一、选择题：（本题满分24分，共有8道小题，毎小题3分，请把唯一正确答案的字母标号涂在答题卡的相应位置）

1．方程x=﹣x（x+1）的解是（　　）

A．x=﹣2    B．x=0    C．x1=﹣1，x2=0    D．x1=﹣2，x2=0

2．有三张正面分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为点P的横坐标，然后再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为点P的纵坐标，则点P在第二象限的槪率是（　　）

A．    B．    C．    D．

3．关于x的一元二次方程x2﹣2x=k有两个实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＞l    B．k＜1    C．k≥﹣l    D．k≤﹣1

4．一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为10，则这个矩形的面积为（　　）

A．25    B．50    C．25    D．50

5．某市2012年年底自然保护区覆盖率（即自然保护区面积占全市国土面积的百分比）仅为8.5%，经过两年努力，该市2014年年底自然保护区覆盖率达10.8%．设该市这两年自然保护区面积的年均增长率为x，则可列方程为（　　）

A．8.5%（l+x）=10.8%    B．8.5%（1+x）2=10.8%

C．8.5（1+x）÷8.5（1+x）2=10.8    D．8.5%（l+x）+8.5%（l+x）2=10.8%

6．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB，AC上，则添加下面的条件后△AED与△ABC仍不相似的是（　　）

A．=    B．=    C．∠AED=∠B    D．∠AED=∠C

7．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（　　）

A．菱形    B．对角线互相垂直的四边形

C．矩形    D．对角线相等的四边形

8．如图l1∥l2∥l3，直线AC与DF交于点O，且与l1，l2，l3分别交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式不正确的是（　　）

A．=    B．=    C．=    D．=

二、填空题：（本题满分24分，共有8道小题，每N题3分）

9．若==，则=　　　　　　．

10．已知x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a2=0的一个根，则a=　　　　　　．

11．小颖妈妈经营的玩具店进了一箱黑白两种颜色的塑料球3000个，为了估计两种颜色的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程，共摸了100次球，发现有69次摸到黑球，据此可以估计黑球的个数约是　　　　　　．

12．现有大小相同的正方形纸片若干张，小明想用其中的3张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形，则她最少要用　　　　　　张正方形纸片（每个正方形纸片不得剪开）．

13．从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可给人以协调的美感．某女老师身长约1.68m，下身长约1.02m，她要穿鞋后跟　　　　　　cm高的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（结果精确到1cm）．

14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=16，BD=12，则菱形ABCD的高DH=　　　　　　．

15．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BD=3，CD=12，则AD的长为　　　　　　．

16．如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；…；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．则Sn=　　　　　　．

三、作图题请在答题卡的相应位置作答•

17．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：矩形ABCD，

求作：菱形AECF，使点E，F分别在边BC，AD上．

四、解答题：（本題共7道小题，满分68分）请在答题卡的相应位置作答.

18．解方程

（1）16x2+8x=3（公式法）

（2）x2+5x+5=0（配方法）

19．一个盒子中装有两个红球、两个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，请你用树状图或者列表法，求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．（红色和蓝色配成了紫色）

20．2016届九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD=15m，人的眼睛与地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，求旗杆AB的高度．

21．如图，一个矩形广场的长为60m，宽为40m，广场内两条纵向小路的宽均为1.5m，如果设两条横向小路的宽都为x m，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似？

22．某农业合作社投资000元共收获80吨的农产品，目前，该农产品可以以1200元/吨售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，且同时每星期每吨价格将上涨200元．问储藏多少星期出售这批农产品可获利122000元？

23．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点C作AB的平行线，交DF的延长线于点E，连接CD，AE．

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）当∠BAC的大小满足什么条件时，四边形AECD是正方形？证明你的结论．

24．问题探究：（1）已知：如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE丄DH于点O，求证：AE=DH 

类比探究：（2）已知：如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，则线段EF与HG有什么数量关系，并说明理由；

拓展应用：（3）已知：如图3，在（2）问条件下，若HF∥GE，BE=EC=2，EO=2FO，求HG的长．

25．已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB=4cm，BC=3cm．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀

逨运动，速度为1cm/s，过点P作PM⊥AD于点M，连接PQ，设运动时间为t（s）

（0＜t＜4）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，四边形PQAM是矩形？

（2）是否存在某一时刻t，使S四边形PQAM=S矩形ABCD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

（3）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？

山东省青岛市黄岛区2016届九年级上学期期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题：（本题满分24分，共有8道小题，毎小题3分，请把唯一正确答案的字母标号涂在答题卡的相应位置）

1．方程x=﹣x（x+1）的解是（　　）

A．x=﹣2    B．x=0    C．x1=﹣1，x2=0    D．x1=﹣2，x2=0

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【专题】计算题．

【分析】先移项得到x+x（x+1）=0，然后利用因式分解法解方程．

【解答】解：x+x（x+1）=0，

x（1+x+1）=0，

x=0或1+x+1=0，

所以x1=0，x2=﹣2．

故选D．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

2．有三张正面分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为点P的横坐标，然后再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为点P的纵坐标，则点P在第二象限的槪率是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】列表法与树状图法；点的坐标．

【分析】画出树状图，然后确定出在第二象限的点的个数，再根据概率公式列式进行计算即可得解．

【解答】解：根据题意，画出树状图如下：

一共有6种情况，在第二象限的点有（﹣1，1）（﹣1，2）共2个，

所以，P==．

故选B．

【点评】本题考查了列表法与树状图法，第二象限点的坐标特征，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，熟记概率公式是解题关键．

3．关于x的一元二次方程x2﹣2x=k有两个实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＞l    B．k＜1    C．k≥﹣l    D．k≤﹣1

【考点】根的判别式．

【分析】关于x的一元二次方程x2﹣2x=k有两个实数根，则根的判别式△≥0，据此可以列出关于k的不等式，通过解不等式即可求得k的值．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x=k即x2﹣2x﹣k=0有两个实数根，

∴△=（﹣2）2﹣4×（﹣k）≥0，

解得k≥﹣1．

故选C．

【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

4．一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为10，则这个矩形的面积为（　　）

A．25    B．50    C．25    D．50

【考点】矩形的性质．

【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等求出OA=OB=5，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB，再利用勾股定理列式求出BC，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．

【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OB=×10=5，

∵∠AOB=60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB=OA=5，

由勾股定理得，BC===5，

∴矩形的面积=BC•AB=5×5=25．

故选C．

【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．

5．某市2012年年底自然保护区覆盖率（即自然保护区面积占全市国土面积的百分比）仅为8.5%，经过两年努力，该市2014年年底自然保护区覆盖率达10.8%．设该市这两年自然保护区面积的年均增长率为x，则可列方程为（　　）

A．8.5%（l+x）=10.8%    B．8.5%（1+x）2=10.8%

C．8.5（1+x）÷8.5（1+x）2=10.8    D．8.5%（l+x）+8.5%（l+x）2=10.8%

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【专题】增长率问题．

【分析】本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．

【解答】解：设该市总面积为1，该市这两年自然保护区的年均增长率为x，根据题意得

1×8.5%×（1+x）2=1×10.8%，

即8.5%（l+x）2=10.8%．

故选B．

【点评】本题考查了增长率的问题，要记牢增长率计算的一般规律，然后读清题意找准关键语．

6．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB，AC上，则添加下面的条件后△AED与△ABC仍不相似的是（　　）

A．=    B．=    C．∠AED=∠B    D．∠AED=∠C

【考点】相似三角形的判定．

【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．

【解答】解：A、虽然，但∠A不为夹角，

不符合三角形相似的判定方法；

B、∵，∠A=∠A，

∴△AED∽△ABC；

C、∵∠AED=∠B，∠A=∠A，

∴△AED∽△ABC；

D、∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，

∴△AED∽△ABC；

故选：A．

【点评】本题考查了相似三角形的判定方法；三角形相似有多种判断方法，要灵活运用，且一定注意各元素的位置关系．

7．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（　　）

A．菱形    B．对角线互相垂直的四边形

C．矩形    D．对角线相等的四边形

【考点】三角形中位线定理；菱形的判定．

【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．

【解答】解：∵E，F，G，H分别是边AD，DC，CB，AB的中点，

∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD，

∴EH∥FG，EF=FG，

∴四边形EFGH是平行四边形，

假设AC=BD，

∵EH=AC，EF=BD，

则EF=EH，

∴平行四边形EFGH是菱形，

即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，

故选：D．

【点评】本题主要考查对菱形的判定，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行推理是解此题的关键．

8．如图l1∥l2∥l3，直线AC与DF交于点O，且与l1，l2，l3分别交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式不正确的是（　　）

A．=    B．=    C．=    D．=

【考点】平行线分线段成比例．

【分析】平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据以上内容判断即可．

【解答】解：A、∵l1∥l2∥l3，

∴=，故本选项错误；

B、∵l1∥l2∥l3，

∴=，故本选项错误；

C、∵l1∥l2∥l3，

∴=，故本选项错误；

D、∵l1∥l2∥l3，

∴=，故本选项正确；

故选D．

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能正确根据定理进行推理是解此题的关键，平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．

二、填空题：（本题满分24分，共有8道小题，每N题3分）

9．若==，则=　﹣　．

【考点】比例的性质．

【专题】计算题．

【分析】设===k，利用比例性质得a=3k，b=4k，c=5k，然后把a=3k，b=4k，c=5k代入进行分式运算即可．

【解答】解：设===k，则a=3k，b=4k，c=5k，

所以==﹣．

故答案为﹣．

【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积，合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．

10．已知x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣a2=0的一个根，则a=　﹣2或1　．

【考点】一元二次方程的解．

【专题】判别式法．

【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=﹣1代入方程，即可得到一个关于a的方程，即可求得a的值．

【解答】解：根据题意得：2﹣a﹣a2=0

解得a=﹣2或1．

故答案为：﹣2或1．

【点评】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根一定满足该方程的解析式．

11．小颖妈妈经营的玩具店进了一箱黑白两种颜色的塑料球3000个，为了估计两种颜色的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程，共摸了100次球，发现有69次摸到黑球，据此可以估计黑球的个数约是　2070　．

【考点】利用频率估计概率．

【分析】因为摸了100次球，发现有69次摸到黑球，所以摸出黑球的概率为0.69，再设出黑球的个数，根据概率公式列方程解答即可．

【解答】解：∵摸了100次球，发现有69次摸到黑球，

∴摸到黑球的频率为0.69

设黑球的个数为x，

即=0.69，

解得x=2070个．

故答案为：2070．

【点评】考查了利用频率估计概率的知识，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．

12．现有大小相同的正方形纸片若干张，小明想用其中的3张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形，则她最少要用　12　张正方形纸片（每个正方形纸片不得剪开）．

【考点】相似多边形的性质．

【分析】根据题意可知两个长方形相似，得到它们对应边的比相等，则至少长和宽各是原来的2倍，计算得到答案．

【解答】解：∵正方形纸片大小相同，

∴拼一个与它形状相同但比它大的长方形，至少长和宽各是原来的2倍，

∴需要正方形的纸片是2×6=12张，

故答案为：12．

【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握对应角相等，对应边的比相等的两个多边形是相似多边形是解题的关键．

13．从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可给人以协调的美感．某女老师身长约1.68m，下身长约1.02m，她要穿鞋后跟　5　cm高的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（结果精确到1cm）．

【考点】黄金分割．

【分析】设她要穿xcm的高跟鞋，根据黄金比值约为0.618列出方程，解方程得到答案

【解答】解：这位女老师的上身长为：1.68﹣1.02=0.66m，

设她要穿xcm的高跟鞋，

由题意得，=0.618，

解得x≈5．

故答案为：5．

【点评】本题考查的是黄金分割的知识，熟记黄金比值约为0.618是解题的关键，注意方程思想的正确运用．

14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=16，BD=12，则菱形ABCD的高DH=　9.6　．

【考点】菱形的性质．

【分析】根据菱形性质得出AC⊥BD，AO=OC=8，BO=BD=6，根据勾股定理求出AB，根据菱形的面积得出S菱形ABCD=×AC×BD=AB×DH，代入求出即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=16，BD=12，

∴AC⊥BD，AO=OC=AC=8，BO=BD=BD=6，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=10，

∵S菱形ABCD=×AC×BD=AB×DH，

∴×16×12=10DH，

∴DH=9.6，

故答案为9.6．

【点评】本题考查了菱形的性质和勾股定理的应用，熟记菱形的对角线互相垂直平分和菱形ABCD的面积=×AC×BD=AB×DH是解题关键．

15．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BD=3，CD=12，则AD的长为　6　．

【考点】射影定理．

【分析】根据射影定理得到AD2=CD•BD，代入计算即可得到答案．

【解答】解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，

∴AD2=CD•BD=36，

∴AD=6，

故答案为：6．

【点评】本题考查的是射影定理的应用，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．

16．如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；…；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．则Sn=　n2　．

【考点】正方形的性质．

【专题】规律型．

【分析】将△AME的面积表示为长方形减去三个三角形的形式，根据题意，找出各边长度，根据长方形的面积，三角形的面积公式即可得出结论．

【解答】解：S△AME=AC•AN﹣AN•MN﹣AC•CE﹣EF•MF．

∵AB=n，BC=1，四边形ABMN及四边形BCEF均为正方形，

∴AN=MN=AB=n，EF=CE=BC=1，MF=BM﹣BF=n﹣1．

∴Sn=n（n+1）﹣n•n﹣（n+1）﹣（n﹣1）=n2．

故答案为：n2

【点评】本题考查了正方形的性质、长方形和三角形的面积公式，解题的关键是将△AME的面积表示为长方形减去三个三角形的形式．本题属于中档题，有点难度，由于△AMF不是特殊的三角形，故不能直角找出它的面积，需要利用分割长方形的方法才能得到结论．

三、作图题请在答题卡的相应位置作答•

17．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：矩形ABCD，

求作：菱形AECF，使点E，F分别在边BC，AD上．

【考点】作图—复杂作图．

【专题】作图题．

【分析】连结AC，作AC的垂直平分线交BC于E、交AD于F，利用矩形的性质可得AC垂直平分EF，则四边形AECF为菱形．

【解答】解：如图，菱形AECF为所作．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

四、解答题：（本題共7道小题，满分68分）请在答题卡的相应位置作答.

18．解方程

（1）16x2+8x=3（公式法）

（2）x2+5x+5=0（配方法）

【考点】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法．

【分析】（1）移项后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；

（2）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

【解答】解：（1）16x2+8x=3，

16x2+8x﹣3=0，

b2﹣4ac=82﹣4×16×（﹣3）=256，

x=，

x1=，x2=﹣；

（2）x2+5x+5=0，

x2+5x=﹣5，

x2+5x+（）2=﹣5+（）2，

（x+）2=，

开方得：x+=±，

x1=，x2=．

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．

19．一个盒子中装有两个红球、两个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，请你用树状图或者列表法，求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．（红色和蓝色配成了紫色）

【考点】列表法与树状图法．

【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：列表得：

∴两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率为：=．

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

20．2016届九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD=15m，人的眼睛与地面的高度EF=1.6m，人与标杆CD的水平距离DF=2m，求旗杆AB的高度．

【考点】相似三角形的应用．

【专题】压轴题；转化思想．

【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB=EF=1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出，把相关条件代入即可求得AH=11.9，所以AB=AH+HB=AH+EF=13.5m．

【解答】解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，

∴CD∥AB

∴△CGE∽△AHE

∴

即：

∴

∴AH=11.9

∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5（m）．

【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度．

21．如图，一个矩形广场的长为60m，宽为40m，广场内两条纵向小路的宽均为1.5m，如果设两条横向小路的宽都为x m，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似？

【考点】相似多边形的性质．

【分析】根据相似多边形的性质：对应边的比相等列出比例式，解出x的值即可．

【解答】解：∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似，

∴=，

解得，x=1m，

答：当x为1m时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似．

【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：对应边的比相等是解题的关键．

22．某农业合作社投资000元共收获80吨的农产品，目前，该农产品可以以1200元/吨售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，且同时每星期每吨价格将上涨200元．问储藏多少星期出售这批农产品可获利122000元？

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】设储藏x星期出售这批农产品可获利122000元，则需要支付费用1600x元，损失2x吨，价格为（1200+200x）元，根据获利122000元，列方程求解．

【解答】解：设储藏x星期出售这批农产品可获利122000元，

由题意得（1200+200x）×（80﹣2x）﹣1600x﹣000=122000，

解得：x=15．

答：储藏15星期出售这批农产品可获利122000元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．

23．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点C作AB的平行线，交DF的延长线于点E，连接CD，AE．

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）当∠BAC的大小满足什么条件时，四边形AECD是正方形？证明你的结论．

【考点】正方形的判定；菱形的判定．

【分析】（1）由ASA证明△CEF≌△ADF，得出对应边相等EF=DF，证出四边形AECD是平行四边形，再由对角线互相垂直，即可得出四边形AECD是菱形；

（2）由菱形的性质得出∠EAC=∠BAC=45°，得出∠EAD=90°，即可得出四边形AECD是正方形．

【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，DF⊥AC，

∴DF∥BC，∵点D是AB中点，

∴F是AC的中点，

∴AF=CF，

∵CE∥AB，

∴∠ECF=∠DAF，

在△CEF和△ADF中，

，

∴△CEF≌△ADF（ASA），

∴EF=DF，

∴四边形AECD是平行四边形，

又∵DF⊥AC，

∴四边形AECD是菱形；

（2）解：当∠BAC=45°时，四边形AECD是正方形；理由如下：

∵四边形AECD是菱形，

∴∠EAC=∠BAC=45°，

∴∠EAD=90°，

∴四边形AECD是正方形．

【点评】本题考查了正方形的判定方法、菱形的判定方法、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形和正方形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．

24．问题探究：（1）已知：如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE丄DH于点O，求证：AE=DH 

类比探究：（2）已知：如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，则线段EF与HG有什么数量关系，并说明理由；

拓展应用：（3）已知：如图3，在（2）问条件下，若HF∥GE，BE=EC=2，EO=2FO，求HG的长．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）由正方形的性质得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DH；

（2）EF=GH．将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF，将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；

（3）易得△AHF∽△CGE，所以，由EC=2得AF=1，过F作FP⊥BC于P，根据勾股定理得EF=，根据（2）①知EF=GH，即可得到结论．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．

∴∠HAO+∠OAD=90°．

∵AE⊥DH，

∴∠ADO+∠OAD=90°．

∴∠HAO=∠ADO．

∴△ABE≌△DAH（ASA），

∴AE=DH．

（2）EF=GH．

将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF．

将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．

∵EF⊥GH，

∴AM⊥DN，

根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；

（3）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD

∴∠AHO=∠CGO

∵FH∥EG

∴∠FHO=∠EGO

∴∠AHF=∠CGE

∴△AHF∽△CGE

∴，

∵EC=2，

∴AF=1，

过F作FP⊥BC于P，

根据勾股定理得EF==

根据（2）知EF=GH，

∴GH=．

【点评】本题考查了三角形的综合知识．用到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等综合性较强，正确的作出辅助线是解题的关键．

25．已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB=4cm，BC=3cm．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀

逨运动，速度为1cm/s，过点P作PM⊥AD于点M，连接PQ，设运动时间为t（s）

（0＜t＜4）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，四边形PQAM是矩形？

（2）是否存在某一时刻t，使S四边形PQAM=S矩形ABCD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

（3）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？

【考点】相似形综合题．

【专题】计算题；数形结合；分类讨论．

【分析】（1）首先根据四边形ABCD是矩形，求出AC的长度是多少；然后根据相似三角形判定的方法，判断出△APQ∽△ACB，即可推得，据此求出t的值是多少即可．

（2）存在t=2，使S四边形PQAM=S矩形ABCD．首先根据四边形ABCD是矩形，求出S矩形ABCD的值是多少；然后分别求出△APM、△APQ的面积各是多少，再根据S四边形PQAM=S矩形ABCD，求出t的值是多少即可．

（3）当t=2或1时，△APQ与△ABC相似．根据题意，分两种情况讨论：①当∠AQP=90°时，△APQ与△ABC相似；②当∠APQ=90°时，△APQ与△ABC相似；求出当t为何值时，△APQ与△ABC相似即可．

【解答】解：（1）如图1，，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC===5，

∵四边形PQAM是矩形，

∴PQ⊥AB，

又∵CB⊥AB，

∴PQ∥CB，

∴△APQ∽△ACB，

∴，

即，

解得t=2，

∴当t为2时，四边形PQAM是矩形．

（2）存在t=2，使S四边形PQAM=S矩形ABCD．

如图2，，

∵四边形ABCD是矩形，

∴S矩形ABCD=AB•BC=4×3=12，

∵PM⊥AD，CD⊥AD，

∴PM∥CD，

∴△APM∽△ACD，

∴，

即，

解得AM=，PM=t，

∴S△APM=AM•PM=×=t2．

∵sin∠PAQ==，

∴S△APQ=AP•AQ•sin∠PAQ=t（4﹣t）×=t（4﹣t），

∵S四边形PQAM=S矩形ABCD，

∴t2+t（4﹣t）=×，

整理，可得

t2﹣20t+36=0

解得t=2或t=18（舍去），

∴存在t=2，使S四边形PQAM=S矩形ABCD．

（3）当t=2或1时，△APQ与△ABC相似．

①由（1），可得

当t=2时，∠AQP=90°，PQ∥CB，△APQ与△ABC相似．

②如图3，，

当∠APQ=90°时，△APQ与△ABC相似，

∵tan∠PAQ==，

∴，

即，

∴PQ=t，

∵BQ=t，

∴AQ=4﹣t，

在Rt△APQ中，

∵AP2+PQ2=AQ2，

∴，

解得t=1或t=﹣16（舍去）．

综上，可得

当t=2或1时，△APQ与△ABC相似．

【点评】（1）此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

（2）此题还考查了矩形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．下载本文