（Chap 7 differential- integral of function of several variable）
教学内容：多元函数（二次函数）的定义、极限、连续的概念
偏导数、全微分及复合函数求导法则，二元函数的极值和条件极值，二重积分概念，计算，应用。
教学要求：①理解多元函数偏导数与全微分的概念
②掌握复合函数求导法则，二重积分的计算法（直角、极坐标）
③了解二元函数极限与连续的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质，全微分存在的充要条件，会求隐函数的导数，二元函数的极值及一些简单的最大值、最小值应用题。
④理解二重积分的概念及性质，二重积分存在许多合用二重积分，求立体体积。
教学重点：偏导数与全微分概念，学会复合函数求导法则，二重积分的计算。
教学难点：多元复合函数微分法，选择积分次序等确定累次积分的上、下限。
学时分配：讲授22学时，习题课2学时，共计20学时
§8.1 多元函数（ Function of several）
一、区域
1．平面区域
（1）区域：
（2）邻域：
2．二元函数定义
（1）定义：
（2）注（三个组成要素）：定义域，对应法则，值域，求定义域是关键。
（3）举例：
①判断下列各组二元函数是否相等
②求下列函数的定义域
（4）几何图形：表示空间一张曲面
3．多元函数定义（见书）
二、二元函数的极限（可先讲一元函数极限的定义）
1．定义：
2．注：（1）以任意方式趋向于
（2）A是一确定的常数（只有一个）
3．根据定义讨论二元函数的极限存在与否
（1）讨论二元函数当时的极限存在与否？
（2）讨论二元函数 当时极限存在与否？
（3）证明 当时极限不存在。
（4）证明存在
注：①取特殊路经只能说明极限不存在，不能说明极限存在。
②证明题的放大要适当
二、二元函数的连续性（可先回顾一元函数连续性的概念）
1．定义：
2．性质与运算（简单说一下）
3．二元初等函数
（1）定义
（2）命题（一切二元初等函数在其定义域内是连续的）
4．举例：求二元函数的极限
（1） （2） （3）
（4）证明
在点连续
§7.2 偏导数与全微分（Partial derivative and total differential）
一、偏导数（partial derivative）
1．定义（可先复习一元函数的导数定义）
2．注：（对定义的理解）
（1）偏导数仍是关于x、y的二元函数
（2）对与的理解
（3）求偏导的方法实际上是求一元函数的导数
3．举例：
（1）设，求
（2）求的偏导数
（3）已知，求证
（4），求
（5），求
（6），求
（7），求
（8），求
注：分段函数求导只能用定义（在分段点）
4．高阶偏导数
（主要是二阶）注意写法及其意义
（1）
二阶混合偏导数 （只有连续才相等）
（2）举例 求二阶偏导数
证明
注：与一元函数不同
5．偏导数存在与函数连续的关系（先说一元函数的关系）（可举例说明）
如：① 在（0，0）点的偏导数
∵ ∴ 偏导数存在
而由前面讨论知极限不存在， ∴ 不连续
如：② 在（0，0）点连续，而
在（0，0）点不存在。
由①②知，偏导数存在 连续。
二、全微分（total differential）
1．定义（由定义知，可微一定连续）
2．定理
（1）内容：在点可微在点的偏导数都存在，且。
（2）证明过程（参考课本）
（3）注：此定理不仅给出了可微可导，而且也给出了全微分的计算式。
如：
3．定理：可导 + 连续可微
4．举例：求函数的全微分
（1），求dz ；
（2），求du；
（3），求d（3，4，5）
（4）求，当时的全微分及全增量
三、全微分的近似计算（approximate calculation of total differential）
在讲题过程中注重方法的讲解
1．依据
∴
2．举例
（1）当圆柱的半径R由200mm增到200.5mm时，高H由1000mm减少到995mm，求圆柱体体积变化的近似值。
（2）计算的近似值
（3）计算的近似值
§8.4 多元函数的微分法（Methods of differential of composite function of several variable）
一、求导法则
（函数针对自变量求导）
1．
（1）
（2）证明过程参照课本
（3）直观的网状结构图：
（4）推广：
（5）举例：①，，，求
② 若，，求
③，，求
④，求
2．
注：因变量有几条路经通向自变量就是几个式子相加。
（1）
（2）直观的网状结构图
（3）推广 （中间自变量都可以推广）
（4）举例：可多做练习逐渐掌握求导方法
①，求
②，求
③ 设，求
④，求
3．，
（1）
（2）直观的网状结构图
（3）举例：①，求
②，求
③若，其中f是可微函数，试证
4．综合例题
（1），求
（2），求
（3）已知，且具有连续的二阶偏导数，求
二、一阶全微分形式的不变性（可用来求偏导数）
1、，则
2、， ，，
则，整理的
3、举例：设，，，求偏导数。
三、隐函数的导数
1、一元隐函数及其求导公式
（隐函数的定义前面第三章给出）
（1）定理3 （隐函数存在定理1）设函数在点的某邻域内具有连续的偏导数，且，，则二元方程在点的某邻域内能唯一确定一个单值的具有连续导数的一元函数，它满足条件，且有（定理不证，公式可可利用复合函数求导法简单推导）
（2）例题 ① 设方程确定为的隐函数，求
② 设方程确定为的隐函数，求
2、二元隐函数及其求导公式
（1）定理4（隐函数存在定理2）设函数在点的某邻域内具有连续的偏导数，且，，则二元方程在点的某邻域内能唯一确定一个单值的具有连续导数的二元函数，它满足条件，
且有，（定理不证，公式可利用复合函数求导法简单推导）
（2）例题 ①设方程确定为，的隐函数，求
②设方程，其中具有连续导数，证明
③设方程确定为，的隐函数，求
④设方程确定为，的隐函数，求，
§8.5 多元函数的极值（Maximum and minimum of function of several variable ）
（以二元函数为主介绍）
一、二元函数的极值的定义
1、极值的概念：设函数在点的某邻域内有定义，如果在该邻域内异与点的任何点，都有＜（或＞），则称为函数的一个极大值（或极小值）。
极值 极值点，（其他注意的与前面第三章讲的一样）
于要解决实际问题，引出最值的概念。
2．利用定义求函数的极值
（1）函数在（0，0）处取得极小值。
（2）函数在（0，0）处取得极大值。
（3）函数在（0，0）处不取得极值。
二、求极值的方法
1、定理1（极值存在的必要条件）
如果函数在点处取得极值，且在点处可导，则函数在处的导数，（此时点也称为二元函数的驻点）
2．证明（参考课本）
3、定理2（极值存在的充分条件）
设函数在点的某一邻域内连续且有一阶和二阶连续偏导数，点是函数的一个驻点，即，，记A=，B=，C=，则
（1）时，Ａ＜０，则为函数的一个极大值；
（2）时 ，且，则为函数的一个极小值；
（3）＞０，则不是函数的一个极值；（证明略）
４、总结求二元函数极值的步骤：
（1）解方程组，求得一切驻点；求出在D的驻点，并算出函数值。
（2）对每个驻点求出二阶偏导数的值：A=，B=，C=
（3）确定的符号。判断是否是极值，是极大值还是极小值。
５、例题（见课本）
二、二元函数最值的求法
1、若函数在有界闭区域Ｄ上连续，则闭有最大、最小值。
2、求最值的方法：
（1）求出在D的驻点，并算出函数值。
（2）求出在D边界上的最值。
（3）比较所有函数值，最大（小）者为最大（小）值
３、例题；（１）求函数在区域Ｄ：上的最值。
（2）要选一个容积为K的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸使它的表面积最小。
注：如果是实际应用题，知道在D内只有一个驻点，则该点的函数值就是所求的最大（小）值。
四、条件、无条件极值
具体步骤在做题过程中写出。
1．无条件极值
（1）定义
（2）求法（前面讲过）
2．条件极值
（1）定义：
（2）求法：
①化为无条件极值问题求解；
②更一般的是利用拉格朗日乘数法求解。
注：“乘数法”所得的点只是“可能”的极值点，到底是否是极值点及其类型还得进一步判别，但如是实际问题且只有唯一驻点，则驻点的函数值就为极值。
③配方法
3．举例：
（1）求函数在条件下的极大值。
（2）求表面积为而体积最大的长方体的体积。
（3）求函数在条件下的极值
§8.６二重积分（Double integral）
一、简单谈一下二重积分与定积分的区别、联系
二、概念（concept）
1．引入（两个实例），可对比定积分来理解
2．定义：（见书）
（1）区域分法且点的取法任意，如果只对特殊成立，极限并不一定存在。
（2）与定积分相区别。
（3）二重积分中上限必大于下限。
3．存在性：在D上连续，则在D上必可积。
4．几何意义：
（1）
（2）
（3）可正、可负，表示体积的代数和
特别地，则
三、性质（properties）
1．线性性：
2．积分区域的可加性：
如：，则
3．单调性：
（1）若在D上，则
（2）特别地
（3）为D的面积时，则
（4）估值定理：、为在上的最大、小值，为D的面积
如何估计，举例来分析，如：估计所给积分值
4．中值性：
（1）
（2）几何意义：曲顶柱体体积与底面为D的平顶柱体体积相等
★ 二重积分的对称定理：
1．如果积分区域D关于x轴对称，为的奇偶函数，则二重积分
2．如果D关于y轴对称，为x的奇偶函数，则二重积分
3．若D关于原点对称，同时为x、y的奇偶函数，则二重积分
4．若D关于直线对称，则
§8.2 二重积分的计算（calculus of double integral）
一、直角坐标系下二重积分的计算
注：对二重积分化为二次积分的理解及计算方法
1．若在闭区域D上的二重积分存在，分析得
∴
2．如何计算二重积分（依据：二重积分的几何意义）
（1）如果D为矩形区域D：
（2）特殊：D为矩形区域，
可简化计算
（3）如果D为任意区域D：或
（4）对区域D的要求：区域D的边界曲线与平行于x、y轴的直线的交点不多于两个。
（5）计算方法：
①画出积分区域D的草图，解出交点并写出边界曲线方程；
②根据D的特点选择合适的积分次序，x—型或y—型；
③穿线定限（后积先定限，限内划条线，先交下限写，后交上限见）
④具体过程分别对先后对讲解。
（6）在计算过程中需注意以下几点
①如果积分区域不是矩形，则二重积分的上、下限不能同时为常数；
②在计算过程中，第一次积分的上、下限不能含有首次积分的积分变量，如
，不能含有y，可含有常数。
③第二次积分时，上、下限只能是常数，不含有x或y，因此二重积分最后的结果也是一个常数。
（7）举例：
①把化为累次积分，其中D 是 由及围成的区域。
② D：
③ D：由与围成
④计算，其中D是由抛物线与围成
⑤ D：由，及围成
⑥ D：由及围在
⑦交换积分次序：a．
b．
⑧求曲面与所围成立体的体积。
⑨计算由所围图形的面积
⑩求两个底圆半径相等的直交圆柱面所围的体积
二、极坐标系下二重积分的计算
1．什么情况下用极坐标简单
若二重积分的积分区域D是圆域，圆环或它们 的一部分，而被积函数中含有时，用极坐标更简单。
2．若在D上连续，在极坐标系下分析得面积元素
3．如何计算二重积分（一般先对后对）
积分区域D分三种情形：
（1）若：
则
（2）若
当极点O在积分区域D的边界线之内时
（3）若极点在D的内部，则D：
4．具体计算方法
（1）令
（2）画出积分区域，解出交点
（3）确定积分上、下限
5．举例
（1），D：圆环在第一象限的部分
（2）求，其中为
（3），其中D为圆域：
（4），其中D是由圆周所围成的区域
（5），D：由所围成的区域下载本文
