抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征式子的一类函数．由于抽象函数表现形式抽象，对学生思维能力考查的起点较高，使得此类问题成为函数内容的难点之一，使多数学生感觉无从下手，望而生畏．事实上，解决此类问题时，只要准确掌握函数的性质，熟知我们所学的基本初等函数，将抽象函数问题转化为具体函数问题，问题就迎刃而解了．

[典例]已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)＝(　　)

A．0　　　　　　　　　    B．m

C．2m     D．4m

[思路点拨]

(1)由于题目条件中的f(x)没有具体的解析式，仅给出了它满足的性质f(－x)＝2－f(x)，即f(x)(x∈R)为抽象函数，显然我们不可能求出这些点的坐标，这说明这些交点坐标应满足某种规律，而这种规律必然和这两个函数的性质有关．

(2)易知函数y＝关于点(0,1)成中心对称，自然而然的让我们有这样的想法：函数f(x)(x∈R)的图象是否也关于点(0,1)成中心对称？基于这个想法及选择题的特点，那么解题方向不外乎两个：一是判断f(x)的对称性，利用两个函数的对称性求解；二是构造一个具体的函数f(x)来求解．

[方法演示]

法一：利用函数的对称性

由f(－x)＝2－f(x)，知f(－x)＋f(x)＝2，所以点(x，f(x))与点(－x，f(－x))连线的中点是(0,1)，故函数f(x)的图象关于点(0,1)成中心对称．(此处也可以这样考虑：由f(－x)＝2－f(x)，知f(－x)＋f(x)－2＝0，即[f(x)－1]＋[f(－x)－1]＝0，令F(x)＝f(x)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，即F(x)＝f(x)－1为奇函数，图象关于点(0,0)对称，而F(x)的图象可看成是f(x)的图象向下平移一个单位得到的，故f(x)的图象关于点(0,1)对称)．又y＝＝1＋的图象也关于点(0,1)对称，所以两者图象的交点也关于点(0,1)对称，所以对于每一组对称点xi＋xi′＝0，yi＋yi′＝2，所以(xi＋yi)＝i＋i＝0＋2×＝m，故选B.

法二：构造特殊函数

由f(－x)＝2－f(x)，知f(－x)＋f(x)－2＝0，

即[f(x)－1]＋[f(－x)－1]＝0.

令F(x)＝f(x)－1，则F(x)为奇函数，

即f(x)－1为奇函数，从而可令f(x)－1＝x，

即f(x)＝x＋1，显然该函数满足此条件．

此时y＝f(x)与y＝的交点分别为(1,2)和(－1,0)，

所以m＝2，(xi＋yi)＝1＋2＋(－1)＋0＝2，

结合选项可知选B.

答案：B

[解题师说]

1．解决抽象函数问题的2个常用方法

函数性

(1)函数y＝f(x)关于x＝对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)．

特例：函数y＝f(x)关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)；

函数y＝f(x)关于x＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)．

(2)函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b.

特例：函数y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0；

函数y＝f(x)关于点(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)．

(3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数y＝f(x)关于(a,0)对称．

(4)对于函数f(x)定义域内任一自变量的值x：

①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；

②若f(x＋a)＝，则T＝2a；

③若f(x＋a)＝－，则T＝2a；(a>0)

④若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则T＝|a－b|；

⑤若f(2a－x)＝f(x)且f(2b－x)＝f(x)(a≠b)，则T＝2|b－a|.

[应用体验]

1．已知函数f(x)在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有f(f(x)－2x)＝3，则f(3)的值是(　　)

A．3　　　　　　　　　    B．7

C．9     D．12

解析：选C　由题意，知对任意x∈R，都有f(f(x)－2x)＝3，不妨令f(x)－2x＝c，其中c是常数，则f(c)＝3，所以f(x)＝2x＋c.再令x＝c，则f(c)＝2c＋c＝3，即2c＋c－3＝0.易得2c与3－c至多只有1个交点，即c＝1.所以f(x)＝2x＋1，所以f(3)＝23＋1＝9.

2．已知奇函数f(x)(x∈D)，当x>0时，f(x)≤f(1)＝2.给出下列命题：

①D＝[－1,1]；

②对∀x∈D，|f(x)|≤2；

③∃x0∈D，使得f(x0)＝0；

④∃x1∈D，使得f(x1)＝1.

其中所有正确命题的个数是(　　)

A．0　　B．1　　　C．2　　　D．3

解析：选A　由奇函数f(x)(x∈D)，当x>0时，f(x)≤f(1)＝2，只说明函数有最值，与定义域无关，故①错误；对于②，可能f(3)＝－3，|f(3)|＝3>2，故②错误；对于③，当0不在D中，且x轴为渐近线时，则不满足③；当y＝1为渐近线时，不满足④，因此选A.

3．已知定义域为R的函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，当x>2时，f(x)单调递增，若x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)

A．恒大于0     B．恒小于0

C．可能等于0     D．可正可负

解析：选B　法一：由f(－x)＝－f(x＋4)，

得f(－x＋2)＝－f(x－2＋4)＝－f(x＋2)，

即f(x＋2)＝－f(－x＋2)，

故函数f(x)的对称中心为M(2,0)．

令x＝－2，得f(2)＝－f(2)，解得f(2)＝0.

又函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，画出函数的大致图象如图所示．

由(x1－2)(x2－2)<0，可得x1－2与x2－2异号，即x1，x2分布在直线x＝2的两侧，不妨设x1<2由x1＋x2<4，可得(x1－2)＋(x2－2)<0，即|x1－2|>|x2－2|，由函数的对称性，可知必有f(x1)＋f(x2)<0.

法二：由f(－x)＝－f(x＋4)可知，f(2＋x)＝－f(2－x)，则函数图象关于点(2,0)中心对称．因为x<2时，f(x)单调递增，所以x>2时，f(x)单调递增．因为x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，设x1<2一、选择题

1．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))的值为(　　)

A．5　　　　　　　　　    B．－5

C.     D．－

解析：选D　∵函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，

∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝f(x)，

即函数f(x)是以4为周期的周期函数．

∵f(1)＝－5，

∴f(f(5))＝f(f(1))＝f(－5)＝f(3)＝＝－.

2．已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．aC．b解析：选C　由f(x)为奇函数，知g(x)＝xf(x)为偶函数．

因为f(x)在R上单调递增，f(0)＝0，

所以当x>0时，f(x)>0，

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(x)>0.

又a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，

20．8<2＝log24所以b3．已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝(　　)

A．0　　　 B．m　　　　C．2m　　　　D．4m

解析：选B　∵f(x)＝f(2－x)，

∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．

又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象关于直线x＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x＝1对称．

当m为偶数时，i＝2×＝m；

当m为奇数时，i＝2×＋1＝m.

4．已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f，则f(6)＝(　　)

A．－2     B．－1

C．0     D．2

解析：选D　由题意知当x>时，

f＝f，则f(x＋1)＝f(x)．

又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，

∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．

又当x<0时，f(x)＝x3－1，

∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.

5．已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2 018)的值为(　　)

A．2 018     B．－2 018

C．0     D．4

解析：选C　依题意得，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，因此函数y＝f(x)是偶函数，且f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(2)＝f(2)＋f(2)，所以f(2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数y＝f(x)是以4为周期的函数，f(2 018)＝f(4×504＋2)＝f(2)＝0.

6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a满足f(2log3a)>f(－)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，)     B．(0，)

C．(，＋∞)     D．(1，)

解析：选B　∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f(－)＝f()，∴f(2log3a)>f()．∵2log3a>0，f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，∴0<2log3a<⇒log3a<⇒07．设函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于直线x＝0及直线x＝1对称，且x∈[0,1]时，f(x)＝x2，则f＝(　　)

A.      B.

C.      D.

解析：选B　法一：∵函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于直线x＝0对称，

∴f(－x)＝f(x)．

∵函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于直线x＝1对称，

∴f(1－x)＝f(1＋x)．

∴f＝f＝f＝f＝f＝2＝.

法二：∵函数y＝f(x)关于直线x＝0对称，则函数f(x)是偶函数，又关于x＝1对称，则f(2－x)＝f(x)，故f＝f＝f＝f＝2＝.

8．定义在R上的函数y＝f(x)，满足f(4－x)＝f(x)，(x－2)·f′(x)＜0，若x1＜x2且x1＋x2＞4，则有(　　)

A．f(x1)＜f(x2)     B．f(x1)＞f(x2)

C．f(x1)＝f(x2)     D．不确定

解析：选B　由f(4－x)＝f(x)，知函数f(x)关于直线x＝2对称．又(x－2)f′(x)＜0，故当x＞2时，函数f(x)单调递减；当x＜2时，函数f(x)单调递增，所以当x＝2时，函数f(x)取得最大值．由x1＜x2且x1＋x2＞4知x1离x＝2更近，故f(x1)＞f(x2)．

9．已知函数y＝f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：

①对任意的x1，x2∈[4,8]，当x1＜x2时，都有＞0恒成立；

②f(x＋4)＝－f(x)；

③y＝f(x＋4)是偶函数．

若a＝f(8)，b＝f(11)，c＝f(2 018)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a＜b＜c     B．b＜c＜a

C．a＜c＜b     D．c＜b＜a

解析：选B　由①知函数f(x)在区间[4,8]上为单调递增函数；由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，所以c＝f(2 018)＝f(252×8＋2)＝f(2)，b＝f(11)＝f(3)；由③可知函数f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以b＝f(3)＝f(5)，c＝f(2)＝f(6)．因为函数f(x)在区间[4,8]上为单调递增函数，所以f(5)＜f(6)＜f(8)，即b＜c＜a.

10．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)

A．f(－25)B．f(80)C．f(11)D．f(－25)解析：选D　因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，

所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．

由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．

因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，

所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，

所以f(－1)即f(－25)11．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cos πx|在－，上的所有实数解之和为(　　)

A．－7     B．－6

C．－3     D．－1

解析：选A　因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数f(x)的周期为2，又当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝|cos πx|的图象如图所示．由图象知关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的实数解有7个．不妨设x112．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝(　　)

A．3     B．2

C．1     D．0

解析：选C　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－2 017)＝－f(2 017)，

因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，

所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)的周期为6.

又当x∈(0,3)时，f(x)＝x＋1，

所以f(2 017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2，

f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3，

故f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋3＝－2＋3＝1.

二、填空题

13．已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且对任意x∈R都有f(x＋3)＝－f(x)，若当x∈时，f(x)＝x，则f(2 018)＝________.

解析：因为对任意x∈R都有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，函数f(x)是周期为6的函数，f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)．由f(x＋3)＝－f(x)可得f(－1＋3)＝－f(－1)＝f(2)，因为函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数，f(－1)＝f(1)＝，所以f(2 018)＝f(2)＝－f(1)＝－.

答案：－

14．已知定义在R上的函数f(x)，对任意的实数x，均有f(x＋3)≤f(x)＋3，f(x＋2)≥f(x)＋2且f(1)＝2，则f(2 017)的值为________．

解析：∵f(x＋3)≤f(x)＋3，f(x＋2)≥f(x)＋2，

∴f(x＋1)＋2≤f(x＋3)≤f(x)＋3，

∴f(x＋1)≤f(x)＋1.

又f(x＋1)＋1≥f(x＋2)≥f(x)＋2，

∴f(x＋1)≥f(x)＋1，∴f(x＋1)＝f(x)＋1，

利用叠加法，得f(2 017)＝2 018.

答案：2 018

15．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当x∈[－3，－1)时，f(x)＝－(x＋2)2，当x∈[－1,3)时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝________.

解析：由题意得f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以数列{f(n)}从第一项起，每连续6项的和为1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝336×1＋f(1)＋f(2)＝339.

答案：339

16．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f＝－f(x)，且函数y＝f为奇函数，给出以下四个命题：

①函数f(x)是周期函数；

②函数f(x)的图象关于点对称；

③函数f(x)为R上的偶函数；

④函数f(x)为R上的单调函数．

其中真命题的序号为________．

解析：f(x＋3)＝fx＋＋＝－f＝f(x)，所以f(x)是周期为3的周期函数，①正确；

函数f是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，则f(x)的图象关于点对称，②正确；

因为f(x)的图象关于点对称，－＝，所以f(－x)＝－f，又f＝－f－＋x＋＝－f(x)，

所以f(－x)＝f(x)，③正确；

f(x)是周期函数，在R上不可能是单调函数，④错误．

故真命题的序号为①②③.

答案：①②③下载本文