文科数学（三）
本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟．
参考公式： 线性回归方程系数：，．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 若集合={1，2 , 3}，若集合，则满足条件的集合有（ ）个
A． B． C. D.
2．函数的定义域是( )
A. B. C. D.
3. 设是定义在上的奇函数，且当时，，则( )
A． B． C． D．
4.等差数列中，若，则等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
5.已知向量=（ ）
A． B. C. D .
6．直线在轴和轴上的截距相等，则的值是
A． B． C． 或 D．或
7. 设变量满足约束条件，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8. “”是 “”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9. 若一个底面边长为，侧棱为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
10. 设S是至少含有两个元素的集合. 在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b∈S,对于有序元素对(a,b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）。若对于任意的a,b∈S,有a*( b * a)=b，则对任意的a,b∈S,下列等式中不能成立的是( )
A. ( a * b) * a =a B . [ a*( b * a)] * ( a*b)=a
C. b*( b * b)=b D. ( a*b) * [ b*( a * b)] =b
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，
每小题5分，满分20分。
（一）必做题（1113题）
11.复数的虚部为__________.
12. 如果执行右面的程序框图，那么输出的_________
13. 某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取
一个容量为4的样本，已知座位号分别为6，30，42
的同学都在样本中，那么样本中还有一位同
学的座位号应该是 ．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14.（几何证明选讲选做题）如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，，圆的半径为，则圆心到的距离为 ．
15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则______ _．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16. (本小题满分12分）已知向量, ,且 ，A为锐角. （Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求函数的值域.
17.（本小题满分12分）
某种产品的广告费支出与销售额(单位：万元）之间有如下对应数据:
| 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | |
| 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
（参考数据： ）
（Ⅲ）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？
18．(本小题满分14分)如图，在直角梯形中，，， 平面，，．
（Ⅰ）求证:平面平面；
（Ⅱ）设的中点为，且,试求出四棱锥的体积
19. （本小题满分14分）甲、乙两人玩一种游戏；在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5，6六个球的口袋中，甲先模出一个球，记下编号，放回后乙再模一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢。
（1）求甲赢且编号和为8的事件发生的概率；
（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由。
20. （本小题满分14分）
已知直线与椭圆相交于、两点，是线段上的一点，，且点M在直线上,（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦点关于直线的对称点在单位圆上，求椭圆的方程。
21.（本小题满分14分）
已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．
（）求，，，； （）求数列的前项和；
（Ⅲ）记，
，
求证：．
参
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | C | D | C | C | B | D | D | B | D | A |
1. 由集合,则是的子集,则满足条件的有个 ，选C
2. 由，则，则，选D
3. 因为函数是奇函数，当时，，则，选C
4. 由，根据等差数列的下脚标公式，则，选 C
5.由化简
，则,选B
6. 直线在轴和轴上的截距相等，若直线过原点，则；若不过原点，则，故选D
7. 利用线性规划作出平面区域后，表示区域上的点与原点连线的斜率，代入点符合题意，故选D
8.由，则，但不能说明是正数，则不是充分条件。而能得到，故选B.
9.球的半径为，则球的体积. 选D.
10. 解：用b代替题目给定的运算式中的a同时用a代替题目给定的运算式中的b，不难知道B是正确的;用b代替题目给定的运算式中的a又可以导出选项C的结论，而用代替题目给定的运算式中的a我们也能得到D是正确的. 选A
二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
11．
12.
13.
14．
15．
填空题参:
11.解:,故虚部为.
12.解:
13. 根据各数之间的间隔相等，易知该数是18，过程略
14.由切割线定理:则
15.直线为，曲线为，即.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16. （本小题满分12分）
本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.
已知向量, ,且，A为锐角. （Ⅰ）求角的大小；
解：（Ⅰ）由题意得………2分
………4分
由为锐角得,
………6分
（Ⅱ）求函数的值域.
由（Ⅰ）可得………7分
所以
………9分
因为，则，
当时，有最大值.
当时，)有最小值，………11分
故所求函数的值域是.………12分
17. （本小题满分12分）
某种产品的广告费支出与销售额(单位：万元）之间有如下对应数据:
| 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | |
| 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
解 （Ⅰ）根据表中所列数据可得散点图如下：
………………3分
（Ⅱ）求回归直线方程；
（参考数据： ）
解：，……… …4分
又已知
于是可得：……………………………6分
………………8分
因此，所求回归直线方程为： . ……………………………9分
（Ⅲ）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？
解: 根据上面求得的回归直线方程，
当广告费支出为10万元时，
(万元)
即这种产品的销售收入大约为82. 5万元. ……………12分
18. （本小题满分14分）
如图，在直角梯形中，，，
平面，，．
（Ⅰ）求证:平面平面
证明：
又平面平面，
.………………2分
平面. …………………………………4分
又平面，
平面平面 ……………………………6分
（Ⅱ）设的中点为，且,试求出四棱锥的体积
解: 连结
又为中点,
……………… 8分
由条件，,
,又,
则,………10分
由（1）可知, , ,则,
……………… 12分
由平面几何知识，则是等腰直角三角形，
则 ，……… 13分
故.……… 14分
19. （本小题满分14分）
甲、乙两人玩一种游戏；在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5，6六个球的口袋中，甲先模出一个球，记下编号，放回后乙再模一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢。
（1）求甲赢且编号和为8的事件发生的概率；
解：（1）设“两个编号和为8”为事件A,
则事件A包含的基本事件为（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5个，又甲、乙两人取出的数字共有6×6＝36（个）等可能的结果，
故------------6分
（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由。
解: 这种游戏规则是公平的。----------------------------7分
设甲胜为事件B,乙胜为事件C，
则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有18个：(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6) ……… 11分
所以甲胜的概率,
乙胜的概率＝------------------------13分
所以这种游戏规则是公平的.----------------------------14分
20. （本小题满分14分）
已知直线与椭圆相交于、两点，是线段上的一点，，且点M在直线上,
（1）求椭圆的离心率；
解：设、两点的坐标分别为
（ I）由知是的中点，………………1分
由 得：…………………4分
……………5分
点的坐标为
又点的直线上：
……………6分
……7分
（2）若椭圆的焦点关于直线的对称点在单位圆上，求椭圆的方程。
解: 由（1）知，不妨设椭圆的一个焦点坐标为
，设关于直线 的对称点为， ………………8分
则有
解得：………………11分
由已知，
，………………13分
.………13分
所求的椭圆的方程为………………14分
21. （本小题满分14分）
已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．
（）求，，，；
解：方程的两个根为
，，……………2分
当时，，所以；
当时，，，所以；
当时，，，所以；
当时，，，所以．……………4分
（）求数列的前项和；
（II）解：
………5分．……………7分
（Ⅲ）记，
，
求证：．
证明：，
所以， ……………8分
． …………………………9分
当时，
，
， …………………………11分
同时，
． ………………………13分
综上，当时，．……………14分下载本文
