§1概述

一、粘性不可压缩流动模型

１、关于粘性  粘性摩擦的存在必导致绕流阻力的存在，运动的衰减及涡量的扩散。

在大数下，惯性力>>粘性力，采用理想流体模型，理想流体理论对不脱体绕流情况下的升力，压力分布和速度分布给出了符合实际的结果，但在阻力等与粘性效应相关的问题上却为力。因而，在研究阻力等起源于粘性的现象时须抛弃理想流体假设。

在小数和中数情况下，粘性作用不可忽略。

2、关于不可压缩流动（流体的压缩性对流动的影响可略）

液体压缩系数小，一般可认为不可压缩（极端情况如激波等除外）。

气体在低速运动（速度远小于声速）、非定常时速度变化缓慢，且重力方向上流场的尺度<10km时，可略其压缩性。（当研究对流层（~10km）内大气运动时，不能忽略重力场引起的压缩效应）。

３、基本方程组和边界条件

均质不可压缩流体，且温度变化小，，故有

求速度和压力场的完备方程组。

能量方程    用于求温度场

本构方程            用于求应力

边界条件：在固壁表面上，流体的法向和切向速度分别等于固体表面的对应速度分量。

          在自由表面上，。

二、粘性流动分类，求解问题的几种途径

层流：流体运动规则、稳定，各部分分层流动互不掺混，质点轨迹光滑。脉线清晰

湍流：流体运动极不规则、极不稳定，伴有高频扰动，各部分激烈掺混，质点轨迹杂乱无章。

决定流动状态的参数是数(Batchlor page255)， <<2000一定是层流，此时粘性力足以保持流动的稳定。

层流：极少有准确解（某些特殊的简单问题，非线性方程得以简化）

      近似解法：大数，边界层理论

                小数，部分或全部忽略惯性力。

湍流：湍流理论（近似解法）

三、粘性流动的一般特征

1、运动的有旋性

由   ()   知N一S方程可化为

粘性不可压缩流动方程组改写为

若则N-S方程化为Euler方程，粘性与无粘流动的区别就仅在于固壁上的无滑移边界条件。理想流体上述方程组在下有唯一解，此解一般不满足无滑移条件，也就是说，粘性不可压缩无旋流动的解一般不存在粘性不可压缩流动一般是有旋运动。

特例：点涡引起的理想流体二维流动在区域的解亦是的圆柱在粘性流体中匀角速度定轴转动引起的粘性流动。

２、机械能的耗损性   

3、涡旋的扩散性与耗散性   （北大）

§9.5-9.6 粘性不可压缩流动的一些准确解

一、定常的单一方向流动

1、平面Couette流动与Poiseuille流动

两无限大平行平板，平板间充满均质不可压缩流体，间距，上板以速度沿轴方向运动，下板静止，研究板间流体的定常流动。

由流动特点可知：，，，，  

。

N-S方程：

。

边界条件：，。

1）若沿轴方向无压差，流动仅由上板拖动引起，即称Couette流动，此时

   ——简单剪切流动。

2）上板、下板均不动，，，则为Poiseuille流动，此时

。

3）平板所受粘滞力（以Couette流为例）

或下板受切应力。

4）拖动单位面积上平板外力做功功率。

单位体积流体机械能耗散。

单位面积平板板间流体柱内的总机械能耗散。

例1 求解粘性流体沿倾斜平板下泻的流动（考虑重力的影响，假设自由表面与平板平行）。

边界条件：， 

公式(2)，代入(1)并考虑到(3)知

  ------（4）

设，则，代入（4）得。

再利用边界条件得。

讨论：

1）若上边界处是自由表面，则由于边界上故；

另外要求，

故  。

2）上板速度多大时，下板上摩檫应力为零

，此时

。

2、截面均匀的圆管内的粘性层流（Hagen-Poiseuille流动）

无限长圆管内压强梯度力作用下的定常层流。假设外加压差不随时间变化，不考虑入口段流动（粘性作用尚未达到充分，速度剖面随离入口的距离变化）可假设管无限长。流体在压差作用下开始流动，当进入管中充分长距离后，粘性力达到与压强梯度力平衡，速度剖面不再变化，取柱坐标系如图，，。

柱坐标系下原始方程见吴书（下册page229），此流动轴对称，仅考虑N-S 方程的和两分量方程：

则

边界条件：，，另外附加有，有限； 

故       

讨论：

流量及平均速度

  ,  ，可利用此关系通过测量流量来获得粘性系数。

注 关于压差（管长）的量纲分析解见余志豪习题解答page119。

流体层间的阻力：；

轴上：；壁上：。

  阻力系数，其中。

二、两同轴旋转圆柱间的定常流动（圆形流线情形，不计重力）

流体充满两无限长同轴圆柱之间，两圆柱旋转角速度分别为。求解启动充分长时间后的定常流动。

选取柱坐标系，由流动特点可知：，，，，， 

N-S方程： 

(1)式解释：压强梯度力提供向心力；

(2)式解释：.

(2)式即一一Euler方程，设代入得，故解为。

边界条件： ，；

最后可得  ---------（3）

讨论：

1）应力张量分量，它代表任一流体柱壳外表面上的粘性应力，任一单位长流体柱壳外表面受摩擦力矩，与无关，因而该柱壳内外表面摩檫力矩平衡，故作定常运动。

2）(3)式中第一项表示刚性旋转(有旋流动)，第二项表示无旋运动.

    若（无内柱）则  表示旋转的桶内流体与桶一起刚性旋转；

    若无外柱壳则，这是N-S方程无旋流解的一个实例。

    将以上二者结合起来，即考虑一个旋转的圆柱壳浸没于无界的粘性不可压缩流体中旋转，则得到

§3、非定常的单一方向的流动

一、平板的突然启动——Stokes第一问题（瞬态过程）

假设有一无限大平板浸没在无界的静止流体中，突然平板以速度沿其自身所在平面运动起来，并且此后一直保持这一速度不变，求解平板启动后流体运动的演化过程。

；（任意时刻流动还没有传到的地方就可看成无穷远）

解定解问题     

解法一：由定解问题形式知，而组成唯一无量纲变数（）；由量纲齐次性原理知

定解问题化为，

（把偏微分方程化成了常微分方程）

故  

（，，）

解法二：用Laplace变换方法求解

解法三：李新明书

分析：1、速度分布  北大图；

      2、涡量  

涡量的产生：在启动的那一瞬间，板面上流体质点速度，其外的流体在瞬时的粘性作用下有加速度，但还没有速度（速度的获得需要时间）从而出现一个速度的间断面，板上这层流体在板和板外静止流体的粘性切应力的作用下被“搓”出涡量。

   3、速度和涡量的扩散（时是由于均摊，还是由于粘性损耗？）

    当时，可以认为涡量和动量主要集中于以下，即可作为速度和涡量已传播到的区域的边线，对应涡量和速度扩散的距离以的规律增加，扩散速率按规律减小。另外越大，扩散越快。

涡量和速度都集中于板面附近的小区域内，随，界面上涡量场逐渐减弱。而某一处，涡量先增后减。整个涡量场逐渐趋于均匀，最后达到（涡量由于粘性而扩散，（总量不变，参考教材习题11外力拖板作功补充动能损耗），扩散方程中未含有耗散项，粘性只导致扩散。

eg：关于涡量的产生和扩散的一个规律

在平板突然启动问题中证明，式中，该流动的速度为

，这个积分意味着，由于平板的运动在时产生了一定量的涡量，随时间的推移，涡量在流体内部扩散，但总的涡量保持不变。

证明：   代入积分即得证。

（两无限大平板突然启动，速度均为，中间流体时达到，涡量消失始自两板附近反向涡层的扩散。）

§9.3相似原理与量纲分析

一、模型实验的必要性：

可以求得理论上的精确解的流动，只是一些简单的流动。实际的情形要复杂得多，以至求解一种真实的流动往往会变得非常困难，甚至无可能实现。要解决复杂的真实流动问题，一方面依靠发展各种相似理论和数值解法；另一方面则要通过对实验观测结果的正确分析。

流体力学实验原则上是要研究尺度上缩小或放大了的真实流动。通过对这种模拟流动的观测与分析，去推知真实流动的特性与规律。例如，用飞机模型在风洞中作吹风试验，舰船在水槽中拖动测量等。模拟实验一方面可以降低费用，另一方面也可使实验条件容易控制。于是就提出了一个问题：应该如何设计模型实验，才能使模拟流动与真实的流动之间有简单的变换关系，以及如何将有限的实验结果应用于广泛的实际流动中去。这些正是相似性原理所要回答的问题。

    本课程不准备讲述相似理论的全面、严格的理论内容，只着重于介绍其思想方法，故仅从一例出发进行分析。

二、相似原理

考虑不可压缩粘性流体定常绕流圆球的问题，动力学方程组和定解条件：

将上述定解问题无量纲化， 

   ，， 

得无量纲方程

由此可见，若两个不可压缩粘性流体绕球定常流动满足，则此二流动无量纲方程解完全一致。此二流动之间有简单变换关系，如，

说明（相似原理主要内容）：

定义Renold数

“流动相似”的概念

首先是几何相似（仅强调边界的几何相似），从而无量纲化后的边界条件一致。其次在确定实验参数时要求数相等从而保证无量纲化方程组一致。这样两个流动就是相似的。此时，两个流动的同一物理量（如）在对应点上的值成比例，这叫作力学相似。

数相等是“相似准则”之一。相似准则——无量纲化方程各项的系数，不同的流动问题相似准则个数不同，要具体问题具体分析。（两个定常粘性绕球流动若数相等则相似，故数称为相似准则）。

，适用于所有相似的流动。

一般粘性不可压缩流动力学相似性：吴书p231-238。

三、相似原理对模型实验的指导意义：

对于模型实验设计的指导意义：设计实验必须保证几何相似和满足相似准则。可在相似准则允许的前提下适当选择实验参数，eg.研究飞机在空中的等速平飞，其相似准则为数：。实验参数（风洞风速，模型特征尺寸，风洞内介质）须满足：

     ，可增大风洞尺寸以增大，或增大空气密度以减小从而减小。（，战斗机可达2倍音速，甚至接近3倍音速）

对于实验研究的指导意义：例如绕流问题中物体受力的实验测量。吴书p236。

二、量纲分析

1.量纲的概念。（实例说明）

2.量纲齐次性原理。

    描述物理定律的等式或不等式两端的物理量必须有相同的量纲，也就是说，只有量纲相同的量才能够相加或比较。eg  

应用：用于分析或检验物理量之间的关系。

eg：声速是一个平衡态的热力学状态变量，在任何均质系统中，任一热力学量都是两个热力学变量的确定函数，我们取和为热力学变量，于是

，为关于的多项式，设幂次分别为

按量纲齐次性原理  

其中，， 

于是有，， ，得，（为唯一一组可能值）

因此，我们得到或（可能的关系式中的一种）

这里为常数，只能由热力学理论或实验求得。实验测量时，只需测量数据组，根据数据拟合出二者之间的线性关系，而不是测，大大简化测量与分析。

例1，用１：30的模型在水槽中研究潜艇阻力问题。若实际潜艇水下航速为10knot，试确定研究摩阻时，模型拖拽速度多大。

答：研究摩阻时，相似准则为数：  故

   参见吴望一： 

定常绕流数消失，不计重力数消失，潜艇在水下，不考虑自由表面，数消失，只剩下数。

例2，一模型港尺度比为280：1，设真实storm wave 振幅1.524m，波速9.144m/s。试确定模型实验波的特征量。

答：几何相似要求模型波浪尺寸：，。

考虑重力起作用的表面波（重力波）：

特征量周期T，；波高，；波速c，，及

无量纲化方程： 

   Strouhal数：，若满足几何相似，则Strouhal数自然相等。

   Froude数： 

故模型波速为。

粘性流体的不可压缩流动习题课

小结：

粘性不可压缩流动基本方程组和边界条件

典型的精确解及流动规律：

Stokes和Ossen近似，绕球流动。

Eg1、柱坐标系下求解是定常的单一方向的流动

     粘性系为的流体沿水平圆管作定常流动，速度，压强梯度不为零；

1）试证： 

2）给出通过管子的体积流量

证明：1）连续性方程  

故

         N-S方程

         (1)式表明(2)式两端均为常数，令

         则得证。

       2)积分上式并考虑到边界条件得：

        体积流量为

eg2：自由表面界面问题

     一皮带通过一液体池沿直线向上以匀速运动，由于粘性带走一层流体（厚度，密度，粘性系数）而重力使其下流，试给出流体运动速度所满足的边界条件、带走的流体层的厚度内的速度分布和流量。假定流动定常，铅直方向无压差，略大气摩擦。

解：速度只有分量，从而连续性方程自然满足

    边界条件：  

N-S方程

已知  故可解得

eg3、两流体界面边界条件

     如图，两层不同密度，不同粘性的流体成层放置，设水平方向无压差，上板以向右匀速移动，求速度分布。

解：  

N-S方程：上层：   

      下层：  

解得  ， 

衔接条件：，

边界条件：  

故得： 

eg4：椭圆边界。考虑椭圆边界的管子内不可压缩粘性流体的定常流动。管子截面周线方程为

1）证明：满足该情形下的粘性流动方程；

2）已知、、和  ，决定、、；

3）讨论你所得到的解当时的极限情况。

证明：1）基本定解问题： 

        满足N-S方程，亦满足连续性方程。

        为满足边界条件要求，ie， 

     2）由（1）得则，  ，则

     3）当时化成两板间的流动  。

Eg5、非定常精确解

     考虑为上、下平板所界的流体的运动，其中上平板维持不动，下平板突然有平行于自身的运动，其稳定的速度为，如图，试证明速度分布为

证明： 

设，其中

则满足

此方程的解由分离变量法易得：

其中      得证。

Eg6：关于涡量的产生和扩散的一个规律

在平板突然启动问题中证明，式中，该流动的速度为

，这个积分意味着，由于平板的运动在时产生了一定量的涡量，随时间的推移，涡量在流体内部扩散，但总的涡量（涡通量）保持不变。

证明：   代入积分即得证。

Eg7：变形情况北大3、4、5（仿照题4设形式解）

Eg8：球坐标系问题，北大.8。下载本文