►　类型之一　把一个顶点折叠到一条边上

1．2020·天水如图2－ZT－1，在矩形ABCD中，∠DAC＝65°，E是CD上一点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′＝________°.

图2－ZT－1

2．如图2－ZT－2，将矩形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点F处．若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为________．

图2－ZT－2

3．如图2－ZT－3，在矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3，求CD的长．

图2－ZT－3

4．某校八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的矩形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．请你根据①②步骤计算EC的长．

5．如图2－ZT－4，已知矩形纸片ABCD，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O.求证：A，G，E，F四点构成的四边形是菱形．

图2－ZT－4

►　类型之二　把一条边折叠到对角线上

6．如图2－ZT－5，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为(　　)

图2－ZT－5

A．3  B．4  C．5  D．6

7．准备一张矩形纸片ABCD，按如图2－ZT－6所示操作：

将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的点M处，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的点N处．

(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；

(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．

图2－ZT－6

►　类型之三　把一个顶点折叠到另一个顶点上

8．如图2－ZT－7，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若AB＝1，BC＝2，则△ABE和△BC′F的周长之和为(　　)

图2－ZT－7

A．3  B．4  C．6  D．8

9．把一张矩形纸片ABCD按图2－ZT－8的所示方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝3 cm，BC＝5 cm，则重叠部分△DEF的面积为________cm2.

图2－ZT－8

10．如图2－ZT－9，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，求折痕EF的长．

图2－ZT－9

►　类型之四　沿一条直线折叠

11．如图2－ZT－10，已知正方形ABCD的对角线长为2 ，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为(　　)

图2－ZT－10

A．8   B．4   C．8  D．6

12．如图2－ZT－11，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在的直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是(　　)

图2－ZT－11

A．2 －2  B．6

C．2 －2  D．4

13．2020·宁夏如图2－ZT－12，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A′处．若∠1＝∠2＝50°，则∠A′的度数为________．

图2－ZT－12

14．2020·西宁如图2－ZT－13，将平行四边形ABCD沿EF对折，使点A落在点C处．若∠A＝60°，AD＝4，AB＝6，则AE的长为________．

图2－ZT－13

15．如图2－ZT－14，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使点B落在点P处，折痕为EC，连接AP并延长交CD于点F，连接BP.

(1)求证：四边形AECF为平行四边形；

(2)若△AEP是等边三角形，求证：△APB≌△EPC；

(3)若矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，求△CPF的面积．

图2－ZT－14

详解详析

1．[答案] 40

2．[答案] 12

[解析] 由折叠的性质知，AF＝AB，EF＝BE.所以矩形的周长等于△AFD和△CFE的周长的和．故矩形ABCD的周长为12.

3．解：根据折叠的性质，得EF＝AE＝5.根据矩形的性质，得∠B＝90°.在Rt△BEF中，∠B＝90°，EF＝5，BF＝3，根据勾股定理，得BE＝＝＝4，∴CD＝AB＝AE＋BE＝5＋4＝9.

4．解：设EC＝x cm，则EF＝DE＝(16－x) cm.由题意得AF＝AD＝20 cm.

在Rt△ABF中，BF＝＝12 cm，FC＝BC－BF＝20－12＝8(cm)．

在Rt△EFC中，EF2＝FC2＋EC2，

即(16－x)2＝82＋x2，

解得x＝6，

∴EC的长为6 cm.

5．证明：连接AF.由折叠的性质，得AG＝EG，∠AGF＝∠EGF.

∵DC∥AB，

∴∠EFG＝∠AGF，

∴∠EFG＝∠EGF，

∴EF＝EG.

又∵AG＝EG，

∴EF＝AG，

∴四边形AGEF是平行四边形．

又∵AG＝EG，

∴平行四边形AGEF是菱形，

即A，G，E，F四点构成的四边形是菱形．

6．D

7．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠ABD＝∠CDB.

又由折叠的性质，知∠ABE＝∠EBD，∠CDF＝

∠FDB，

∴∠EBD＝∠FDB，

∴EB∥DF.

又∵ED∥BF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

(2)∵四边形BFDE是菱形，

∴BE＝ED＝BF，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE.

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠ABE＝30°.

∵∠A＝90°，AB＝2，

∴AE＝，BF＝BE＝2AE＝，

∴菱形BFDE的面积为×2＝.

8．C

9．[答案] 

[解析] 设ED＝x cm，则根据折叠和矩形的性质，得A′E＝AE＝(5－x) cm，A′D＝AB＝3 cm.

根据勾股定理，得ED2＝A′E2＋A′D2，即x2＝(5－x)2＋32，解得x＝，∴S△DEF＝××3＝(cm2)．

10．解：设BE＝x，则CE＝BC－BE＝16－x.

∵沿EF翻折后点C与点A重合，

∴AE＝CE＝16－x.

在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，

即82＋x2＝(16－x)2，

解得x＝6，

∴AE＝16－6＝10.

由翻折的性质，得∠AEF＝∠CEF.

∵矩形ABCD的对边AD∥BC，

∴∠AFE＝∠CEF，

∴∠AEF＝∠AFE，

∴AE＝AF＝10.

过点E作EH⊥AD于点H，则四边形ABEH是矩形，

∴EH＝AB＝8，AH＝BE＝6，

∴FH＝AF－AH＝10－6＝4.

在Rt△EFH中，EF＝＝＝4 .

11．C

12．A

13．[答案] 105°

[解析] 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，得∠DBC＝∠ADB.

又由折叠，得∠A＝∠A′，∠BDA′＝∠BDA，所以∠DBC＝∠BDA′.

根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，以及∠1＝50°，可得∠DBC＝25°，则∠ABC＝∠2＋∠DBC＝75°.

因为AD∥BC，

所以∠A＋∠ABC＝180°，

所以∠A＝105°，∴∠A′＝105°.

14．[答案] 

[解析] 作CH⊥AB于点H，则BH＝2，CH＝2 ，则AH＝8.在Rt△ACH中，设AE＝CE＝a，则EH＝8－a，由CH2＋EH2＝CE2，得(8－a)2＋(2 )2＝a2，解得a＝，即AE＝.

15．解：(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥DC.

∵E为AB的中点，

∴AE＝BE.

又由翻折，知EC⊥BP，EP＝EB＝AE，

∴∠EAP＝∠EPA，∠EPB＝∠EBP.

在△ABP中，∠EAP＋∠EPA＋∠EPB＋∠EBP＝180°，

∴∠EPA＋∠EPB＝∠APB＝90°，

∴EC∥AF，

∴四边形AECF为平行四边形．

(2)证明：∵△AEP是等边三角形，

∴AP＝EP＝AE，∠PAB＝∠AEP＝∠APE＝60°，

∴∠PEC＝∠BEC＝60°，

∴∠PAB＝∠PEC＝60°.

由(1)与题可知APB＝∠EPC＝90°，

∴△APB≌△EPC.

(3)∵AB＝6，BC＝4，E是AB边的中点，

∴AE＝BE＝AB＝3.

在Rt△BEC中，EC＝＝5，

∵四边形AECF为平行四边形，

∴AF＝EC＝5.

如图，设CE与BP交于点H.

∵BE·BC＝EC·BH，

∴BH＝，

∴PH＝BH＝，

∴BP＝.

在Rt△BPA中，AP＝＝，

∴PF＝.

过点C作CG⊥AF交AF的延长线于点G，

∴CG＝PH＝，

∴△CPF的面积S＝PF·CG＝××＝.下载本文