一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 某班运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人、羽毛球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取个容量为n的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当抽取样本的容量为n+1时，若采用系统抽样法，则需要剔除一个个体，则样本容量n= (   )

A. 6    B. 7    C. 12    D. 18

参：

A

【分析】

根据容量为采用系统抽样法和分层抽样法，都不用剔除个体可得为6的倍数，再利用样本容量为时，采用系统抽样法需要剔除1个个体，验证排除即可.

【详解】因为采用系统抽样法和分层抽样法，不用剔除个体，

所以为的正约数，

又因为，

所以为6的倍数，因此， 

因为当样本容量为时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，

所以为35的正约数，因此，故选A.

【点睛】本题主要考查分层抽样与系统抽样的应用，属于基础题.分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.

2. 下列命题中正确的个数是（    ）个

①若直线上有无数个公共点不在平面内，则.

②若直线与平面平行,则直线与平面内的任意一条直线都平行.

③如果两平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.

④垂直于同一条直线的两条直线互相平行.

参：

3. 已知集合A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则下图中阴影部分表示的集合为(　　)

A．{2}      B．{3}

C．{－3，2}      D．{－2，3}

参：

A

解析：注意到集合A中的元素为自然数．因此A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，而B＝{－3，2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}，故选A.

4. 已知等差数列{an}的前n项的和为Sn，若，则等于（   ）

A. 81    B. 90    C. 99    D. 180

参：

B

【分析】

根据已知得到的值，利用等差数列前项和公式以及等差数列下标和的性质，求得的值.

【详解】依题意，所以，故选B.

【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前项和的计算，属于基础题.

5. ． 已知函若在上单调递增，则实数的取值范围为（  ）

A．              B．             C．           D． 

参：

C

略

6. 设全集U=R，集合M={x|y=}，N={y|y=3﹣2x}，则图中阴影部分表示的集合是（　　）            

A．{x|＜x≤3}    B．{x|＜x＜3}    C．{x|≤x＜2}    D．{x|＜x＜2}

参：

B

【考点】Venn图表达集合的关系及运算．            

【专题】计算题．            

【分析】首先化简集合A和B，然后根据Venn图求出结果．            

【解答】解：∵M={x|y=}={x|x≤}            

N={y|y=3﹣2x}={y|y＜3}            

图中的阴影部分表示集合N去掉集合M            

∴图中阴影部分表示的集合{x|＜x＜3}            

故选：B．            

【点评】本题考查了求Venn图表示得集合，关键是根据图形会判断出阴影部分表示的集合元素特征，再通过集合运算求出．            

7. 对于函数，给出下列四个命题：

  ①该函数的值域为；

②当且仅当（）时，该函数取得最大值1；

③该函数是以为最小正周期的周期函数；

④当且仅当（）时，.

上述命题中正确的命题个数为    

A.3       B.2         C.1         D.0

参：

C

8. （5分）已知y=f（x+1）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈时，f（x）=log2x，设，，则a、b、c的大小关系为（）

    A．    a＜c＜b    B．    c＜a＜b    C．    b＜c＜a    D．    c＜b＜a

参：

D

考点：    不等式比较大小． 

专题：    压轴题；函数的性质及应用．

分析：    由f（x+1）是定义在R上的偶函数求得f（x）的图象关于直线x=1对称，故有f（x）=f（2﹣x）．再由y=f（x+1）是定义在R上的周期为2的函数可得函数f（x）也是周期等于2的函数，化简a=f（），再根据当x∈时，f（x）=log2x是增函数，且 ，可得a、b、c的大小关系．

解答：    ∵f（x+1）是定义在R上的偶函数，∴f（x+1）=f（﹣x+1），故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，故有f（x）=f（2﹣x）．

再由y=f（x+1）是定义在R上的周期为2的函数可得 函数f（x）也是周期等于2的函数．

故有 a=f（）=f（2﹣）=f（），b=f（），c=f（1）=0．

再由当x∈时，f（x）=log2x是增函数，且 ，可得 a＞b＞c，

故选 D．

点评：    本题考查对数函数的性质和应用，解题时要认真审题，注意反函数性质的灵活运用，属于基础题．

9. 设，，且，则（     ）

A．         B．       C.        D． 

参：

C

10. 设函数f（x）=1﹣，g（x）=ln（ax2﹣3x+1），若对任意的x1∈[0，+∞），都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的最大值为（　　）

A．2    B．    C．4    D．

参：

B

【考点】函数的值．

【分析】设g（x）=ln（ax2﹣3x+1）的值域为A，则（﹣∞，0]?A，从而h（x）=ax2﹣3x+1至少要取遍（0，1]中的每一个数，又h（0）=1，由此能求出实数a的最大值．

【解答】解：设g（x）=ln（ax2﹣3x+1）的值域为A，

∵f（x）=1﹣在[0，+∞）上的值域为（﹣∞，0]，

∴（﹣∞，0]?A，

∴h（x）=ax2﹣3x+1至少要取遍（0，1]中的每一个数，

又h（0）=1，

∴实数a需要满足a≤0或，

解得a≤．

∴实数a的最大值为．

故选：B．

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 在△ABC中，若则△ABC的形状是_________

参：

钝角三角形

略

12. 已知函数在定义域上是增函数，且 则的取值范围是               。

参：

（2,3）

13. 设点M是椭圆上的点，以点M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于不同的两点P，Q,且满足,则椭圆的离心率为________。

参：

14. （5分）若xlog34=1，则4x+4﹣x的值为          ．

参：

考点：    对数的运算性质． 

专题：    计算题．

分析：    由已知，若xlog34=1，解方程易得x的值，代入即可求出4x+4﹣x的值．

解答：    ∵xlog34=1∴x=log43则4x+4﹣x=

=3+

=

故答案为：

点评：    本题考查对数的运算，指数的运算，函数值的求法．掌握常用的对数式的性质是解决本题的关键：如 ，

15. 若直线上存在满足以下条件的点P:过点P作圆的两条切线(切点分别为A,B),四边形PAOB的面积等于3，则实数m的取值范围是_______

参：

【分析】

通过画出图形，可计算出圆心到直线的最短距离，建立不等式即可得到的取值范围.

【详解】作出图形，由题意可知，，此时，四边形即为,而，故，勾股定理可知，而要是得存在点P满足该条件，只需O到直线的距离不大于即可，即，所以，故的取值范围是.

【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，意在考查学生的转化能力，计算能力，分析能力，难度中等.

16. 数列{an}满足，当时，，则是否存在不小于2的正整数m，使成立？若存在，则在横线处直接填写m的值；若不存在，就填写“不存在”_______.

参：

70

【分析】

构造数列，

两式与相减可得数列{}为等差数列，求出，让=0即可求出.

【详解】设 

两式相减得

又

数列从第5 项开始为等差数列，由已知易得均不为0

所以当n=70的时候成立，故答案填70.

【点睛】如果递推式中出现和的形式，比如，可以尝试退项相减，即让取后，两式作差，和的部分因为相减而抵消，剩下的就好算了。

17. .设，其中m、n、、都是非零实数，若则=         .

参：

-1

略

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18. 已知函数f（x）=loga（1+x），g（x）=loga（1﹣x），（a＞0，且a≠1）．

（1）设a=2，函数f（x）的定义域为[3，63]，求函数f（x）的最值．

（2）求使f（x）﹣g（x）＞0的x的取值范围．

参：

【考点】对数函数图象与性质的综合应用．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】（1）当a=2时，根据函数f（x）=log2（x+1）为[3，63]上的增函数，求得函数的最值．

（2）f（x）﹣g（x）＞0，即loga（1+x）＞loga（1﹣x），分①当a＞1和②当0＜a＜1两种情况，分别利用函数的单调性解对数不等式求得x的范围．

【解答】解：（1）当a=2时，函数f（x）=log2（x+1）为[3，63]上的增函数，

故f（x）max=f（63）=log2（63+1）=6，f（x）min=f（3）=log2（3+1）=2．

（2）f（x）﹣g（x）＞0，即loga（1+x）＞loga（1﹣x），

①当a＞1时，由1+x＞1﹣x＞0，得0＜x＜1，故此时x的范围是（0，1）．

②当0＜a＜1时，由0＜1+x＜1﹣x，得﹣1＜x＜0，故此时x的范围是（﹣1，0）．

【点评】本题主要考查指数函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

19. 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，E为AB的中点，F为CC1的中点.

（1）证明：B F//平面E CD1

（2）求二面角D1—EC—D的余弦值.

参：

（1）证明：取CD1 中点G，连结FG

∵F为CC1的中点.D1   ∴且FG //C1D1

∵且AB //C1D1∴且FG //BE

∴四边形FG EB为平行四边形∴BF //GE………4分

∵平面E CD1     平面E CD1 

∴B F//平面E CD1………7分

（2）连结DE

∵AD=AA1=1，AB=2 ,  E为AB的中点

∴………9分

∵平面ABCD   ∴E C

又   平面E DD1     平面E DD1

∴平面E DD1

∴ E D1………11分

  ∴∠DED1为二面角D1—EC—D的平面角. ………12分

中  ∴中

∴cos∠DED1………14分

20. （本小题满分14分）设等比数列的前ν项和为，已知.

（1）求数列通项公式；

（2）在与之间插入ν个数，使这ν+2个数组成一个公差为的等差数列.

    （ⅰ）求证：

（ⅱ）在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列，

参：

解：（1）由，又两式相减得

又，又已知为等比数列，公比

所以，则，所以

（2）由（1）知由，所以

（ⅰ）令，则

两式相减得

（ⅱ）假设在数列中存在三项（其中成等差数列）成等比.

则，即，，

由于成等差数列，则    ①，又由上式得   ②

由①②可得，矛盾

所以，在数列中不存在三项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.

21.     为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少燃气或燃煤），采用分段计费的方法计算

电 费每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算，每月用电量超过100度时，其中

的100度仍按原标准收费，超过的部分每度按0.5元计算.

     （Ⅰ）设月用电x度时，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式；

     （Ⅱ）小明家第一季度缴纳电费情况如下：

问小明家第一季度共用电多少度？

参：

解：（Ⅰ）由题可得        0.57x,   0≤x≤100

                    y=    57+(x-100)= x+7,   x＞100--------6分

（Ⅱ）一月用电x+7=76 → x=138;

      二月用电 x+7=63 → x=112

      三月用电0.57x=45.6 → x=80;  

      ∴第一季度共用电330度.-----------------------------------12分

22. 在正方体中，棱长为2，是棱上中点，是棱中点，（1）求证：面；（2）求三棱锥的体积．

参：

（1）取中点Q，连接PQ，  

则PQ为中位线，， 

  而正方体，E是棱CD上中点，

故，   

，所以四边形PQDE为平行四边形。

∴PD//QE，     而面，面，故面        

（2）正方体中，面ABE，故为高，

∵CD//AB∴  

故

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