考试时间：120分钟   考试方式：闭卷

（提示：答案必须依试题顺序做在答题册上，并标明大、小题号，否则不予计分）

一、选择题（每小题2分共10分， 最后4小题任选2题）

1、曲线r=r(t)的切矢量有固定方向，则( )：(A) r r'=0，(B) r'r''=0，(C) r∙ r'=0， (D) r'∙ r''=0，(E) 都不是；

2、曲线r=r(t)的切矢量有固定长度，则( )：(A) r r'=0，(B) r'r''=0，(C) r∙ r'=0， (D) r'∙ r''=0，(E) 都不是；

3、可展的曲面( ): (A)Gauss曲率K=0，(B) 中曲率H=0，(C)是平面， (D)是柱面，(E) 都不是；

4、沿渐进线( ): (A)法曲率kn=0，(B) 测地曲率kg=0，(C) 曲率k=0， (D) 都不是；

5、(1/| r'|)' = ( ): (A) 1/| r'|2，(B)  −1/| r'|2 ，  (C) −r'·r'' /| r'|3， (D) r'·r'' /| r'|3， (E) 都不是。

6、设是单位向量，则它关于t的旋转速度为(  ): (A) (B) (C)| |  (D)| |

7、空间曲面v线的切方向为(  ):  (A) (B)  (C) (D) 

二、填空题（每小题2分共20分）

1、已知r=(cosx,sinx,x),0≤x≤1,其弧长总长=    ；

2、Γ：r=(acost, asint, t)的单位切向量是     ；

3、Γ：r=(cost, sint, t)的主法向量β=     ；

4、曲面上切向du:dv是渐进方向的条件,用第二基本量表示为      ；

5、r=(u+v,u−v,uv)的第一基本量G=        ；

6、曲面上满足LN-M2>0 的点称为               点；

7、Γ：r=(t, 2t, 3t)的曲率是     ；

8、Γ：r=( cosθ,sinθ,1)的挠率是       ；

9、曲面的Gauss曲率可以只用第         基本量计算；

10、球面上的测地线是球面上的                   。

三、判断题（每小题2分共20分）

( ) 1、平面曲线的特征是其曲率=0；

( )2、空间曲面的形状由Gauss曲率与中曲率唯一确定；

( )3、可展曲面与平面等距对应；

( )4、曲面的第二基本形式是一个半正定的二次型线；

( )5、球面上测地三角形内角和<π；

( )6、空间曲线由曲率k>0唯一确定；

( )7、挠率=0的曲线是直线；

( )8、坐标曲线正交当且仅当则F=0，其中F为第一基本量；

( )9、可展曲面是锥面、柱面或切线曲面；

( )10、直纹面都是可展曲面。

四、计算题（每小题6分共30分，最后2小题任选1题）

1、求曲线Γ：x=cost,y=sint, z=t 的法平面方程；

2、求曲线Γ：r=(acost, asint, et)过(a,0,1)的切线方程；

3、求曲面r=(ucosv,usinv,v)的过(0,1,π/2)的切平面方程；

4、已知曲面的第一基本形式为I=v(du2+dv2), v>0，求u-线的坐标曲线的测地曲率；

（提示：利用公式kgu=−(lnE)v/2G）

5、求曲面族Γα ： (y−α) − (x−α)2 /2=0的包络面方程。

6、在第一基本形式为I=du2+sinh2udv2的曲面上，求方程为u=v的曲线的弧长。 

7、在第一基本形式为I=du2+(u2+a2)dv2的曲面上，求由三条曲线u=v, v=0, u=1 相交所成的三角形面积。 

五、证明题（每小题5分共20分）

1、证明曲率k=0的曲线是直线. 

2、证明曲面：r=(φ(t)cosθ, φ(t)sinθ, φ(t))的参数网是正交网. 

3、证明曲线Γ：r=(1+3t+2t2, 2 − 2t+5t2, 1− t2)为平面曲线.

4、证明曲面：r=(v+cosu,v+sinu,au)可展. 下载本文