引言

Laplace变换是由复变函数积分导出的一个非常重要的积分变换，它在应用数学中占有很重要的地位，特别是在科学和工程中，有关温度、电流、热度、放射现象等方面都有广泛的应用.为了研究本文提出的各种问题，我们给出了Laplace变换的概念以及一些性质.

Laplace变换的定义 设函数f(x)在区间上有定义，如果含参变量s的无穷积分对s的某一取值范围是收敛的.则称

为函数的Laplace变换，称为原函数，称为象函数，并记为.

性质1 (Laplace变换存在定理)如果函数在区间上逐段连续，且存在数，，使得对于一切有,则当时，存在.

性质2 (线性性质)设函数和满足Laplace变换存在定理的条件，则在它们象函数定义域的共同部分上有

其中和是常数.

性质3 （原函数的微分性质）如果，，，均满足Laplace变换存在定理的条件，则

或更一般地，有

.

性质4 （象函数的微分性质）如果,则

或一般地有

.

主要结论及推导 

对于Laplace变换式，在积分号下对s求导，得到

        （*）

即

再对（*）式求导，可得

在一般情况下，对于任一正整数n，有

即

从而

        （1）

对性质3及（1）式，可得

1、利用Laplace变换求解常系数微分方程

例1 求方程的满足初始条件的解.

解 对方程两端进行Laplace变换得

由此得      

把上式右端分解成分式

对上式两端各项分别求出其原函数，再求和.即得原微分方程的解为

例2 求微分方程满足初始条件,的特解.

解 设，对微分方程两端取Laplace变换得

考虑到初始条件得

于是

对上述方程两端取Laplace逆变换,得

于是得到方程的解为

2、利用Laplace变换求解常系数微分方程组

例3 求解初值问题的解.

解 设，

对方程组取Laplace变换，得到

即

从而有

对上面方程组取Laplace逆变换，得原方程组的解为

例4 求微分方程组满足初始条件的解.

解 设，

对微分方程组取Laplace变换得

考虑到初始条件得

由上面方程组解得

对上方程组取Laplace逆变换得原方程组的解为

3、利用Laplace变换求解偏微分方程

例5 求的定解.

解 首先将定解问题取Laplace变换，并记

则有

，

，

这样，就将原来的问题转化为含有参数的常微分方程的边值问题

以求得其解为

对上式取Laplace逆变换，得到原偏微分方程的解为

例6 求方程的解.

解 对方程两端关于t施行Laplace变换(取s为实数),有

求解得

由条件得，从而，代入上式并应用Laplace逆变换，有

4、利用Laplace变换求解变系数的微分方程

例7 求变系数微分方程满足初始条件的解.

解 对方程两端同时施行Laplace变换，利用Laplace变换的微分性质有

结合初始条件，化简有

解得，c为任意常数.取Laplace逆变换，则有

例8 求解二阶变系数微分方程满足初始条件为常数）的解.

解 设，对方程两端取Laplace变换，得

即

亦即

整理后化简可得

而由在积分号下对s求导得，可知

所以有

对上式取Laplace逆变换得

即得原变系数方程的解为下载本文