一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，计36分，请把答案填入下列表格中）
1．的立方根是（ ）
A．± B． C． D．
2．下列各数中是无理数的是（ ）
A． B．﹣π C．0.5 D．0
3．下列各组数中，不是勾股数的一组是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，10 D．5，12，13
4．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．8a﹣3b＝5ab B．（a2）3＝a5 C．a8÷a4＝a2 D．a2•a＝a3
5．若M＝（x﹣3）（x﹣4），N＝（x﹣1）（x﹣6），则M与N的大小关系为（ ）
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．由 x 的取值而定
6．下列命题中，逆命题为真命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．实数a、b；若a＝b，则|a|＝|b|
C．对顶角相等
D．若ac2＞bc2，则a＞b
7．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（ ）
A．4 B．30 C．18 D．12
8．（1﹣2x）（1+2x）的计算结果是（ ）
A．4x2+1 B．1﹣4x2 C．4x2 D．﹣4x2﹣1
9．如图，一棵大树在离地面9米高的B处断裂，树顶A落在离树底BC的12米处，则大树断裂之前的高度为（ ）
A．9米 B．15米 C．21米 D．24米
10．据不完全统计，2020年1～4月份我国某型号新能源客车的月销量情况如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．1月份销量为2万辆
B．从2月到3月的月销量增长最快
C．4月份销量比3月份增加了0.9万辆
D．1～4月新能源客车销量逐月增加
11．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠A＝40°，分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交AB于点P，连接CP，则∠ACP的度数为（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6cm，D为BC中点，E，F分别是AB，AC两边上的动点，且∠EDF＝90°，下列结论：①BE＝AF；②EF的长度不变；③∠BED+∠CFD的度数不变；④四边形AEDF的面积为9cm2．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．平方根等于它本身的数是 ．
14．若9a•27b÷81c＝9，则2a+3b﹣4c的值为 ．
15．如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件： ，使得△ABC≌△DEC．
16．用篱笆围一个面积为6a2﹣2a的长方形花圃，其中一边长为2a，则另一边的长为 ．
17．如图所示，已知△ABC的周长是10，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，则△ABC的面积是 ．
18．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D是边BC上的任意一点，以AD为折痕翻折△ABD，使点B落在点E处，连接EC，当△DEC为直角三角形时，BD的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．计算：
（1）；
（2）2x•（﹣5x）﹣2（x﹣1）2．
20．因式分解：
（1）mn2﹣9m
（2）2a2﹣4a+2
21．如图，AB＝AD，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B、D．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）连接BD交AC于点E，求证：BE＝DE．
22．为了比较+1与的大小，小伍和小陆两名同学对这个问题分别进行了研究．
（1）小伍同学利用计算器得到了≈2.236，≈3.162，所以确定+1 （填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）小陆同学受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发，构造出所示的图形，其中∠C＝90°，BC＝3，D在BC上且BD＝AC＝1．请你利用此图进行计算与推理，帮小陆同学对+1和的大小做出准确的判断．
23．某校为了解本校学生每周参加课外辅导班的情况，随机调查了部分学生一周内参加课外辅导班的学科数，并将调查结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整统计图（其中A：0个学科，B：1个学科，C：2个学科，D：3个学科，E：4个学科或以上），请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）请计算B组的人数，并将图2中的统计图补充完整；
（2）若该校共有2000名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生一周内参加课外辅导班在3个学科（含3个学科）以上的学生共有多少人？
24．如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．
25．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x•y＝，则x﹣y＝ ；
（3）拓展应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝15，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．
26．已知：△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°．
【初步探索】
（1）如图1，摆放△ACD和△BCE时（点A、C、B在同一条直线上，点E在CD上），连接AE、BD，线段AE与BD的数量关系是 ，位置关系是 ．（直接写出答案）
【拓展延伸】
（2）如图2，摆放△ACD和△BCE时，连接AE、BD，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【知识应用】
（3）如图3，摆放两块等腰直角三角板△ACD和△BCE，连接AE、DE．若有AE2＝DE2+2CE2，试求∠DEC的度数．
参
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，计36分，请把答案填入下列表格中）
1．的立方根是（ ）
A．± B． C． D．
【分析】利用立方根定义计算即可得到结果．
解：∴（）3＝，
∴的立方根是；
故选：D．
2．下列各数中是无理数的是（ ）
A． B．﹣π C．0.5 D．0
【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：A、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、﹣π是无理数，故本选项符合题意；
C、0.5是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：B．
3．下列各组数中，不是勾股数的一组是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，10 D．5，12，13
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
解：A、22+32≠42，不是勾股数，此选项正确；
B、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项错误；
C、62+82＝102，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项错误；
D、52+122＝132，是正整数，故是勾股数，此选项错误．
故选：A．
4．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．8a﹣3b＝5ab B．（a2）3＝a5 C．a8÷a4＝a2 D．a2•a＝a3
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．
解：A、8a与3b不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；
B、（a2）3＝a6，故选项B不合题意；
C、a8÷a4＝a4，故选项C不符合题意；
D、a2•a＝a3，故选项D符合题意．
故选：D．
5．若M＝（x﹣3）（x﹣4），N＝（x﹣1）（x﹣6），则M与N的大小关系为（ ）
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．由 x 的取值而定
【分析】求出M和N的展开式，计算M﹣N的正负性，即可判断M与N的大小关系．
解：M＝（x﹣3）（x﹣4）＝x2﹣7x+12；
N＝（x﹣1）（x﹣6）＝x2﹣7x+6；
∵M﹣N＝6＞0；
∴M＞N；
故选：A．
6．下列命题中，逆命题为真命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．实数a、b；若a＝b，则|a|＝|b|
C．对顶角相等
D．若ac2＞bc2，则a＞b
【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．
解：A、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，逆命题是真命题；
B、实数a、b；若a＝b，则|a|＝|b|的逆命题是若实数a、b，|a|＝|b|，则a＝b，逆命题是假命题；
C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题；
D、若ac2＞bc2，则a＞b的逆命题是若a＞b，则ac2＞bc2，逆命题是假命题；
故选：A．
7．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（ ）
A．4 B．30 C．18 D．12
【分析】由条件可证明△ADE为等边三角形，且可求得AD＝4，可求得其周长．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∵AB＝10，BD＝6，
∴AD＝AB﹣BD＝10﹣6＝4，
∴△ADE的周长为12．
故选：D．
8．（1﹣2x）（1+2x）的计算结果是（ ）
A．4x2+1 B．1﹣4x2 C．4x2 D．﹣4x2﹣1
【分析】根据平方差公式求出即可．
解：（1﹣2x）（1+2x）
＝12﹣（2x）2
＝1﹣4x2，
故选：B．
9．如图，一棵大树在离地面9米高的B处断裂，树顶A落在离树底BC的12米处，则大树断裂之前的高度为（ ）
A．9米 B．15米 C．21米 D．24米
【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
解：由题意得BC＝9，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝15米．
所以大树的高度是15+9＝24米．
故选：D．
10．据不完全统计，2020年1～4月份我国某型号新能源客车的月销量情况如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．1月份销量为2万辆
B．从2月到3月的月销量增长最快
C．4月份销量比3月份增加了0.9万辆
D．1～4月新能源客车销量逐月增加
【分析】结合折线图逐个计算分析得结论．
解：由折线图可以看出：1月份新能源车的销量是2万辆，故选项A正确；
从二月到三月新能源车的销量增长了3.5﹣1.8＝1.7（万辆），
从三月到四月，新能源车的销量增长了4.4﹣3.5＝0.9（万辆）；
所以从2月到3月的月新能源车销量增长最快，4月份销量比3月份增加了0.9万辆，故选项B、C正确；
由于二月份销量比一月份减少了，故选项D错误．
故选：D．
11．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠A＝40°，分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交AB于点P，连接CP，则∠ACP的度数为（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
【分析】由∠B＝60°，∠A＝40°，可得∠ACB＝80°，根据作图过程可得，PN是BC的垂直平分线，进而可求∠ACP的度数．
解：∵∠B＝60°，∠A＝40°，
∴∠ACB＝80°，
根据作图过程可知：
PN是BC的垂直平分线，
∴PB＝PC，
∴∠B＝∠PCB＝60°，
∴∠ACP＝∠ACB﹣∠PCB＝80°﹣60°＝20°．
故选：C．
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6cm，D为BC中点，E，F分别是AB，AC两边上的动点，且∠EDF＝90°，下列结论：①BE＝AF；②EF的长度不变；③∠BED+∠CFD的度数不变；④四边形AEDF的面积为9cm2．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】证明△BDE≌△ADF（ASA）即可一一判断得出答案．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，
∵∠BDA＝∠EDF＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
∵∠B＝∠DAF＝45°，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF，DE＝DF，
故①正确，
∵DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵DE的长度是变化的，
∴EF的长度是变化的．
故②不正确．
∵△BDE≌△ADF，
∴∠BED＝∠AFD，
∴∠BED+∠CFD＝∠AFD+∠CFD＝180°，
故③正确；
∵△BDE≌△ADF，
∴S△BDE＝S△ADF，
∴S△ADE+S△ADF＝S△ADE+S△BDE＝S△ADB＝＝×6×6＝9（cm2）．
故④正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．平方根等于它本身的数是 0 ．
【分析】根据平方根的定义即可求出平方根等于它本身的数．
解：∵02＝0，
∴0的平方根是0．
∴平方根等于它本身的数是0．
故填0．
14．若9a•27b÷81c＝9，则2a+3b﹣4c的值为 2 ．
【分析】利用幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对已知条件进行整理，从而可求解．
解：9a•27b÷81c＝9，
32a•33b÷34c＝32，
32a+3b﹣4c＝32，
∴2a+3b﹣4c＝2，
故答案为：2．
15．如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件： AB＝DE ，使得△ABC≌△DEC．
【分析】本题要判定△ABC≌△DEC，已知AC＝DC，BC＝EC，具备了两组边对应相等，利用SSS即可判定两三角形全等了．
解：添加条件是：AB＝DE，
在△ABC与△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC．
故答案为：AB＝DE．本题答案不唯一．
16．用篱笆围一个面积为6a2﹣2a的长方形花圃，其中一边长为2a，则另一边的长为 3a﹣1 ．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
解：∵用篱笆围一个面积为6a2﹣2a的长方形花圃，其中一边长为2a，
∴另一边的长为：（6a2﹣2a）÷2a＝6a2÷2a﹣2a÷2a＝3a﹣1．
故答案为：3a﹣1．
17．如图所示，已知△ABC的周长是10，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，则△ABC的面积是 5 ．
【分析】连接OA，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到OG＝OH＝OD＝1，根据三角形的面积公式计算即可．
解：连接OA，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥AC于H，
∵△ABC的周长是10，
∴AB+BC+AC＝10，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OG⊥AB，OH⊥AC，
∴OG＝OH＝OD＝1，
∴△ABC的面积＝△ABO的面积+△OBC的面积+△AOC的面积
＝×AB×OG+×BC×OD+×AC×OH
＝×10×1
＝5，
故答案为：5．
18．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D是边BC上的任意一点，以AD为折痕翻折△ABD，使点B落在点E处，连接EC，当△DEC为直角三角形时，BD的长为 3或6 ．
【分析】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，根据勾股定理求得AB＝＝10，根据翻折的性质得AE＝AB＝10，DE＝BD，∠AED＝∠B＝90°．①如图1，当∠DEC＝90°时，推出点E在线段AC上，设BD＝DE＝x，则CD＝8﹣x，根据勾股定理即可得到结果；②如图2，当∠EDC＝90，于是得到∠BDE＝90°，求得∠BDA＝∠ADE＝45°，于是得到△ABD是等腰直角三角形于是得到结果．
解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵△AED是△ABD以AD为折痕翻折得到的，
∴AE＝AB＝6，DE＝BD，∠AED＝∠B＝90°．
当△DEC为直角三角形，
①如图1，当∠DEC＝90°时，
∵∠AED+∠DEC＝180°，
∴点E在线段AC上，
设BD＝DE＝x，则CD＝8﹣x，
∴CE＝AB﹣AE＝4，
∴DE2+CE2＝CD2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
②如图2，当∠EDC＝90，
∴∠BDE＝90°，
∵∠BDA＝∠ADE，
∴∠BDA＝∠ADE＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴AB＝BD＝6．
综上所述：当△DEC为直角三角形时，BD的长为3或6．
故答案为：3或6．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．计算：
（1）；
（2）2x•（﹣5x）﹣2（x﹣1）2．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先计算单项式乘单项式，完全平方式，然后再合并同类项．
解：（1）
＝4+﹣1﹣2
＝+1；
（2）2x•（﹣5x）﹣2（x﹣1）2
＝﹣10x2﹣（2x2﹣4x+2）
＝﹣10x2﹣2x2+4x﹣2
＝﹣12x2+4x﹣2．
20．因式分解：
（1）mn2﹣9m
（2）2a2﹣4a+2
【分析】（1）先提公因式m，再利用平方差进行二次分解即可；
（2）先提公因式2，再利用完全平方进行二次分解即可．
解：（1）原式＝m（n2﹣9）＝m（n+3）（n﹣3）；
（2）原式＝2（a2﹣2a+1）＝2（a﹣1）2．
21．如图，AB＝AD，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B、D．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）连接BD交AC于点E，求证：BE＝DE．
【分析】（1）利用HL证明Rt△ABC≌Rt△ADC即可；
（2）结合（1）利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）；
（2）∵Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵AB＝AD，
∴BE＝DE．
22．为了比较+1与的大小，小伍和小陆两名同学对这个问题分别进行了研究．
（1）小伍同学利用计算器得到了≈2.236，≈3.162，所以确定+1 ＞ （填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）小陆同学受到前面学习在数轴上用点表示无理数的启发，构造出所示的图形，其中∠C＝90°，BC＝3，D在BC上且BD＝AC＝1．请你利用此图进行计算与推理，帮小陆同学对+1和的大小做出准确的判断．
【分析】（1）代入计算，再根据实数大小比较的方法进行比较即可求解；
（2）依据勾股定理即可得到AD＝＝，AB＝＝，BD+AD＝+1，再根据△ABD中，AD+BD＞AB，即可得到+1＞．
解：（1）∵≈2.236，≈3.162，
∴+1≈3.236，
∵3.236＞3.162，
∴+1＞．
故答案为：＞；
（2）∵∠C＝90°，BC＝3，BD＝AC＝1，
∴CD＝2，AD＝＝，AB＝＝，
∴BD+AD＝+1，
又∵△ABD中，AD+BD＞AB，
∴+1＞．
23．某校为了解本校学生每周参加课外辅导班的情况，随机调查了部分学生一周内参加课外辅导班的学科数，并将调查结果绘制成如图1、图2所示的两幅不完整统计图（其中A：0个学科，B：1个学科，C：2个学科，D：3个学科，E：4个学科或以上），请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）请计算B组的人数，并将图2中的统计图补充完整；
（2）若该校共有2000名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生一周内参加课外辅导班在3个学科（含3个学科）以上的学生共有多少人？
【分析】（1）由A的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其它类别人数求得B的人数即可补全图形；
（2）用总人数乘以样本中D和E人数占总人数的比例即可得．
解：（1）∵被调查的总人数为20÷20%＝100（人），
B组的人数为100﹣（20+30+10+5）＝35（人），
补全图形如下：
（2）估计该校全体学生一周内参加课外辅导班在3个学科（含3个学科）以上的学生共有2000×＝300（人）．
24．如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为250m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m，BM的长为150m．
（1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉B到小路AC的最短距离．
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理的逆定理和垂线段解答即可．
解：（1）在Rt△MNB中，BN＝＝＝90（m），
∴AN＝AB﹣BN＝250﹣90＝160（m），
在Rt△AMN中，AM＝＝＝200（m），
∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝200+150＝350（m）；
（2）∵AB＝250m，AM＝200m，BM＝150m，
∴AB2＝BM2+AM2，
∴△ABM是直角三角形，
∴BM⊥AC，
∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM＝150m．
25．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 （a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ；
（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x•y＝，则x﹣y＝ ±4 ；
（3）拓展应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝15，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．
【分析】（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为（a+b）2﹣（b﹣a）2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，根据图1的面积和图2中白色部分的面积相等可得答案；
（2）根据（1）中的结论，可知（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，将x+y＝5，x•y＝代入计算即可得出答案；
（3）将等式（2019﹣m）+（m﹣2020）＝﹣1两边平方，再根据已知条件及完全平方公式变形可得答案．
解：（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为（a+b）2﹣（b﹣a）2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，
∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（2）根据（1）中的结论，可知（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
∵x+y＝5，x•y＝，
∴52﹣（x﹣y）2＝4×，
∴（x﹣y）2＝16
∴x﹣y＝±4，
故答案为：±4；
（3））∵（2019﹣m）+（m﹣2020）＝﹣1，
∴[（2019﹣m）+（m﹣2020）]2＝1，
∴（2019﹣m）2+2（2019﹣m）（m﹣2020）+（m﹣2020）2＝1，
∵（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝15，
∴2（2019﹣m）（m﹣2020）＝1﹣15＝﹣14；
∴（2019﹣m）（m﹣2020）＝﹣7．
26．已知：△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°．
【初步探索】
（1）如图1，摆放△ACD和△BCE时（点A、C、B在同一条直线上，点E在CD上），连接AE、BD，线段AE与BD的数量关系是 AE＝BD ，位置关系是 AE⊥BD ．（直接写出答案）
【拓展延伸】
（2）如图2，摆放△ACD和△BCE时，连接AE、BD，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【知识应用】
（3）如图3，摆放两块等腰直角三角板△ACD和△BCE，连接AE、DE．若有AE2＝DE2+2CE2，试求∠DEC的度数．
【分析】（1）延长AE交BD于F，证明△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，∠CAE＝∠CDB，根据垂直的定义求出AE⊥BD；
（2）延长AE交BD于M，交CD于G，证明△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，∠CAE＝∠CDB，仿照（1）的方法证明结论；
（3）连接BD，证明△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，根据勾股定理的逆定理得出∠DEB＝90°，结合图形得出结论．
解：（1）如图1，延长AE交BD于F，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB，
∵∠CDB+∠DBC＝90°，
∴∠CAE+∠DBC＝90°，
∴∠AFB＝90°，
∴AE⊥BD，
故答案为：AE＝BD，AE⊥BD；
（2）（1）中的结论仍然成立，AE＝BD，AE⊥BD，
理由如下：如图2，延长AE交BD于M，交CD于G，
∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ACD﹣∠ECD＝∠BCE﹣∠ECD，即ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB，
∵∠CAE+∠AGC＝90°，∠AGC＝∠DGM，
∴∠CDB+∠DGM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∴AE⊥BD；
（3）如图3，连接BD，
∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ACD+∠ACB＝∠BCE+∠ACB，即ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，
在Rt△BCE中，CE＝CB，
∴BE2＝2CE2，
∵AE2＝DE2+2CE2，
∴BD2＝DE2+BE2，
∴∠DEB＝90°，
∴∠DEC＝90°﹣45°＝45°．
