基础知识
（一）反比例函数的概念
1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件；
2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；
3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．
（二）反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．
（三）反比例函数及其图象的性质
1．函数解析式：（）
2．自变量的取值范围：
3．图象：
（1）图象的形状：双曲线．
越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大．
（2）图象的位置和性质：
与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；
当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．
（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．
图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．
4．k的几何意义
如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．
如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．
图1 图2
5．说明：
（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．
（2）直线与双曲线的关系：
当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．
（3）反比例函数与一次函数的联系．
（四）实际问题与反比例函数
1．求函数解析式的方法：
（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．
2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．
（五）充分利用数形结合的思想解决问题．
例题分析
1．反比例函数的概念
（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．
A．y=3x B． C．3xy=1 D．
（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．
A． B． C． D．
2．图象和性质
（1）已知函数是反比例函数，
①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．
②若y随x的增大而减小，那么k=___________．
（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．
（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．
（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，
则直线不经过的象限是（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，
则一次函数y=kx+m的图象经过（ ）．
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．
A． B． C． D．
3．函数的增减性
（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（ ）．
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（ ）．
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜
（3）下列四个函数中：①；②；③；④．
y随x的增大而减小的函数有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）．
4．解析式的确定
（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（ ）．
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．不能确定
（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为 （2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．
（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．
（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．
①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．
（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒． 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克． 请根据题中所提供的信息解答下列问题：
①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．
②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；
③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
5．面积计算
（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（ ）．
A． B． C． D．
第（1）题图 第（2）题图
（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，则（ ）．
A．S=1 B．1＜S＜2 C．S=2 D．S＞2
（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．
第（3）题图 第（4）题图
（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．
（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．
第（5）题图 第（6）题图
（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．
①求这两个函数的解析式；
②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．
（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．
① 求B点坐标和k的值；
② 当时，求点P的坐标；
③ 写出S关于m的函数关系式．
6．综合应用
（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（ ）．
A．互为倒数 B．符号相同 C．绝对值相等 D．符号相反
（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．
① 求反比例函数和一次函数的解析式；
② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．
① 求点A、B、D的坐标；
② 求一次函数和反比例函数的解析式．
（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．
① 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
② 双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（5）不解方程，判断下列方程解的个数．
①； ②．
答案
1．反比例函数的概念
答案：（1）C；（2）A．
2．图象和性质
答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．
3．函数的增减性
答案：（1）A；（2）D；（3）B．
注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．
4．解析式的确定
答案：（1）B； （2）4，8，（，）；
（3）依题意，且，解得．
（4）①依题意，解得
②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．
（5）①，，；
②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．
5．面积计算
答案：（1）D； （2）C；（3）6；
（4），，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为，前者大．
（5）1．
（6）①双曲线为，直线为；
②直线与两轴的交点分别为（0，）和（，0），且A（1，）和C（，1），
因此面积为4．
（7）①B（3，3），；
②时，E（6，0），；
③．
6．综合应用
答案：
（1）D．
（2）① 反比例函数为，一次函数为；
②范围是或．
（3）①A（0，），B（0，1），D（1，0）；
②一次函数为，反比例函数为．
（4）①反比例函数为，；
②存在（2，2）．
（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；
②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．下载本文
