数学试卷

注意事项：

1、本试卷共160分，考试用时120分钟。

2、答题前，考生务必将姓名、考试号写在答题纸上，考试结束后，交回答题纸。

参考公式：样本数据，其中为样本平均数．

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共40分。请把答案填写在答题纸相应位置上）

1．．

2．已知复数，其中i是虚线单位，则        ．

3．已知全集U=R，集合，则集合    　　．

4．某同学五次测验的成绩分别为78，92，86，84，85，则该同学五次测验成绩的方差为

　    　　    ．

5．已知中心在坐标原点的椭圆经过直线与坐标轴的两个交点，则该椭圆的　

　离心率为            ．

6．右图是一个算法的流程图，若输入x=6，则输出k的值是        ．

7．已知等比数列{an}的各项都为正数，它的前三项依次为1，a+1，

　2a+5，则数列{an}的通项公式．

8．同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为3的倍数的概率是        ．

9．已知向量满足夹角

　的大小为　　    ．

10．若方程的解为x0，则不小于x0的最小整数是      ．

11．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是π，则这个圆柱的体积是

            ．

12．△ABC中，若A=2B，则的取值范围是            ．

13．已知函数，分别给出下面几个结论：

 ①是奇函数；        　　　　　②函数的值域为R； 

③若x1x2，则一定有；④函数有三个零点．

其中正确结论的序号有            ．（请将你认为正确的结论的序号都填上）

14．在数列中，如果存在正整数T，使得对于任意的正整数m均成立，

那么就称数列为周期数列，其中T叫数列的周期。已知数列，如果，

当数列的周期最小时，该数列前2010项的和是            。

二、解答题：（本大题共6小题，共计90分。请在答题纸指定区域内作答，解答量应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）

　已知向量．

（Ⅰ）求函数的最大值；

（Ⅱ）求函数在[0，π]上的单调递增区间．

16．（本小题满分14分）

　如图，在四棱锥O—ABCD中，AD//BC，AB=AD=2BC，OB=OD，M是OD的中点．

　求证：（Ⅰ）直线MC//平面OAB；

（Ⅱ）直线直线OA．

17．（本小题满分14分）

　某自来水公司准备修建一条饮水渠，其横截面为如图所示的等腰梯形，，　

　按照设计要求，其横截面面积为平方米，为了使建造的水渠用料最省，横截面的周　

　长（梯形的底BC与两腰长的和）必须最小，设水渠深h米．

（Ⅰ）当h为多少米时，用料最省？

（Ⅱ）如果水渠的深度设计在的范围内，求横截面周长的最小值．

18．（本小题满分16分）

　已知⊙C1：，点A(1,－3)

（Ⅰ）求过点A与⊙C1相切的直线l的方程；

（Ⅱ）设⊙C2为⊙C1关于直线l对称的圆，则在x轴上是否存在点P，使得P到两圆的切　

　线长之比为？荐存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

19．（本小题满分16分）

　设函数．

（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数仅在x=0处有极值，试求a的取值范围；

（Ⅲ）若对于任何上恒成立，求b的取值范围．              20．（本小题满分16分）（本题中必要时可使用公式：）　

　设是各项均为正数的无穷项等差数列．

（Ⅰ）记，

已知，试求此等差数列的首项a1及公差d；

（Ⅱ）若的首项a1及公差d都是正整数，问在数列中是否包含一个非常数列　

　的无穷项等比数列？若存在，请写出的构造过程；若不存在，说明理由．

               参及评分标准

1．    　2．    　3．　4．20    5．　6．4    　7．    

8．    　9．    　10．5　11．    　12．（1，2）　13．①②④    　14．1340

15．解：（1）因为，

   所以， 

              =

              =，…………………………（6分）

   所以，当时，

   取得最大值；………………………………（10分）

  （2）由（1）由知的最小正周期是，

   由,

所以上的递增区间为．………………（14分）

16．证明：（1）设N是OA的中点，连接MN，NB，

     因为M是OD的中点，

     所以MN//AD，且2MN=AD，

     又AD//BC，AD=2BC，

     所以MNBC是平行四边形，

     所以MC//NB，

     又MC平面OAB，NB平面OAB，

     所以直线MC//平面OAB；   ………………………………（7分）

（2）设H是BD的中点，连接AH，

     因为AB=AD，所以，

     又因为OB=OD，所以

     所以BD面OAH

     所以．……………………………………（14分）

17．解：（1），

设外周长为 l，则l=2AB+BC=，

当时等号成立，外周长的最小值为，此时堤高h为米；

                                                ………………（8分）

（2）

 解，l是h的增函数，

所以（米），（当h=3时取得最小值）．……………（14分）

18．解：（1），

因为点A恰在上，所以点A即是切点，

，

所以，直线l的方程为；………………（8分）

（2）因为点A恰为C1C2中点，所以，，

所以，，

设①，或②    ，    ……………………（11分）

由①得，，

由②得，，求此方程无解。

综上，存在两点P（-2，0）或P（10，0）适合题意．………………（16分）

19．解：（1），

当

令

当x变化时，的变化情况如下表：

在区间上是减函数；…………………………（5分）

（2）不是方程的根，

处有极值。

则方程有两个相等的实根或无实根，

，

解此不等式，得

这时，f（0）=b是唯一极值，

因此满足条件的a的取值范围是；……………………（10分）

注：若未考虑，进而得到a的范围为，扣2分，

（3）由（2）知，当恒成立，

当x<0时，在区间上是减函数，

因此函数在［－1，0］上最大值是f（-1），    …………（12分）

又∵对任意的上恒成立，

∴，

于是上恒成立。

∴

因此满足条件的b的取值范围是．        …………………………（14分）

20．解：（1）依题意：，，

   所以，

   ，

   则…………2分+3分=5分

  即

  所以

  因为数列为无穷项，所以，所以d=2，

  代入（1）（2）得

  当n=1代入（3），得，

由（4），当a1<1时，对充分大的n，（4）不成立，所以，a1=1………………（7分）

  经检验，a1=1，d=2满足题意；        ………………………………………………（8分）

（2）…

     取

     ……

故数列是以a1为首项，1+d（大于1）为公比的非常数等比数列；

又由的取法可知，是正整数之和，记做k。

所以， 

从而，…中的项

所以，存在这样的非常数列的无穷项等比数列，它包含在中．…………（16分）

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