南海中学 普宁二中 中山一中 仲元中学
2013～2014学年度 高三第二次联考
理 科 数 学
命题人: 宝安中学 胡士军 南海中学 钱耀周
★祝同学们考试顺利★
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集,集合和
关系的韦恩图如图所示,则阴影部分所示集合中的元素共有( )
A．个 B．个 C．个 D．无穷多个
2. 若复数是纯虚数,则实数的值为( )
A． B． C． D．或
3. 已知等差数列的前项和为,且, ,则该数列的公差( )
A． B． C． D．
4. 已知抛物线()的准线与圆相切,则的值为( )
A． B． C． D．
5. 如图,矩形长为,宽为,在矩形内随机地撒颗黄豆,数得落
在椭圆外的黄豆数为颗,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的
面积约为( )
A． B.
C． D.
6. 已知平面、和直线,给出条件:①；②；③；④；⑤.能推导出的是( )
A．①④ B．①⑤ C．②⑤ D．③⑤
7. 若变量满足约束条件,则的取值范围是( )
A． B． C． D．
8. 对任意实数,定义运算,其中是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知, ,并且有一个非零常数,使得,都有,则的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分）
(一)必做题(9～13题)
9. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示(均为直角三角形),则
该三棱锥的俯视图的面积为 .
10. 二项式的展开式中常数项为_______.
11．不等式的解集为___________．
12. 已知函数,则的值等于 .
13. 已知的内角的对边分别为,且,则的面积等于________.
（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）
14.(坐标系与参数方程选做题) 若直线与直线垂直,则常数 ．
15.(几何证明选讲选做题)如图,在中, , ,
若, , ,则的长为________．
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,
解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．(本题满分12分)设函数,．
(Ⅰ) 若,求的最大值及相应的的取值集合；
（Ⅱ）若是的一个零点,且,求的值和的最小正周期.
17．(本题满分12分) 某班有甲、乙两个学习小组,两组的人数如下:
组别
性别
| 甲 | 乙 | |
| 男 | ||
| 女 |
（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率；（Ⅱ）记为抽取的名同学中男同学的人数,求随机变量的分布列和数学期望.
18.(本题满分14分)如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,、分别为、的中点.
(Ⅰ) 求证:平面；
(Ⅱ) 求证:面平面；
(Ⅲ) 在线段上是否存在点,
使得二面角的余弦值为?说明理由.
19.(本题满分14分)已知为数列的前项和,且有().
(Ⅰ) 求数列的通项；(Ⅱ) 若,求数列的前项和；
（Ⅲ）是否存在最小正整数,使得不等式对任意正整数恒成立,若存在,求出的值；若不存在,说明理由.
20.(本题满分14分)已知定点, ,动点,且满足成等差数列.
(Ⅰ) 求点的轨迹的方程；
(Ⅱ) 若曲线的方程为(),过点的直线与曲线相切,求直线被曲线截得的线段长的最小值.
21.(本题满分14分)已知函数(其中).
(Ⅰ) 若为的极值点,求的值；
(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式；
(Ⅲ) 若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围.
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南海中学 普宁二中 中山一中 仲元中学
2013～2014学年度 高三第二次联考
理 科 数 学 参与评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 答案 | B | A | B | C | A | D | C | D |
9．； 10．； 11．； 12．； 13.； 14．； 15.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．【解析】(Ⅰ) …………………………2分
当时,，
而,所以的最大值为, …………………………4分
此时, ,即, ,
相应的的集合为. …………………………6分
（Ⅱ）依题意,即, ,…………………………8分
整理,得, …………………………9分
又,所以, , …………………………10分
而,所以, ,所以,的最小正周期为.…………12分
17.【解析】(Ⅰ)依题意,甲、乙两组的学生人数之比为，…………1分
所以,从甲组抽取的学生人数为；从乙组抽取的学生人数为．…………2分
设“从甲组抽取的同学中恰有名女同学”为事件，
则，故从甲组抽取的同学中恰有名女同学的概率为．………4分
（Ⅱ）的所有可能取值为,且 ………5分
， ，
， ．……………9分
所以,的分布列为:
| ………………10分 |
18.【解析】(Ⅰ)证明:连结,为正方形,
为中点,为中点.
所以在中, //.……2分
又平面,平面,
所以平面 ……………3分
(Ⅱ)证明:因为平面平面, 平面面
为正方形, ,平面,所以平面. ……………4分
又平面,所以.
又,所以是等腰直角三角形,且,即.………5分
又,且、面,所以面.………6分
又面, 所以面面……………………7分
(Ⅲ) 如图,取的中点,连结, ,因为,所以.
又侧面底面,平面平面, 所以平面,
而分别为的中点,所以,又是正方形,故,
以为原点,建立空间直角坐标系如图所示, ……………………………………………8分
则有, , , , ,…………………………9分
若在上存在点使得二面角的余弦值为,连结,设,
则,由(Ⅱ)知平面的法向量为,………………10分
设平面的法向量为.则,即,解得
令,得,……………………………………………………………………11分
所以,解得(舍去).………………13分
所以,在线段上存在点(此时),使得二面角的余弦值为.…14分
19.【解析】(Ⅰ) 当时,；……………………………1分
当时, , ,相减得……………………………2分
又, 所以是首项为,公比为的等比数列,所以……………………4分
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知,所以
所以
两式相减得,
所以(或写成,均可给至8分) …………8分
（Ⅲ）
…………11分
所以
若不等式对任意正整数恒成立,则，
所以存在最小正整数,使不等式对任意正整数恒成立…………14分
20.【解析】(Ⅰ)由, , …………………1分
根据椭圆定义知的轨迹为以为焦点的椭圆,
其长轴,焦距,短半轴,故的方程为. ……4分
(Ⅱ)设:,由过点的直线与曲线相切得,
化简得 (注:本处也可由几何意义求与的关系)…………6分
由,解得…………7分
联立,消去整理得,…………………8分
直线被曲线截得的线段一端点为,设另一端点为,解方程可得,
所以……………………11分
(注：本处也可由弦长公式结合韦达定理求得)
令,则,
考查函数的性质知在区间上是增函数,
所以时,取最大值,从而. ……………… 14分
21.(本题满分14分)已知函数(其中).
(Ⅰ) 若为的极值点,求的值；
(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式；
(Ⅲ) 若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围.
【解析】(Ⅰ)因为
所以…2分
因为为的极值点,所以由,解得……………3分
检验,当时, ,当时, ,当时,.
所以为的极值点,故.……………4分
(Ⅱ) 当时,不等式,
整理得,即或…6分
令, , ,
当时,；当时, ,
所以在单调递减,在单调递增,所以,即,
所以在上单调递增,而；
故；,
所以原不等式的解集为；………………………………………………………………9分
(Ⅲ) 当时,
因为,所以,所以在上是增函数. ……………………11分
当时, ,时,是增函数,.
① 若,则,由得；
若,则,由得.
若, ,不合题意,舍去.
综上可得,实数的取值范围是 ………………………………………14分
(亦可用参变分离或者图像求解).下载本文
