150mm，求集流器的空气流量Q。空气的密度ρ为1.29kg/m3。
题3-27图 题3-28图
3-28 一矩形断面平底的渠道，其宽度B为2.7m，河床在某断面处抬高0.3m，抬高前的水深为1.5m，抬高后水面降低0.12m(如图示)。若水头损失hw为尾渠流速水头的一半，问流量Q等于多少?
3-29 一水平喷射水流作用在铅垂平板上(水平图如图所示)，射流的流量Q=10 l/s，流速v=1m/s，求射流对该平板的作用力F。
题3-29图 题3-30图
3-30 如题3-30水平图所示，水自喷嘴射向一与其交角成60°的光滑平板上(不计摩擦阻力)。若喷嘴出口直径d为25mm，喷射流量Q为33.4 l/s，试求射流沿平板向两侧的分流流量Q1与Q2，(喷嘴轴线水平见图示)以及射流对平板的作用力F。假定水头损失可忽略不计。
3-31 将一平板放在自由射流之中，并垂直于射流的轴线，该平板截去射流量的一部分Q1，并引起射流的剩余部分偏转(见图示)。已知v为30m/s，Q为36l/s，Q1=12 l/s，试求射流对平板的作用力R以及射流偏转角θ。不计摩擦力与重力的影响。
题3-31图 题3-32图
3-32 嵌入支座内的一段输水管，其直径由d1为1.5m变化到d2为1m(见图示)。当支座前的压强p=4个大气压(相对压强)，流量Q为1.8m3/s时，试确定渐变段支座所受的轴向力R。不计水头损失。
3-33 水流通过变截面弯管(见图示)。若已知弯管的直径dA为25cm，dB为20cm，流量Q为0.12m3/s。断面A-A的相对压强pA为1.气压，管轴线均在同一水平面上，求固定此弯管所需的力Fx与Fy。可不计水头损失。
题3-33图 题3-34图
3-34 水由一容器经小孔口流出(见图示)。孔口直径d为10cm，若容器中水面高度H为3m，求射流的反作用力R。
3-35 在浅水中航行的一艘喷水船，以水泵作为动力装置(见图示)。若水泵的流量Q为80l/s，船前吸水的相对速度w1为0.5m/s，船尾出水的相对速度w2为12m/s。试求喷水船的推进力R。
题3-35图 题3-36图
3-36 在矩形渠道中修筑一大坝(见图示)。已知单位宽度流量为15m2/s，上游水深h1 =5m，求下游水深h2及作用于单位宽度坝上的力F。假定摩擦力与水头损失可忽略不计。
3-37 两直管用折管相连结，如图所示。若管道截面积为A，管中液体速度为v，密度为ρ，求阻止管道转动所需力矩M。
题3-37图 题3-38图
3-38 如图所示一水平放置的具有对称臂的洒水器，旋臂半径R=25cm，喷嘴直径d=1cm，喷嘴倾角45°，若总流量Q为0.56l/s，求：
(1)不计摩擦时的最大旋转角速度ω；
(2)ω=5l/s时为克服摩擦应施加多大的扭矩M及功率N。
3-39 下面各流场是无旋流还是有旋流?
(1)ux=C，uy=uz=0；
(2)ux=y+2z，uy=z+2x，uz=x+2y；
(3)ux=，uy=，uz=0。
3-40 对于ux=2xy，uy=a2+x2-y2的平面流动，
(1)是否是不可压缩液体的流动?
(2)求流函数ψ。
(3)是无旋流还是有旋流?若是无旋流，确定其流速势φ。
3-41 已知不可压缩液体平面流动的流函数
(1)求流速分量；
(2)流动是否无旋?若是无旋，确定其流速势。
3-42 已知不可压缩平面流动的流速势，试求其流速分量与流函数，并画出等势线与流线。
3-43 已知理想不可压缩流体平面流动的流速势为
(1)求流场的速度分布，并找出滞止点的位置；
(2)求流函数(x，y)，并画出y＞0时的等势线和流线；
(3)若滞止点的压强为p0，求水平面(x，y)面上的压强分布，并画出等压线。
3-44 在x轴上x=±a处各有强度为的两个平面点源，求它们叠加后的流动，并说明其中y轴是一条可视为固壁的流线。 下载本文
