第九章 欧几里得空间

一、基本理论、基本定理

1、欧氏空间中的内积的4个条件：

(1) ； (2)  ；(3)  ；(4) ，当且仅当时有。

常用欧氏空间的内积定义：

中的内积定义-----对于，，内积的定义是

中的内积定义-----对于，内积的定义是

，特别的内积定义是。

2、欧氏空间的维数并没有什么，可以是有限维的，也可以是无限维的。

3、向量的长度的定义：，。性质。注意k的绝对值。向量的夹角的定义：。长度=1的向量，称为单位向量。向量的单位化。

4、Cauchy不等式：，或者是。

当是线性相关时，取等号：。当是线性无关时，取不等号：。

5、向量的正交或者垂直：如果向量的夹角是90度或者内积，称正交。如果向量是正交的，则有勾股定理：。

推广：如果向量组是两两正交的，则有。

6、欧氏空间的基的度量矩阵的(1)定义：；

(2)度量矩阵的性质：

度量矩阵是一个对称矩阵；度量矩阵是正定矩阵；

不同基的度量矩阵是合同的。如果向量，则内积

7、正交向量组的定义：一组两两正交的非零向量。特别：单个非零向量也算正交向量组。

性质：（1）正交向量组是线性无关的（掌握其证明的过程）。

（2）在n维欧氏空间中，正交向量组所含向量的个数不能超过n个。

8、正交基的定义：n维欧氏空间中，n个两两正交的向量组成的正交向量组，称为一个正交基。

标准正交基的定义：由单位向量组成的正交基，称为标准正交基。

9、如果是正交基，则，所以正交基的度量矩阵

是一个对角矩阵。

如果是一组标准正交基，则，因此，标准正交基的度量矩阵，即标准正交基的度量矩阵是单位矩阵E。

10、标准正交基的简单性质：

（1）向量的坐标可以通过内积简单地表示出来：。例如是的一组标准正交基，则向量在此标准正交基下的坐标是             。

（2）如果，是标准正交基，则

内积，长度。

11、向量组的正交化方法：把基化成标准正交基，先化成正交基（组），再单位化化成标准正交基。

（1）正交化步骤：

这时向量组就是正交基。

（2）再进行向量的单位化：令，则向量组就是标准正交基。

12、从上面的正交化方法的具体过程可以知道，

……………………

因此，基到正交基的过渡矩阵是一上三角形的矩阵，而且上三角形矩阵的主对角线上的元素都=1。如果改成到标准正交基的过渡矩阵，仅是一个上三角的矩阵，但主对角线上的元素不是=1。

13、正交矩阵的定义及性质：

（1）定义：n阶实矩阵A，如果满足，则称A是正交矩阵。

（2）性质：

如果A是正交矩阵，则其行列式，即正交矩阵的行列式=。

如果A是正交矩阵，则。

如果矩阵是一个正交矩阵，则A中任一列元素的平方和=1；任一行元素的平方和也=1；任意两列对应元素的乘积之和=0；任意两行元素的对应元素的乘积之和也=0。

例如矩阵就是一个正交矩阵。

14、欧氏空间的同构（或者同构映射）的定义：如果是欧氏空间V到V1的一个双射，并且对任意的满足下列3个条件：

（1）；（2）；（其实这两个条件表示是线性的）

（3）。

则称是V到V1的一个同构映射，这时也称V与V1是同构的。

15、欧氏空间V到V1的同构映射，也是V与V1作为线性空间时的同构映射（只要条件1与条件2即可）。

16、例如：设V是n维欧氏空间，是V的一组标准正交基，对于任意的向量，定义，试证明是V到的一个同构映射。

17、（1）任意一个n维欧氏空间V都与同构（证明就是16）。

 （2）任意两个n维欧氏空间都是同构的。

证明方法：设V与V1都是n维的欧氏空间，和分别是它们的标准正交基，对于任意的向量，定义，验证是V到V1的同构映射即可。

 （3）两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。

证明方法：如果两个有限维欧氏空间V与V1是同构的，那么它们作为线性空间也是同构的，因此维数相同。反之，如果两个欧氏空间V与V1有相同的维数，用上述（2）的方法证明它们是同构的。

18、正交变换的定义及例子：

（1）定义：欧氏空间V的线性变换如果满足：对于任意的满足（保持向量的内积不变），则称是一个正交变换。

（2）说明：V的变换必须满足两个条件：一是是线性变换，即是，；二是必须保持向量的内积不变，即是，才是正交变换。

（3）例子：判断下列变换是不是正交变换。

中，，定义；

再定义。

19、正交变换的判断方法（等价命题）：如果是欧氏空间V的一上线性变换，那么下列命题等价。（1）是正交变换；（2）保持向量的长度不变，即对于任意的。（3）如果是V的一组标准正交基，那么也是V的标准正交基。（4）在任意一组标准正交基下的矩阵A都是正交矩阵。（要求掌握等价命题的证明过程）可以使用这些等价方法去做上面的例子。

20、正交变换的性质

（1）正交变换是可逆的（因为正交变换在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵，而正交矩阵的行列式=，是可逆的，所以正交变换是可逆的。）

（2）正交变换的逆变换也是正交变换。（证明过程？）

（3）两个正交变换的乘积也是正交变换。（证明过程？）

（4）正交变换是欧氏空间V到V自身的同构映射（满足同构映射的条件）。

（5）正交变换的分类：如果正交变换的矩阵A的行列式|A|=1，此时的正交变换就称是第一类的（旋转）；如果矩阵A的行列式|A|=-1，则称正交变换是第二类的。判断上面18的正交变换是第几类的？

21、一个向量与一个子空间正交：设W是欧氏空间V的一个子空间，如果对于，都有，称向量与子空间W正交，记作。

例如：（1）中，子空间，，那么有。

（2）中，子空间由一些偶函数组成的，，那么有。

22、两个子空间的正交：设V1与V2都是欧氏空间V的子空间，如果对于，都有，则称V1与V2是正交的，记作。

例如：（1）中，子空间，那么有。

（2）中，子空间由一些偶函数组成的，由一些奇函数组成的，那么有。

23、正交子空间的性质

（1）如果，那么和是直和。（证明过程？）

（2）如果，那么。

（3）如果是两两正交的，那么和是直和。（证明过程？）

24、子空间的正交补

（1）如果子空间V1，V2满足，，则称V2是V1的正交补（当然V1也称是V2的正交补）。V1的正交补记作。

（2）n维欧氏空间V的每一个子空间V1都有唯一的正交补。

取V1的一组正交基，再扩充成为V的一组正交基，那么V1的正交补。并且有维数公式：维()+维(V1)=维(V)=n。

25、由知道，对于任意的向量，都可以唯一地分解成为，其中，这时称向量是向量在子空间V1上的影。

26、任一个实对称矩阵A的特征值都是实数；任一个实反对称矩阵A的特征值都是零或者纯虚数。（证明过程？）

27、对称变换的定义及例子

（1）定义：欧氏空间V中的线性变换，如果满足，，则称是一个对称变换。

（2）例子：判断下列线性变换是不是对称变换？

中，。

28、判断对称变换的方法：

（1）使用定义进行判断；

（2）线性变换是对称变换的充分必要条件是，在任一标准正交基下的矩阵是对称矩阵。使用此方法对上述的例子进行验证。

29、如果A是一个n阶实对称矩阵，那么中属于A的不同特征值的特征向量一定正交。

30、对于任意一个n阶实对称矩阵A，一定存在正交矩阵T，使得

是一个对角矩阵。

其中就是矩阵A的全部特征值。

31、从上面的结果看出，一个实对称矩阵与一个对角矩阵既合同又相似。

32、任意一个实二次型 都可以经过正交的线性替换X=TY变成平方和（标准形）

其中就是矩阵A的全部特征值。由此可以判断，如果特征值全部都是正数，则二次型就是一个正定二次型。

二、基本计算、基本证明

1、内积的证明（或者欧几里得空间的证明）----一一验证内积的4个条件。

（1）在线性空间是由二阶矩阵组成，对于任意的矩阵

，规定，证明在这个定义下，成为一个欧氏空间。

（2）设A是一个n阶正定矩阵，是n维欧氏空间V的一组基，对于V中的任意向量，规定

证明在这个定义下，V成为一个欧氏空间，并且的度量矩阵刚好就是正定矩阵A。

2、计算向量的长度及夹角

（1）P393的练习2

（2）求中的函数的长度及夹角。

（3）利用长度的性质进行计算：如果向量的，则的长度？

3、Cauchy不等式的证明，分线性相关与线性无关两种情况的证明。

4、能够写出一些具体的欧氏空间的Cauchy不等式。如中的Ｃauchy不等式、C(a,b)中的Cauchy不等式、上面练习1中的（1）与（2）的两个小题的Cauchy不等式。

5、能够使用Cauchy不等式对某些不等式的证明。例如证明。

6、写出基的度量矩阵。如的基的度量矩阵是        ；特别是基的度量矩阵是           。推广，中的基的度量矩阵是            。

7、度量矩阵是正定矩阵的证明；不同基的度量矩阵是合同的证明。

8、求一个单位向量与已知向量正交的计算题。P393的练习4与练习5的证明。

9、证明：正交向量组是线性无关的。

10、标准正交基的证明。例如：P393练习6。

11、正交化方法的计算。

（1）P369的例子。

（2）P393的练习7、练习8、练习9。

12、试证明：（1）标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵。即如果和都是标准正交基，( )=()T，证明过渡矩阵T是正交矩阵。

（2）如果是标准正交基，并且( )=()T，证明也是标准正交基。

13、如果矩阵A、B都是正交矩阵，试证明：AB、都是正交矩阵。

14、P394的练习13：试证明一个上（下）三角形矩阵A如果是一个正交矩阵的话，则A一定是一个对角矩阵，且对角线的元素=。 

15、P395的练习15（有关正交变换的证明题型）。

16、在欧氏空间中，子空间V1是下列齐次线性方程组的解空间。（1）求V1的正交补；（2）求向量在子空间V1上的影。

17、P395的练习17、练习18（加上判断是否是正定二次型）、练习19的证明、练习22的证明、练习24的（1）的证明、练习26的证明。

第八章 矩阵

一、基本理论、基本定理与基本方法

1、矩阵的定义：，其中。

2、不含有的矩阵A，有时也称为是数字矩阵。

3、矩阵的加、减、数量乘积以及乘法运算及运算规律等（略）。

4、n阶矩阵同样可以计算它的行列式。

5、矩阵的秩的定义：不等于零的子式的最高阶数，称为矩阵的秩。零矩阵的秩规定=0。

6、对于n阶矩阵，如果存在一个n阶矩阵满足==E，则称矩阵是可逆的，而矩阵就称为是的逆矩阵，记作。

7、矩阵可逆的充分必要条件是行列式||=a是一个非零的常数。

8、矩阵的初等变换：（1）交换矩阵的两行（两列）；（2）用一个非零的数c乘矩阵的某一行（某一列）；(3)用一个多项式乘矩阵的某一行（列）后，加到另一行（列）。

9、初等矩阵的概念及类型、初等矩阵都是可逆的，其逆矩阵也是初等矩阵。

10、如果一个矩阵经过一系列初等变换，变成矩阵，则称矩阵与是等价的。

11、如果与是等价的，则存在一系列的初等矩阵使得，或者是存在可逆的矩阵与使得。

12、矩阵的标准形

对角形矩阵中，都是首项系数是1的多项式，而且还有整除关系，则称此对角形矩阵是矩阵的标准形。

13、可以使用矩阵的初等变换来把一个矩阵化成其标准形。

14、k阶行列式因子------矩阵中全部k阶子式的首项系数=1的最大公因式称为的k阶行列式因子。行列式因子之间的关系。

15、等价的矩阵有相同的秩与相同的各级行列式因子。

16、矩阵的标准形是唯一的。的标准形的主对角线上的非零元素称为的不变因子。

17、数字矩阵A与B相似的充分必要条件是：

 （1）特征矩阵与等价；

 （2）特征矩阵与有相同的标准形；

 （3）特征矩阵与有相同的不变因子（的不变因子以后就简称为A的不变因子）；

 （4）A与B有相同的不变因子；

 （5）A与B有相同的初等因子。

18、不变因子与初等因子都是矩阵相似的不变量。

19、行列式因子与不变因子的关系：

20、每一个复数n阶矩阵都与一个若尔当矩阵相似。

21、一个复数矩阵A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是A的初等因子全是一次的。

二、基本计算与基本证明

1、矩阵是否可逆的判断。例如，。

2、熟悉使用矩阵的初等变换，把矩阵化为标准形。P334的例题、P355的练习1。

3、熟悉计算特殊矩阵（对角形、上三角形、下三角形等）的行列式因子，从而计算出不变因子，得出矩阵的标准形。

例如：P355的练习1的（3）与（4）、练习2、练习3等。

4、n阶数字矩阵A的特征矩阵的秩 = n 。

n阶矩阵A的不变因子总是有n个（实际是就是特征矩阵的不变因子总是有n个）。即是

并且它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式，即。

5、可逆矩阵（n阶）的行列式因子，不变因子，标准形是单位矩阵E。

6、熟悉从不变因子求出初等因子的方法。

例如：12级矩阵A的不变因子是1、1、1、1、1、1、1、1、1、，，那么其初等因子是                                  。

熟悉从初等因子求出不变因子的方法。

例如：12级矩阵A的初等因子是，那么其不变因子是                               。

7、若尔当块中，的行列式因子是                  ；不变因子是                                ；初等因子是               。

若尔当矩阵的初等因子                         ，从而可以求出其不变因子是                             ；从而的标准形是                 。

9、熟悉从初等因子写出若尔当块、若尔当矩阵。

例如：对应于初等因子的若尔当块是                        ；

对应于初等因子若尔当矩阵是                          。

8、计算复数矩阵的若尔当标准形。做P357的练习6。

第七章  线性变换（一部分）

一、基本理论、基本方法及基本定理

1、线性变换的定义及简单例子

（1）定义：线性空间V的一个变换如果满足：、，这里向量，则称是一个线性变换。

（2）线性变换的简单例子：

中，，是一个线性变换；

在P[x]中，求多项式f(x)的变换也是一个线性变换。

2、线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。即，设是一个线性变换，那么

（1）如果线性相关，那么也线性相关（正确）；

（2）如果线性无关，那么也线性无关（错误）；

（3）如果线性相关，那么也线性相关（错误）；

（4）如果线性无关，那么也线性无关（正确）。

3、线性变换的运算

（1）乘积运算：；

例如：P[x]中，线性变换，则乘积     。

（2）加法运算：；

例如：中，，

，那么               。

利用负变换可以定义减法运算：。例如上述线性变换的减法结果是                   。

（3）数量乘积运算：；

例如：：中，，那么             。

4、线性空间V上的全体线性变换所组成的集合，对于上述定义的加法运算与数量乘法运算，构成数域P上的一个线性空间。

5、线性变换的逆变换，线性变换的幂都是线性变换。以及线性变换的多项式等。

6、线性变换的矩阵：

设是线性空间V的一个线性变换，是V的一组基，那么，它们都可以用V的基线性表示，设表示式是

，取矩阵，则称矩阵A是线性变换在基下的矩阵。这时上面的等式可以写成

() = ()A

7、一个线性变换在两组基下的矩阵的关系是：相似的。

8、矩阵相似的定义：。

9、相似的矩阵有相同的特征多项式，进而有相同的特征值。

10、线性变换的值域及核的概念。

（1）值域：V的线性变换的全体元素的像组成的集合，称为的值域，用(V)来表示，即

。

（2）核的概念：所有被变成零向量的向量组成的集合，称为的核，用来表示，即

。

（3）核的维数称为的零度，值域(V)的维数称为的秩。

（4）在n维的线性空间V中，有下列的维数公式。

的秩（实际上是(V)的维数）+的零度（实际上是核的维数）= n 。

二、基本计算与基本证明

1、有关线性变换的证明与计算：P320的练习1、练习3、练习4与练习9中有关线性变换的验证。

2、计算一个线性变换在一组基下的矩阵。P320的练习7、练习8、练习9、练习11、练习14与练习15中有关求一个线性变换在一组基下的矩阵的计算问题。

3、有关矩阵相似的判断或者证明。

4、有关线性变换的特征值与特征向量的计算。

5、求矩阵的特征值与特征向量的计算。

6、判断一个矩阵是否与一个对角矩阵相似的方法，当一个矩阵A能够与一个对角矩阵相似的时候，求一个可逆矩阵T，使得

的计算问题。

7、求线性变换的值域(V)的集合、一组基、以及维数的计算问题。

求线性变换的核集合、一组基、以及维数的计算问题。

做P323的练习14、练习23中有关值域与核的问题的计算。

考试测试题目

2007年秋季期期中考试（段考模拟题目）

一、填空题（每小题3分，共30分）

1、在中，基到基的过渡矩阵是                。

2、多项式在的基下的坐标是              。

3、设和都是n维线性空间V的基，而A、B是两个n级可逆矩阵，并且，则由基到基的过渡矩阵是         ，而由到的过渡矩阵是           。

4、生成子空间的维数是        ，它的一个基是                                        。

5、的线性变换定义如下：、

，那么

                              ，                          。

6、设是一个3阶矩阵，已知道A的两个特征值，那么A的另一个特征值         ，A的行列式|A| =          ，矩阵A的迹          ，A的特征多项式                        。

7、在中定义线性变换A如下：，那么A在基的矩阵是                。

8、设3维线性空间V的线性变换在V的基下的矩阵分别是和，那么在基下的矩阵是                   。

9、实数域R上的矩阵的特征值是                  ，相应的特征向量是

                               。

10、设表示数域P上的所有2阶矩阵按矩阵加法和数与矩阵的乘法构成一个线性空间，A是V的一个线性变换，如果核的维数是s，那么值域AV的维数是       。

二、计算题（14+15+10+10=49分）

1、设，，

（1）证明和都是的基。（6分）

（2）求出到的过渡矩阵。（8分）

2、设R上的3维线性空间V的线性变换A在V的一组基下的矩阵是，求：

（1）线性变换A的特征值与特征向量（6分）； 

（2）判断线性变换A的矩阵是否在适当的基下变成一个对角形矩阵？如果可以，写出相应的基变换的过渡矩阵T，并求（4分）；

（3）如果向量，求出A()在基下的坐标（5分）。

3、设是3维线性空间V的一组基，线性变换A在这组基下的矩阵是，   并且，求线性变换A在基下的矩阵。（10分）

4、设有向量，求出

（1）由和生成的子空间的交的维数及一组基；

（2）由和生成的子空间的和的维数及一组基。

三、证明题（每小题7分，共计21分）

1、设是一个n阶矩阵，对于任意的n阶矩阵，定义线性变换如下：

，证明（1）是的一个线性变换（4分）；（2）（3分）。

2、设是齐次线性方程组的解空间，而则是齐次线性方程组的解空间，证明。（7分）

3、设，证明W是线性空间的一个子空间。（7分）

2007年秋季期期末考试模拟测试题目一

一、单项选择题（每题1分，总计10分，请将你认为正确的序号填在该题后的括号内）

1、如果矩阵T是一个正交矩阵，并且有，那么矩阵A、B的关系是（      ）。

(1)合同的,       (2)相似的,       (3)既是合同的又是相似的.

2、下列矩阵中属于对称矩阵的是（    ）。(1)过渡矩阵,   (2)度量矩阵,   (3)正交矩阵.

3、线性空间V中的两个子空间的和是直和的充分必要条件是（     ）。

 (1) ,    (2) 维()=维(),      (3) 

4、下列线性空间的变换中不属于线性变换的是（      ）。

(1) ，

(2) ，

(3) 

5、n级-矩阵是一个可逆矩阵的充分必要条件是（     ）。

(1)      (2)       (3) ，其中是一个非零的数。

6、如果-矩阵和等价，那么不一定成立的是（      ）。

(1) 和的行列式因子相同；(2) 和的不变因子相同；

(3) 

7、一个复数矩阵A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是（    ）。

(1)A的行列式因子都是一次的   (2)A的不变因子都是一次的

(3)A的初等因子都是一次的

8、在欧氏空间V中，如果向量线性无关，那么（     ）。

(1) ， (2) ，  (3) 

9、欧氏空间V与同构的充分必要条件是（     ）。

(1) 维(V) > n (2) 维(V) = n        (3) 维(V) < n

10、下列命题不是与命题“是正交变换”等价的是（       ）。

(1) 对于任意向量都有；

(2) 关于欧氏空间V的任一组基的矩阵都是正交矩阵；

(3) 如果是标准正交基，那么也是标准正交基。

二、判断题（认为是正确的打√，是错误的打×，每小题1分，共10分）

1、-矩阵的不变因子，而。                                         

2、两个数字矩阵A、B相似的充要条件是它们有相同的不变因子。（     ）

3、若尔当块的初等因子是。                 （     ）

4、设是实空间的任意向量，则关于内积构成一个欧氏空间。              （     ）

5、V一组基是标准正交基的充分必要条件是的度量矩阵是单位矩阵E。                              

6、正交变换保持向量的夹角不变。                   （     ）

7、如果是子空间的标准正交基，而是的标准正交基，那么的正交补。（     ）

8、如果分别属于n级实对称矩阵A的特征值和的特征向量，那么内积。                      （     ）

9、是的一个子空间。    （      ）

10、如果矩阵A、B相似，那么有。 （      ）

三、填空题（每小题2分，共12分）

1、矩阵的行列式因子   ，    ，           。

2、6级矩阵A的初等因子是，，那么A的不变因子是              。

3、欧氏空间的函数的长度               。

4、的基的度量矩阵是            。

5、设是三维欧氏空间V的一组标准正交基，， ，则内积                    。

6、设是欧氏空间V的线性变换，如果对于任意的都有                     ，则称是一个对称变换。

四、计算题

1、用初等变换化矩阵为标准型。（10分）

2、求复数矩阵的若尔当标准形。（12分）

3、设有实对称矩阵，

（1）求A的特征值与相应的特征向量；（2）求正交矩阵T使得成对角形矩阵。（16分）

4、在中，已知，

（1）证明是的一组基；

（2）求出到的过渡矩阵； 

（3）求向量在基下的坐标。（12分）

五、证明题（18分）

1、证明矩阵的标准形是，其中。（6分）

2、定义欧氏空间的一个双射如下：

，

试证明：（1）是一个线性变换；

（2）是到的一个同构映射。（6分）

3、设为欧氏空间V的正交变换，证明是V的对称变换的充分必要条件是为V的单位变换。（6分）

2007年秋季期期末考试模拟测试题目二

一、单项选择题（每题1分，总计10分，请将你认为正确的序号填在该题后的括号内）

1、如果矩阵T是一个正交矩阵，并且有，那么矩阵A、B的关系是（      ）。

(1)合同的,       (2)相似的,        (3)既是合同的又是相似的.

2、下列集合属于的子空间的是（       ）。

(1) ,

(2) , 

(3) .

3、同一线性变换在不同基下的矩阵是（       ）。

 (1) 相等的,      (2) 相似的,       (3) 合同的

4、下列线性空间的变换中属于线性变换的是（        ）。

(1) ，

(2) ，

(3) 

5、如果矩阵与等价，则与的（      ）。

(1)相同但不变因子不同；(2) 不行列式因子变因子相同但行列式因子不同；

(3) 行列式因子与不变因子都相同。

6、实对称矩阵与对角形矩阵（      ）。

(1)相似但不合同     (2)既相似又合同    (3)合同但不相似 

7、两个n阶数字矩阵A与B相似的充分必要条件是（    ）。

(1)   (2)   (3)A与B有相同的初等因子

8、在欧氏空间V中，如果向量线性相关，那么（     ）。

(1)  ， (2)  ，(3) 

9、欧氏空间V与同构的充分必要条件是（       ）。

(1)维(V) > 5 (2) 维(V) = 5        (3) 维(V) < 5

10、已知是欧氏空间的一组正交基，的子空间，则正交补（       ）。

(1) ；     (2)  ；    (3) 。

二、判断题（认为是正确的打√，是错误的打×，每小题1分，共10分）

1、n级-矩阵可逆的充分必要条件是秩=n。     （     ）

2、如果数字矩阵A、B的特征矩阵与有相同的行列式因子，则矩阵A与B相似。                                  （     ）

3、若尔当块的初等因子是。            （     ）

4、设是实空间的任意向量，则关于内积构成一个欧氏空间。                      （     ）

5、如果5阶矩阵A的不变因子为1，1，1，，，

则A的初等因子为。           （     ）

6、正交变换保持向量的长度不变。                 （     ）

7、实对称矩阵的特征值都是实数。                 （     ）

8、设W1,W2为都是线性空间V的子空间，那么W1W2也是V的子空间。                                                

9、假设是线性空间V的一个线性变换，如果，则。（   ）

10、若A、B均为正交矩阵，则AB也是正交矩阵。   （     ）

三、填空题（每小题2分，共12分）

1、如果是欧氏空间V的一组标准正交基，那么内积 。

2、在欧氏空间中，向量的长度          ，而向量的夹角              。

3、的基的度量矩阵是            。

4、设是三维欧氏空间V的一组标准正交基，， ，则内积                    。

5、设是欧氏空间V的线性变换，如果对于任意的都有               ，则称是一个正交变换。

6、设5级矩阵A的若尔当标准形是，则A的初等因子是                   。

四、计算题

1、用初等变换化矩阵为标准型。（10分）

2、求复数矩阵的若尔当标准形。（12分）

3、设有实对称矩阵，

（1）求A的特征值与相应的特征向量；

（2）求正交矩阵T使得成对角形矩阵。（16分）

4、在中，已知，

（1）证明是的一组基；

（2）求出到的过渡矩阵； 

（3）求向量在基下的坐标。（12分）

五、证明题（每小题6分, 共计18分）

1、设都是线性空间V的线性变换，如果，证明。（6分）

2、是欧氏空间V的任意三个向量，试证明：

（1）如果，则；

（2）如果，则。（6分）

3、设为欧氏空间V的对称变换，并且是V的单位变换，证明是V的正交变换。（6分）下载本文