一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．已知集合A={x|3x2﹣5x﹣2≥0}，B={x|x≤}，则（∁RA）∩B=（　　）

A．[﹣，]    B．（﹣，]    C．（﹣2，]    D．[，2）

2．已知（1+xi）（1﹣2i）=y（其中x，y∈R），则（　　）

A．x=﹣2，y=﹣3    B．x=2，y=﹣3    C．x=﹣2，y=7    D．x=2，y=5

3．如图是某班8为学生诗词比赛得分的茎叶图，那么这8为学生得分的众数和中位数分别为（　　）

A．93，91    B．86，93    C．93，92    D．86，91

4．“辗转相除法”的算法思路如图所示，记R（a\\b）为a除以b所得的余数（a，b∈N*），执行如图的程序框图，若输入a，b分别为405，75，则输出b的值为（　　）

A．3    B．5    C．15    D．25

5．已知实数x，y满足，则当3x﹣y取得最小值时，的值为（　　）

A．﹣    B．    C．﹣    D．

6．在△ABC中，M是BC的中点，AM=4，点P在AM上，且满足=3，则•（+）的值为（　　）

A．﹣4    B．6    C．﹣6    D．4

7．一个正四面体的体积为，它的三视图中的俯视图如图所示（其中三个小三角形全等），侧视图是一个三角形，则这个三角形的面积是（　　）

A．    B．    C．    D．

8．已知函数f（x）=sin2（ωx）﹣（ω＞0）的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（　　）

A．    B．    C．    D．

9．半径为2的球O中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是（　　）

A．16（）    B．16（）    C．8（2）    D．8（2）

10．4sin80°﹣等于（　　）

A．    B．﹣    C．2    D．2﹣3

11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作圆x2+y2=a2的一条切线与双曲线的渐近线在第二象限内交于点A，同时这条切线交双曲线的右支于点B，且|AB|=|BF2|，则双曲线的渐近线的斜率为（　　）

A．±2    B．±    C．±3    D．±5

12．已知曲线f（x）=ke﹣x在点x=0处的切线与直线x﹣2y﹣1=0垂直，若x1，x2是函数g（x）=f（x）﹣|lnx|的两个零点，则（　　）

A．＜x1x2＜    B．＜x1x2＜1    C．＜x1x2＜1    D．e＜x1x2＜e2

二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）

13．已知函数f（x）=log2（2x+）为奇函数，则实数t的值为　　　　　　．

14．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是　　　　　　．

15．已知点A是抛物线y2=4x上一点，F为其焦点，以F为圆心，以|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，且△FBC为正三角形，则点A到抛物线准线的距离为　　　　　　．

16．如图，在△ABC中，C=，BC=4，点D在边AC上，AD=DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE=2，求cosA=　　　　　　．

三、简答题(本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=4S3，a3n=3an+2

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}满足22n﹣1bn=an﹣1，其前n项和为Tn，求Tn的值．

18．从2016年3月8日起，进行自主招生的高校陆续公布招生简章，某市教育部门为了调查几所重点高中的学生参加今年自主招生的情况，选取了文科生与理科生的同学作为调查对象，进行了问卷调查，其中，“参加自主招生”、“不参加自主招生”和“待定”的人数如表：

（2）在“不参加自主招生”的同学中仍然用分层抽样方法抽取5人，从这5人中任意抽取2人，求至少有一个是理科生的概率．

19．如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠CBA=，ABEF为直角梯形，BE∥AF，∠BAF=，BE=2，AF=3，平面ABCD⊥平面ABEF．

（1）求证：AC⊥平面ABEF；

（2）求三棱锥D﹣AEF的体积．

20．已知P（x0，y0）（x0≠±a）是椭圆E： +=1（a＞b＞0）上一点，M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线PM、PN的斜率之积为﹣．

（1）求椭圆E的离心率；

（2）过椭圆E的左焦点且斜率为1的直线交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点，点C为椭圆E上一点，且满足=（λ≠0），求λ的值．

21．已知函数f（x）=mlnx+2nx2+x（x＞0，m∈R，n∈R）．

（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为2x+y﹣1=0，求f（x）的递增区间；

（2）若m=1，是否存在n∈R，使f（x）的极值大于零？若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点M，点E是CD延长线上一点，AB=10，CD=8，3ED=4OM，EF切圆O于F，BF交CD于点G．

（1）求证：EF=EG；

（2）求线段MG的长．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）

已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．

（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x﹣3|，g（x）=﹣|x+4|+2m．

（1）当a＞0时，求关于x的不等式f（x）+1﹣a＞0（a∈R）的解集；

（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．

2016年河南省许昌市禹州市高考数学一模试卷（文科）

参与试题解析

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．已知集合A={x|3x2﹣5x﹣2≥0}，B={x|x≤}，则（∁RA）∩B=（　　）

A．[﹣，]    B．（﹣，]    C．（﹣2，]    D．[，2）

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】求出A中不等式的解集确定出A，进而求出A的补集，计算B与A补集的交集即可．

【解答】解：由集合A中的不等式变形得：（3x+1）（x﹣2）≥0，

解得：x≤﹣或x≥2，即A=（﹣∞，﹣]∪[2，+∞），

∴∁RA=（﹣，2），

∵B=（﹣∞，]，

∴（∁RA）∩B=（﹣，]．

故选：B．

2．已知（1+xi）（1﹣2i）=y（其中x，y∈R），则（　　）

A．x=﹣2，y=﹣3    B．x=2，y=﹣3    C．x=﹣2，y=7    D．x=2，y=5

【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的代数形式混合运算，通过复数相等求解即可．

【解答】解：（1+xi）（1﹣2i）=y，

可得1+2x+（x﹣2）i=y，

即：，解得：，

故选：D．

3．如图是某班8为学生诗词比赛得分的茎叶图，那么这8为学生得分的众数和中位数分别为（　　）

A．93，91    B．86，93    C．93，92    D．86，91

【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图．

【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．

【解答】解：这组数据按顺序排列是：

86、86、90、91、93、93、93、96，

故众数为93，中位数为：92，

故选：C．

4．“辗转相除法”的算法思路如图所示，记R（a\\b）为a除以b所得的余数（a，b∈N*），执行如图的程序框图，若输入a，b分别为405，75，则输出b的值为（　　）

A．3    B．5    C．15    D．25

【考点】程序框图．

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【解答】解：当a=405，b=75时，y=30，不满足退出循环的条件，故a=75，b=30，

当a=75，b=30时，y=15，不满足退出循环的条件，故a=30，b=15，

当a=30，b=15时，y=0，满足退出循环的条件，

故输出的b值为15，

故选：C

5．已知实数x，y满足，则当3x﹣y取得最小值时，的值为（　　）

A．﹣    B．    C．﹣    D．

【考点】简单线性规划．

【分析】先画出满足条件的平面区域，求出2x﹣y取得最小值时A点的坐标，将A点的坐标代入，求解即可．

【解答】解：满足条件的平面区域，如图，

令z=3x﹣y，

则当直线z=3x﹣y经过直线x﹣y+2=0和直线

x+y﹣4=0的交点A时，z取得最小值．

此时A的坐标为（1，3），

∴=

故选：A．

6．在△ABC中，M是BC的中点，AM=4，点P在AM上，且满足=3，则•（+）的值为（　　）

A．﹣4    B．6    C．﹣6    D．4

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】由题意结合图象，利用向量的加法和向量的量积运算得答案．

【解答】解：∵AM=4，又由点P在AM上且满足=3，

∴||=3，||=1，

∵M是BC的中点，

∴+=2=

∴•（+）=﹣=﹣×9=﹣6，

故选：﹣6．

7．一个正四面体的体积为，它的三视图中的俯视图如图所示（其中三个小三角形全等），侧视图是一个三角形，则这个三角形的面积是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】简单空间图形的三视图．

【分析】由已知正三棱锥的体积求得棱锥的棱长，再根据俯视图判断几何体的放置位置，从而可得侧视图是等腰三角形，求出底边上的高，计算三角形的面积即可．

【解答】解：设正三棱锥的棱长为a，则体积V=××a2××a=，

∴a=2，

根据正三棱锥的俯视图可得，其左视图为等腰三角形，

底边为侧棱长2，且底边上的高为三棱锥的高×2=；

∴侧视图的面积为S=×2×=．

故选：B．

8．已知函数f（x）=sin2（ωx）﹣（ω＞0）的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．

【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式，利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得a的最小值．

【解答】解：∵f（x）=sin2（ωx）﹣

=﹣

=﹣cos2ωx，

∴=，解得：ω=2，

∴f（x）=﹣cos4x，

∵将函数f（x）图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），得到的新函数为g（x）=﹣cos（4x﹣4a），

∴cos4a=0，

∴4a=kπ+，k∈Z，

当k=0时，a的最小值为．

故选：D．

9．半径为2的球O中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是（　　）

A．16（）    B．16（）    C．8（2）    D．8（2）

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】设底面边长为a，高为h，根据球的半径使用勾股定理列出方程，得出a，h的关系，使用基本不等式得出ah的最大值，求出侧面积的最大值，做差即可．

【解答】解：设球内接正四棱柱的底面边长为a，高为h，则球的半径r==2，

∴h2+2a2=16≥2ah，∴ah≤4．

∴S侧=4ah≤16．

球的表面积S=4π×22=16π．

∴当四棱柱的侧面积最大值时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为16π﹣16=16（）．

故选B．

10．4sin80°﹣等于（　　）

A．    B．﹣    C．2    D．2﹣3

【考点】三角函数的化简求值．

【分析】将所求的关系式通分后化弦，逆用两角差的余弦与两角差的正弦，即可求得答案．

【解答】解：4sin80°﹣

=

=

=

=

=

=﹣，

故选：B．

11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作圆x2+y2=a2的一条切线与双曲线的渐近线在第二象限内交于点A，同时这条切线交双曲线的右支于点B，且|AB|=|BF2|，则双曲线的渐近线的斜率为（　　）

A．±2    B．±    C．±3    D．±5

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】由双曲线的定义可得|BF1|﹣|BF2|=2a，结合条件可得|AF1|=2a，运用勾股定理，结合a，b，c的关系，可得b=2a，进而得到渐近线的斜率．

【解答】解：由双曲线的定义可得，

|BF1|﹣|BF2|=2a，

由|AB|=|BF2|，|BF1|=|AB|+|AF1|，

可得|AF1|=2a，

由点F1作圆x2+y2=a2的切线，可得：

|OF1|2=|OA|2+|AF1|2，

即有c2=a2+（2a）2=5a2，

可得b2=c2﹣a2=4a2，

即b=2a，

即有渐近线的斜率为±=±2．

故选：A．

12．已知曲线f（x）=ke﹣x在点x=0处的切线与直线x﹣2y﹣1=0垂直，若x1，x2是函数g（x）=f（x）﹣|lnx|的两个零点，则（　　）

A．＜x1x2＜    B．＜x1x2＜1    C．＜x1x2＜1    D．e＜x1x2＜e2

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．

【分析】求出f（x）的导数，求得在x=0处的切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得k的值，令g（x）=0，则|lnx|=2e﹣x，作出y=|lnx|和y=2e﹣x的图象，可知恰有两个交点，设零点为x1，x2且|lnx1|＞|lnx2|，再结合零点存在定理，可得结论．

【解答】解：f（x）=ke﹣x在的导数为f′（x）=﹣ke﹣x，

在点x=0处的切线斜率为k=﹣k，

由切线与直线x﹣2y﹣1=0垂直，可得﹣k=﹣2，

解得k=2，则f（x）=2e﹣x，

令g（x）=0，则|lnx|=2e﹣x，

作出y=|lnx|和y=2e﹣x的图象，

可知恰有两个交点，

设零点为x1，x2且|lnx1|＞|lnx2|，0＜x1＜1，x2＞1，

故有＞x2，即x1x2＜1．

又g（）=2﹣2＜0，g（）=2﹣1＞0，

可得＜x1＜，

即x1x2＞，

即有＜x1x2＜1．

故选：B．

二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）

13．已知函数f（x）=log2（2x+）为奇函数，则实数t的值为　　．

【考点】函数奇偶性的性质．

【分析】由f（x）为奇函数便有f（﹣x）=﹣f（x），即得到=，分子有理化并进行对数的运算便可得到=，这样便可得出3t=1，从而求出实数t的值．

【解答】解：f（x）为奇函数；

∴f（﹣x）=﹣f（x）；

即=；

∴log2（3t）=0；

∴3t=1；

∴．

故答案为：．

14．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是　甲　．

【考点】进行简单的合情推理．

【分析】此题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论．

【解答】解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾，

假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立，

故答案为：甲．

15．已知点A是抛物线y2=4x上一点，F为其焦点，以F为圆心，以|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，且△FBC为正三角形，则点A到抛物线准线的距离为　4　．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】根据抛物线的性质计算F到准线的距离，根据等边三角形的性质得出BF即AF的长，在利用抛物线的性质得出点A到抛物线准线的距离．

【解答】解：抛物线的交点F（，0），准线方程为：x=﹣，

设准线与x轴交点为D，则BD=2，

∵△FBC是正三角形，∴|BF|=4，

∴|AF|=|BF|=4．

∵A在抛物线上，∴点A到抛物线准线的距离为|AF|=4．

故答案为：4．

16．如图，在△ABC中，C=，BC=4，点D在边AC上，AD=DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE=2，求cosA=　　．

【考点】余弦定理．

【分析】由已知可得∠A=∠ABD，∠BDC=2∠A，设AD=BD=x，由正弦定理在△BCD中，在△AED中，可得，联立即可解得cosA的值．

【解答】解：∵C=，BC=4，点D在边AC上，AD=DB，DE⊥AB，E为垂足，DE=2，

∴∠A=∠ABD，∠BDC=2∠A，设AD=BD=x，

∴在△BCD中， =，可得：，①

在△AED中， =，可得：，②

∴联立可得： =，解得：cosA=．

故答案为：．

三、简答题(本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=4S3，a3n=3an+2

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}满足22n﹣1bn=an﹣1，其前n项和为Tn，求Tn的值．

【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．

【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，计算可得a1=﹣，d=，即可得到所求通项公式；

（2）求得bn=（n﹣2）•（）2n﹣1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，

由S5=4S3，a3n=3an+2，可得

5a1+10d=4（3a1+3d），a1+（3n﹣1）d=3（a1+（n﹣1）d）+2，

即有7a1+2d=0，d﹣a1=1，

解得a1=﹣，d=，

即有an=﹣+（n﹣1）=n﹣1；

（2）22n﹣1bn=an﹣1，

可得bn=（n﹣2）•（）2n﹣1，

可得Tn=（﹣）•+（﹣）•（）3+…+（n﹣2）•（）2n﹣1，

Tn=（﹣）•（）3+（﹣）•（）5+…+（n﹣2）•（）2n+1，

两式相减可得Tn=（﹣）+（）•[（）3+…+（）2n﹣1]﹣（n﹣2）•（）2n+1，

=﹣+ []﹣（n﹣2）•（）2n+1，

化简可得Tn=﹣﹣（﹣）．

18．从2016年3月8日起，进行自主招生的高校陆续公布招生简章，某市教育部门为了调查几所重点高中的学生参加今年自主招生的情况，选取了文科生与理科生的同学作为调查对象，进行了问卷调查，其中，“参加自主招生”、“不参加自主招生”和“待定”的人数如表：

（2）在“不参加自主招生”的同学中仍然用分层抽样方法抽取5人，从这5人中任意抽取2人，求至少有一个是理科生的概率．

【考点】收集数据的方法；分层抽样方法；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【分析】（1）根据分层抽样原理，列出方程求出n的值；

（2）求出所抽取的5人中文科生、理科生各有多少人，用列举法计算所有的基本事件数，求出对应的概率即可．

【解答】解：（1）由题意， =，解得n=80；

（2）设所抽取的5人中，文科生有5×=3人，记为a、b、c，

理科生有2人，记为D、E；

所以从这5人中任取2人的所有基本事件为

ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE共10种，

其中至少有1个理科生的基本事件是

aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE共7种，

故所求的概率为P=．

19．如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠CBA=，ABEF为直角梯形，BE∥AF，∠BAF=，BE=2，AF=3，平面ABCD⊥平面ABEF．

（1）求证：AC⊥平面ABEF；

（2）求三棱锥D﹣AEF的体积．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．

【分析】（1）在△ABC中使用余弦定理解出AC，利用勾股定理的逆定理得出AC⊥AB，根据面面垂直的性质得出AC⊥平面ABEF；

（2）由CD∥AB可得CD∥平面ABEF，于是VD﹣AEF=VC﹣AEF=．

【解答】解：（1）在△ABC中，AB=1，BC=2，，

由余弦定理得AC==3．

∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB．

∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥平面ABEF．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，

∵CD⊄平面ABEF，AB⊂平面ABEF，

∴CD∥平面ABEF，

∴VD﹣AEF=VC﹣AEF====．

20．已知P（x0，y0）（x0≠±a）是椭圆E： +=1（a＞b＞0）上一点，M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线PM、PN的斜率之积为﹣．

（1）求椭圆E的离心率；

（2）过椭圆E的左焦点且斜率为1的直线交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点，点C为椭圆E上一点，且满足=（λ≠0），求λ的值．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（1）由已知得，，由此能求出椭圆E的离心率e的值；

（2）联立方程组，得5x2+8cx+8b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由此利用韦达定理、点差法，结合已知条件能求出λ值．

【解答】解：（1）∵P（x0，y0）（x0≠a）是椭圆E： +=1（a＞b＞0）上一点，

∴，

∵M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率的乘积等于﹣，

∴，

∴a2=4b2，c2=3b2，

得e=；

（2）联立方程组，

得5x2+8cx+8b2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，，

再设C（x3，y3），

由=，得x3=λx1+x2，y3=λy1+y2，

由于C为椭圆上的点，即，

则（λx1+x2）2+4（λy1+y2）2=4b2，

整理得：（x1x2+4y1y2）=4b2 ①，

由于A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆上，即，

又x1x2+4y1y2=x1x2+4（x1+c）（x2+c）

=5x1x2+4c（x1+x2）+4c2

==，

代入①得，

即，

解得：λ=0，或λ=﹣．

21．已知函数f（x）=mlnx+2nx2+x（x＞0，m∈R，n∈R）．

（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为2x+y﹣1=0，求f（x）的递增区间；

（2）若m=1，是否存在n∈R，使f（x）的极值大于零？若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由．

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（1）求出函数的导数，得到关于m，n的方程组，求出m，n的值，从而求出f（x）的表达式，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；

（2）求出f（x）的导数，通过讨论n的范围，得到n≥0时，不合题意，n＜0时，问题转化为求使f（x2）＞0的实数m的取值范围，构造函数g（x）=lnx+，求出g（x）的单调性，从而求出n的范围即可．

【解答】解：（1）由题意得：f′（x）=+4nx+1，f′（1）=1+m+4n，

由f（1）=﹣1，得：k=﹣2，

∴，解得：m=1，n=﹣1，

∴f（x）=lnx﹣2x2+x，

∴f′（x）=（x＞0），

令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，

∴f（x）在（0，）递增；

（2）由题意得：f（x）=lnx+2nx2+x，f′（x）=（x＞0），

①n≥0时，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，故无极值，

②n＜0时，令f′（x）=0，得：4nx2+x+1=0，则△=1﹣16n＞0，x1x2=＜0，

不妨设x1＜0，x2＞0，则f′（x）=，即求使f（x2）＞0的实数m的取值范围，

由，得：lnx2+＞0，

构造函数g（x）=lnx+，则g′（x）=+＞0，

∴g（x） 在（0，+∞）递增，

由g（1）=0，由g（x）＞0，解得：x＞1，

即x2=＞1，解得：﹣＜n＜0，

由①②得：n∈（﹣，0）．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点M，点E是CD延长线上一点，AB=10，CD=8，3ED=4OM，EF切圆O于F，BF交CD于点G．

（1）求证：EF=EG；

（2）求线段MG的长．

【考点】与圆有关的比例线段．

【分析】（1）由EF为圆的切线得∠EFG=∠BAF，由垂直关系可知点A、M、G、F四点共圆，从而得∠FGE=∠BAF，所以∠EFG=∠FGE

（2）由已知及切线长定理可得，EF=EG=4，从而MG=EM﹣EG=8﹣4．

【解答】解：（1）证明：连接AF，OF，则A，F，G，M共圆，

∴∠FGE=∠BAF，

∵EF⊥OF，

∴∠EFG=∠FGE，

∴EF=EG，

（2）由AB=10，CD=8可得OM=3，

∴ED=OM=4，EF2=ED•EC=48，EF=EG=4，

连接AD，则∠BAD=∠BFD，

∴MG=EM﹣EG═8﹣4．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）

已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．

（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）

【考点】参数方程化成普通方程；极坐标刻画点的位置；点的极坐标和直角坐标的互化．

【分析】（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；

（Ⅱ）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．

【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），

得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，

即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．

将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．

ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；

（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，

由，解得或．

∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x﹣3|，g（x）=﹣|x+4|+2m．

（1）当a＞0时，求关于x的不等式f（x）+1﹣a＞0（a∈R）的解集；

（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．

【考点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．

【分析】（1）对参数a进行分类讨论，分别解不等式即可；

（2）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x﹣3|+|x+4|＞2m恒成立，利用不等式的性质求出|x﹣3|+|x+4|的最小值，就可以求出m的范围．

【解答】解：（1）当a＞0时，由f（x）+1﹣a＞0得|x﹣3|+1﹣a＞0，

即|x﹣3|＞a﹣1，

若a﹣1＜0，即0＜a＜1时，不等式的解集是R，

若a﹣1≥0，即a≥1时，由|x﹣3|＞a﹣1得x﹣3＞a﹣1或x﹣3＜﹣（a﹣1），

即x＞a+2或x＜4﹣a．

所以，当0＜a＜1时，不等式的解集为R；

当a≥1时，不等式的解集为（﹣∞，4﹣a）∪（a+2，+∞）．

（2））∵f（x）=|x﹣3|，g（x）=﹣|x+4|+2m，函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，

∴f（x）≥g（x）恒成立，

即|x﹣3|≥﹣|x+4|+2m恒成立，

即|x﹣3|+|x+4|≥2m恒成立，

∵|x﹣3|+|x+4|≥|﹣4﹣3|=7，

则2m≤7，则m≤．

∴m的取值范围为：m≤．

2016年7月25日下载本文