1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

一、对“或”“且”“非”的理解

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（1）“或”与日常生活中的用语“或”的意义不同。对于逻辑用语“或”的理解我们可以借助于集合中的并集的概念；在A∪B={x|x∈A或x∈B}中的“或”是指“x∈A”与“x∈B”中至少有一个成立，可以是“”，也可以是 “”，也可以是 “”，逻辑用语中的“或”与并集中的“或”的含义是一样的。

（2）对“且”的理解，可以联想到集合中的交集的概念；在A∩B={x|x∈A且x∈B}中的“且”是指：“x∈A”、“x∈B”都要满足的意思，即x既要属于集合A，又要属于集合B。

（3）对“非”的理解，可以联想到集合中的补集的概念：若将命题p对应集合P，则命题非p就对应着集合P在全集U中的补集，对于非的理解，还可以从字意上来理解，“非”本身就具有否定的意思。一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定。

2、“P∨q”、“ p∧q”、“ p” 形式命题真假的判断步骤

（1）确定命题的构成形式；

（2）判断其中命题P 、q的真假；

（3）确定“P∨q”、“ p∧q”、“ p”形式命题的真假。

4、含有逻辑联结词的命题的真假判断规律

(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即一真全真;

(2)p∧q：p、q中有一个为假,则p∧q为假，即一假即假;

(3):与p的真假相反，即一真一假，真假相反.

4、例题解析

〖例1〗已知命题:

p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数

p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数

则在命题q1:“p1∨p2”,q2:“p1∧p2”,q3:“(　 )∨p2”和q4:“p1∧()”中，真命题是(    )

 (A)q1,q3　　　　　　　　　　(B)q2,q3

()q1,q4　　　　　　　　　　()q2,q4

解析：选.命题p1为真命题，p2为假命题,则为假命题为真命题,从而q1,q4为真命题，q2,q3为假命题.故选.

注：1.求解本题时，易由于对命题p1,p2的真假判断不正确，从而造成解题失误.

2.当一个命题，从字面上看不一定有“或”、“且”、“非”字样时，需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“或”、“且”、“非”的关系，如“或者”、“x=±1”、“≤”的含义为“或”；“并且”、“”的含义为“且”；“不是”、“”的含义为“非”.

〖例2〗写出由下述各命题构成的“P∨q”，“ p∧q”，“ p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假

（1）p：9是144的约数，q：9是225的约数

（2）p：方程x2－1=0的解是x=1，q：方程x2－1=0的解是x=－1；

（3）p：实数的平方是正数，q：实数的平方是0.

解析：由简单命题构成复合命题，一定要检验是否符合“真值表”如果不符要作语言上的调整

P∨q：9是144或225的约数；

 p∧q：9是144与225的公约数，（或写成：9是144的约数，且9是225的约数）；

  p：9不是144的约数.

 ∵p真，q真，∴“P∨q”为真，“p∧q” 为真，而“p”为假.

（2）P∨q：方程x2－1=0的解是x=1,或方程x2－1=0的解是x=－1（注意，不能写成“方程x2－1=0的解是x=±1”，这与真值表不符）；

p∧q：方程x2－1=0的解是x=1,且方程x2－1=0的解是x=－1；

p：方程x2－1=0的解不都是x=1（注意，在命题p中的“是”应理解为“都是”的意思）；

∵p假，q假，∴“P∨q”与，“p∧q” 均为假，而“p”为真.

（3）P∨q：实数的平方都是正数或实数的平方都是0；

 p∧q：实数的平方都是正数且实数的平方都是0；

  p：实数的平方不都是正数，（或：存在实数，其平方不是正数）；

 ∵p假，q假，∴“P∨q”与“p∧q” 均为假，而“p”为真.

注：在命题p或命题q的语句中，由于中文表达的习惯常常会有些省略，这种情况下应作词语上的调整。

二、全（特）称命题及真假判断

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（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立.

（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x=x0，使得p(x0)不成立即可；

（3）要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，至少能找到一个x=x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题。

2、例题解析

〖例〗(1)下列命题中，真命题是(    )

()m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是偶函数

(B) m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是奇函数

()m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数

()m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数

(2)已知a＞0，函数f(x)=ax2+bx+c，若m满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项中的命题为假命题的是(    )

()x0∈R，f(x0)≤f(m)

(B) x0∈R，f(x0)≥f(m)

()x∈R，f(x)≤f(m)

()x∈R，f(x)≥f(m)

解析：(1)选A.当m0=0时，f(x)=x2是偶函数，故选.

当m=1时，f(x)=x2+x是非奇非偶函数，故、错误；

又y=x2是偶函数，则f(x)=x2+m0x不可能是奇函数，故错.

(2)选.由2am+b=0,得又a＞0，∴f(m)是函数f(x)的最小值,即有f(x)≥f(m)，故选.

三、全（特）称命题的否定

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（1）全称命题（特称命题）的否定与命题的否定有着一定的区别，全称命题（特称命题）的否定是其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论即可，从命题形式上看，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

（2）常见词语的否定形式有：

〖例1〗写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假，指出命题的否定属全称命题还是特称命题。

（1）所有的有理数是实数；

（2）有的三角形是直角三角形；

（3）每个二次函数的图象与轴相交；

（4）

分析：否定量词否定判断词写出命题的否定判断命题真假。

解答：（1）p：存在一个有理数不是实数。为假命题，属特称命题；

（2）p：所有的三角形都不是直角三角形。为假命题，属于全称命题；

（3）p：为真命题，属特称命题。

〖例2〗写出下列命题的否定并判断其真假

（1）p：存在一些四边形不是平行四边形；

（2）p：所有的正方形都是矩形；

（3）p：至少有一个实数，使；

（4）p：

解答：（1）：所有的四边形都是平行四边形。假命题；

（2）：至少存在一个正方形不是矩形。假命题；

（3）：假命题；

（4）：假命题。

四、与逻辑联结词、全（特）称命题有关的参数问题

〖例1〗（12分）已知命题:,命题，若命题“且”是真命题，求实数的取值范围。

分析：（1）已知的两个命题是全称命题和特称命题；

（2）根据“p且q”是真命题来确定a的不等式，从而求出a的取值范围。

解答：由“p且q” 是真命题，则p为真命题，q也为真命题.

若p为真命题,a≤x2恒成立,

∵x∈[1,2],∴a≤1.

若q为真命题,即x2+2ax+2-a=0有实根,Δ=4a2-4(2-a)≥0,

即a≥1或a≤-2,

综上所求实数a的取值范围为a≤-2或a=1.

注:含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假,求出此时参数成立的条件,再求出含逻辑联结词的命题成立的条件.

〖例2〗已知两个命题r(x):sinx+cosx>m,s(x):x2+mx+1>0.如果对x∈R,r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围. 

分析：由已知先求出对x∈R,r(x) ，s(x)都是真命题时m的范围，再由要求分情况讨论出所求m的范围.

解答：∵sinx+cosx=

∴当r(x)是真命题时，m<.

又∵对x∈R，s(x)为真命题，即x2+mx+1>0恒成立，有Δ=m2-4<0,∴-2∴当r(x)为真，s(x)为假时，m<.

同时m≤-2或m≥2，即m≤-2，当r(x)为假，s(x)为真时，m≥且-2即≤m<2.

综上，实数m的取值范围是m≤-2或≤m<2.

注：解决这类问题时，应先根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种），然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围，最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围。下载本文