学校________    班级________    姓名________    成绩________

一、单选题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．下列图形中，不是轴对称图形的是( )

A． ． ． ．

2．下列算式中，运算结果为负数的是(  )

A．﹣(﹣2)  B．|﹣2|    C．﹣22    D．(﹣2)2

3．华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为(    )

A．  B．   C．  D．     

4．下列运算正确的是( )

A．      B．(-a2b3)3= -a5b6

C．(-a-b)2=a2+2ab+b2     D．

5．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是( )

A． ． ． ．

6．不等式组的整数解有( )

A．4 个   B．3 个    C．2个    D．1个

7．下列命题是真命题的是(　　)

A．若a＜b，则|a|＜|b|     B．两直线平行，同旁内角相等

C．1的平方根等于它本身    D．任意多边形的外角和为360°

8．《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：”今有牛五、羊二，直金十两;牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何?”译文：”假设有5头牛，2只羊，值金10两;2头牛，5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两?”若设每头牛、每只羊分别值金x两、y两，则可列方程组为(　　)

A． ． ． ．

9．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为(  )

A．20°   B．30°    C．35°    D．40°

10．在70周年国庆阅兵式上有两辆阅兵车的车牌号如图所示(每辆阅兵车的车牌号含7位数字或字母)，则”9”这个数字在这两辆车牌号中出现的概率为( )

A．   B．    C．    D．

11．若关于x的一元一次不等式组的解集是xa，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为( )

A．0   B．1    C．4    D．6

12．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：

①四边形CFHE是菱形;②EC平分∠DCH;③线段BF的取值范围为3≤BF≤4;④当点H与点A重合时，EF=2．以上结论中，你认为正确的有( )个．

A．1   B．2    C．3    D．4

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中的横线上.

13．在实数范围内分解因式：-1+9a4=___________．

14．若方程的根为正数，则k的取值范围是___________．

15．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为20°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为___________米．

16．廊桥是我国古老的文化遗产如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是___________米精确到1米

17．如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y＝x，点O1的坐标为(1，0)，以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4;…按此做法进行下去，其中的长___________．

18．下列一组方程：①，②，③，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解第①个方程的解为;第②个方程的解为;第③个方程的解为.若n为正整数，且关于x的方程的一个解是，则n的值等于___________．

三、解答题：本大题共7小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

19．(9分)计算：．

20．(10分)2018年东营市教育局在全市中小学开展了”情系疏勒书香援疆”捐书活动，200多所学校的师生踊跃参与，向疏勒县中小学共捐赠爱心图书28.5万余本．某学校学生社团对本校九年级学生所捐图书进行统计，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．请你根据统计图表中所提供的信息解答下列问题：

(2)统计表中的a=　 　，b=　 　，c=　 　，d=　 　;

(3)若该校共捐书1500本，请估计”科普图书”和”小说”一共多少本;

(4)该社团3名成员各捐书1本，分别是1本”名人传记”，1本”科普图书”，1本”小说”，要从这3人中任选2人为受赠者写一份自己所捐图书的简介，请用列表法或树状图求选出的2人恰好1人捐”名人传记”，1人捐”科普图书”的概率．

21．(11分)一个小球沿着足够长的光滑斜面向上滚动，它的速度与时间满足一次函数关系，其部分数据如下表：

(1) 求小球的速度v与时间t的关系.

(2)小球在运动过程中，离出发点的距离S与v的关系满足 ，求S与t的关系式，并求出小球经过多长时间距离出发点32m?

(3)求时间为多少时小球离出发点最远，最远距离为多少?

22．(12分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF．

(1)若∠ADC=80°，求∠ECF;

(2)求证：∠ECF=∠CEF．

23．(12分)如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1：0.75，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米，求旗杆AB的高度约为多少?(保留一位小数，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6)

24．(12分)如图，在Rt△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．

(1)求证：BC是⊙O的切线;

(2)若⊙O的半径是2cm，E是弧AD的中点，求阴影部分的面积(结果保留π和根号)

25．(12分)抛物线经过点O(0，0)与点A(4，0)，顶点为点P，且最小值为-2．

(1)求抛物线的表达式;

(2)过点O作PA的平行线交抛物线对称轴于点M，交抛物线于另一点N，求ON的长;

(3)抛物线上是否存在一个点E，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，使得△EFO∽△AMN，若存在，试求出点E的坐标;若不存在请说明理由．

答案与解析

三、单选题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．下列图形中，不是轴对称图形的是( )

A． ． ． ．

【答案】A

【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解析】A、不是轴对称图形，故本选项符合题意;

B、是轴对称图形，故本选项不符合题意;

C、是轴对称图形，故本选项不符合题意;

D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．

故选：A．

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿着对称轴折叠后可重合．

2．下列算式中，运算结果为负数的是(  )

A．﹣(﹣2)  B．|﹣2|    C．﹣22    D．(﹣2)2

【答案】C

【分析】根据相反数、绝对值、乘方的定义逐项分析即可.

【解析】A.﹣(﹣2)=2，为正;

B. |﹣2|=2，为正;

C.﹣22＝﹣4，为负;

D.(﹣2)2＝4，为正.

故选C.

【点睛】本题考查了相反数、绝对值、乘方的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键.

3．华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为(    )

A．  B．   C．  D．     

【答案】D

【分析】由科学记数法知;

【解析】;

故选：D．

【点睛】本题考查科学记数法;熟练掌握科学记数法中与的意义是解题的关键．

4．下列运算正确的是( )

A．      B．(-a2b3)3= -a5b6

C．(-a-b)2=a2+2ab+b2     D．

【答案】C

【分析】根据合并同类项法则、积的乘方、完全平方公式、同底数幂除法、负整数指数幂即可求出答案．

【解析】A：左式=右式，故A运算错误，

B：左式=右式，故B运算错误，

C：左式=右式，故C运算正确，

D：左式=右式，故D运算错误．

故选：C．

【点睛】本题考查合并同类项、积的乘方、完全平方公式、同底数幂除法，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．

5．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是( )

A． ． ． ．

【答案】C

【解析】A、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0;而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．

B、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0;而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．

C、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0;而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴x=﹣位于y轴的右侧，故符合题意，

D、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0;而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．

故选C．

6．不等式组的整数解有( )

A．4 个   B．3 个    C．2个    D．1个

【答案】B

【分析】先解出不等式组的解集，然后再把所有符合条件的整数解列举出来即可.

【解析】解得，

解得，

∴不等式的解集为：，

整数解有1、2、3共3个，

故选：B.

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的的解法，先分别求出各不等式的解集，注意化系数为1时，如果两边同时除以一个负数，不等号的方向要改变;再求各个不等式解集的公共部分，必要时，可用数轴来求公共解集.

7．下列命题是真命题的是(　　)

A．若a＜b，则|a|＜|b|     B．两直线平行，同旁内角相等

C．1的平方根等于它本身    D．任意多边形的外角和为360°

【答案】D

【分析】根据所学的公理以及定理，平方根的应用对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数．

【解析】A、错误．比如a＝﹣3，b＝1，a＜b，则|a|＞|b|．

B、错误．应该是两直线平行同旁内角互补．

C、错误，应该是1的平方根是±1．

D、正确．

故选：D．

【点睛】本题考查了真假命题的判断,解答关键是根据相关知识对命题进行判断.

8．《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：”今有牛五、羊二，直金十两;牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何?”译文：”假设有5头牛，2只羊，值金10两;2头牛，5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两?”若设每头牛、每只羊分别值金x两、y两，则可列方程组为(　　)

A． ． ． ．

【答案】A

【分析】每头牛、每只羊分别值金x两、y两，根据”5头牛，2只羊，值金10两;2头牛，5只羊，值金8两”列出方程组即可得答案.

【解析】由题意可得，

，

故选A．

【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找准等量关系列出相应的方程组．

9．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为(  )

A．20°   B．30°    C．35°    D．40°

【答案】B

【分析】先根据全等三角形的性质得∠ACB＝∠A′CB′，两边减去∠A′CB即可得到∠ACA′＝∠BCB′＝30°．

【解析】∵△ACB≌△A′CB′，

∴∠ACB＝∠A′CB′，

∴∠ACB－∠A′CB＝∠A′CB′－∠A′CB，

即∠ACA′＝∠B′CB，

又∵∠B′CB＝30°

∴∠ACA′＝30°．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质．

10．在70周年国庆阅兵式上有两辆阅兵车的车牌号如图所示(每辆阅兵车的车牌号含7位数字或字母)，则”9”这个数字在这两辆车牌号中出现的概率为( )

A．   B．    C．    D．

【答案】B

【分析】两辆阅兵车的车牌号共含14位数字或字母，其中数字9出现了3次，根据概率公式即可求解.

【解析】两辆阅兵车的车牌号共含14位数字或字母，其中数字9出现了3次，所以”9”这个数字在这两辆车牌号中出现的概率为.

故选：B.

【点睛】本题考查了概率的计算，掌握概率计算公式是解题关键.

11．若关于x的一元一次不等式组的解集是xa，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为( )

A．0   B．1    C．4    D．6

【答案】B

【分析】先解关于x的一元一次不等式组 ，再根据其解集是x≤a，得a小于5;再解分式方程，根据其有非负整数解，同时考虑增根的情况，得出a的值，再求和即可.

【解析】由不等式组，解得： ，∵解集是x≤a，∴a<5;

由关于的分式方程 得得2y-a+y-4=y-1， 

又∵非负整数解，∴a≥-3，且a=-3，a=-1(舍，此时分式方程为增根)，a=1，a=3它们的和为1.

故选：B.

【点睛】本题综合考查了含参一元一次不等式，含参分式方程的问题，需要考虑的因素较多，属于易错题.

12．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：

①四边形CFHE是菱形;②EC平分∠DCH;③线段BF的取值范围为3≤BF≤4;④当点H与点A重合时，EF=2．以上结论中，你认为正确的有( )个．

A．1   B．2    C．3    D．4

【答案】C

【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确;根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，判断出②错误;点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出BF=4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确;过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．

【解析】 ∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，

∴FH∥CG，EH∥CF，

∴四边形CFHE是平行四边形，

由翻折的性质得，CF=FH，

∴四边形CFHE是菱形，(故①正确);

∴∠BCH=∠ECH，

∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，(故②错误);

点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8-x，

在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，

即42+x2=(8-x)2，

解得x=3，

点G与点D重合时，CF=CD=4，

∴BF=4，

∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，(故③正确);

过点F作FM⊥AD于M，

则ME=(8-3)-3=2，

由勾股定理得，

EF=，(故④正确);

综上所述，结论正确的有①③④共3个．

故选C．

【点睛】本题考查翻折变换(折叠问题);勾股定理的应用及菱形的判定与性质．

四、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中的横线上.

13．在实数范围内分解因式：-1+9a4=___________．

【答案】

【分析】连续利用2次平方差公式分解即可．

【解析】.

【点睛】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的基础，注意检查分解要彻底．

14．若方程的根为正数，则k的取值范围是___________．

【答案】k＜-2且k≠-3

【分析】解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据”解是正数”建立不等式、结合分式有意义的条件求出k的取值范围．

【解析】去分母得，3(x+k)=2(x-3)，解得x=-3k-6， 

因为方程是正数根，所以-3k-6＞0， 解得k＜-2， 

因为原式是分式方程， 所以x≠3且x+k≠0，所以k≠-3． 

故k的取值范围是k＜-2且k≠-3， 

故答案为k＜-2且k≠-3．

【点睛】本题考查的是分式方程的解的问题，掌握分式方程的解法、分式有意义的条件是解题的关键．

15．2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，滑雪轨道由AB，BC两部分组成，AB，BC的长度都为200米，一位同学乘滑雪板沿此轨道由A点滑到了C点，若AB与水平面的夹角α为20°，BC与水平面的夹角β为45°，则他下降的高度为___________米．

【答案】210

【分析】过点A作AE⊥BD于点E，过点B作BG⊥CF于点G，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．

【解析】过点A作AE⊥BD于点E，过点B作BG⊥CF于点G，

在Rt△ABE中，∴sinα，∴AE＝AB×sin20°≈68，

在Rt△BCG中，∴sinβ，∴BG＝BC×sin45°≈142，

∴他下降的高度为：AE+BG＝210，

故答案为：210

【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．

16．廊桥是我国古老的文化遗产如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是___________米精确到1米

【答案】 

【解析】由于两盏E、F距离水面都是8m，因而两盏景观灯之间的水平距离就

是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．故有，

即，，．

所以两盏警示灯之间的水平距离为：

17．如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y＝x，点O1的坐标为(1，0)，以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4;…按此做法进行下去，其中的长___________．

【答案】22016π

【分析】连接P1O1，P2O2，P3O3，根据直线l的函数表达式为y＝x易求得PnOn垂直于x轴，可得为圆的周长，再找出圆半径的规律即可得出结果．

【解析】连接P1O1，P2O2，P3O3，P4Q4，…，如图所示：

∵P1是⊙1上的点，∴P1O1＝OO1，

∵直线l解析式为y＝x，∴∠P1OO1＝45°，

∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴，

同理，PnOn垂直于x轴，∴为圆的周长，

∵由题意可得，，，以此类推，∴OOn＝2n﹣1，

∴＝×2π•OOn＝π×2n﹣1＝2n﹣2π，

∴n＝2018时，＝22018﹣2π＝22016π，

故答案为：22016π．

【点睛】本题是规律题，考查一次函数图像的性质，根据直线y＝x的图像是一三象限的角平分线揭露特殊情况的规律是解题关键．

18．下列一组方程：①，②，③，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解第①个方程的解为;第②个方程的解为;第③个方程的解为.若n为正整数，且关于x的方程的一个解是，则n的值等于___________．

【答案】n的值是10或9．

【分析】根据已知分式方程的变化规律求出该方程的解，再利用已知解题方法得出方程的解．

【解析】由①=1+2得x=1或x=2;

由②=2+3得x=2或x=3;

由③=3+4得x=3或x=4，

可得第n个方程为：x+=2n+1，解得：x=n或x=n+1，

将变形，(x+3)+=2n+1，

∴x+3=n或x+3=n+1，∴方程的解是x=n-3，或x=n-2，

当n-3=7时，n=10，当n-2=7时，n=9，

∴n的值是10或9．

【点睛】此题主要考查了分式方程的解，利用已知得出分式方程的解与其形式的规律是解题关键．

三、解答题：本大题共7小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

19．(9分)计算：．

【答案】．

【分析】原式利用乘方的意义、绝对值的代数意义及特殊三角函数值计算即可求解．

【解析】(﹣1)2018+|1﹣|﹣2sin45°=1+2﹣1﹣2×= .

【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握乘方的意义、绝对值的代数意义、特殊三角函数值及运算法则．

20．(10分)2018年东营市教育局在全市中小学开展了”情系疏勒书香援疆”捐书活动，200多所学校的师生踊跃参与，向疏勒县中小学共捐赠爱心图书28.5万余本．某学校学生社团对本校九年级学生所捐图书进行统计，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．请你根据统计图表中所提供的信息解答下列问题：

(2)统计表中的a=　 　，b=　 　，c=　 　，d=　 　;

(3)若该校共捐书1500本，请估计”科普图书”和”小说”一共多少本;

(4)该社团3名成员各捐书1本，分别是1本”名人传记”，1本”科普图书”，1本”小说”，要从这3人中任选2人为受赠者写一份自己所捐图书的简介，请用列表法或树状图求选出的2人恰好1人捐”名人传记”，1人捐”科普图书”的概率．

【答案】(1)该校九年级共捐书500本;(2)0.35、150、0.22、0.13;(3)估计”科普图书”和”小说”一共780本;(4)所求的概率为

【分析】(1)根据名人传记的圆心角求得其人数所占百分比，再用名人传记的人数除以所得百分比可得总人数;

(2)根据频率=频数÷总数分别求解可得;

(3)用总人数乘以样本中科普图书和小说的频率之和可得;

(4)列表得出所有等可能结果，从中找到恰好1人捐”名人传记”，1人捐”科普图书”的结果数，利用概率公式求解可得．

【解析】(1)该校九年级共捐书：175÷＝500(本);

(2)a=175÷500=0.35、b=500×0.3=150、c=110÷500=0.22、d=65÷500=0.13，

(3)估计”科普图书”和”小说”一共1500×(0.3+0.22)=780(本);

(4)分别用”1、2、3”代表”名人传记”、”科普图书”、”小说”三本书，可用列表法表示如下：

所以所求的概率：P＝．

【点睛】本题考查了列表法和树状图法求概率，频数分布直方图，扇形统计图，正确的识图是解题的关键．

21．(11分)一个小球沿着足够长的光滑斜面向上滚动，它的速度与时间满足一次函数关系，其部分数据如下表：

(1) 求小球的速度v与时间t的关系.

(2)小球在运动过程中，离出发点的距离S与v的关系满足 ，求S与t的关系式，并求出小球经过多长时间距离出发点32m?

(3)求时间为多少时小球离出发点最远，最远距离为多少?

【答案】(1)v=-4t+20;(2)小球经过2s距离出发点32m;(3)当时间为5s时小球离出发点最远，最远距离为50m．

【分析】(1)直接运用待定系数法即可;

(2)将中的用第(1)问中求得的式子来做等量代换，化简可得到S与t的关系式，令S=32时，得到关于t的方程，解出即可;

(3)将S与t的关系式化成顶点式，即可求出S的最大值与相应的时间.

【解析】(1)设v=kt+b，将(2,12)，(3,8)代入得：

，解得 ，所以v=-4t+20  

(2)

∴当时，，

∵当时，∴，

答：小球经过2s距离出发点32m. 

(3)∵，

∴当t=5时，v=0，m 

答：当时间为5s时小球离出发点最远，最远距离为50m.

【点睛】本题考查了一次函数、一元二次方程、二次函数的应用，掌握好用待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解法，二次函数的最值求法是解题的基础，注意解决实际问题，不能忘记检验.

22．(12分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF．

(1)若∠ADC=80°，求∠ECF;

(2)求证：∠ECF=∠CEF．

【答案】(1)∠ECF=40°;(2)证明见解析．

【分析】(1)根据AD∥BC，AD=BC=2AB，可证得四边形ABCD是平行四边形，根据F是AD的中点，可得AF=FD=CD，根据三角形内角和定理求得∠DFC=∠DCF=(180°﹣80°)=50°，根据CE⊥AB，可得∠DCE=90°，继而求解;

(2)延长EF，交CD延长线于M，易知∠A=∠MDF，求证△AEF≌△DMF，继而可得FE=MF，∠AEF=∠M，再根据CE⊥AB，求得∠AEC=∠ECD=90°，根据等腰直角三角形性质可知，FC=EM=FE，进而求证结论．

【解析】(1)∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．

∵F是AD的中点，∴AF=FD．

∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，

∴∠DFC=∠DCF=(180°﹣80°)=50°．

∵CE⊥AB，∴CE⊥CD，

∴∠DCE=90°，∴∠ECF=90°－50°＝40°;

(2)如图，延长EF，交CD延长线于M．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF．

∵F为AD中点，∴AF=FD，

在△AEF和△DFM中，，

∴△AEF≌△DMF(ASA)，∴FE=MF，∠AEF=∠M．

∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，

∵FM=EF，∴FC=EM=FE，

∴∠ECF=∠CEF．

【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键灵活运用这些判定方法和性质．

23．(12分)如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1：0.75，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米，求旗杆AB的高度约为多少?(保留一位小数，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6)

【答案】旗杆AB的高度约为13.1米．

【分析】如图，延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt△CJD中求出CJ、DJ，再根据tan∠AEM＝构造方程即可解答．

【解析】如图，延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．

在Rt△CJD中， ==，

设CJ=4k，DJ=3k，则有9k2+16k2=4，∴k=，

∴BM=CJ=，BC=MJ=1，DJ=，EM=MJ+DJ+DE=，

在Rt△AEM中，tan∠AEM=，∴1.6=，解得：AB≈13.1．

故旗杆AB的高度约为13.1米．

【点睛】本题考查三角函数的综合运用，解题的关键是从图中提取相关信息，特别是直角三角形的三边关系．

24．(12分)如图，在Rt△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．

(1)求证：BC是⊙O的切线;

(2)若⊙O的半径是2cm，E是弧AD的中点，求阴影部分的面积(结果保留π和根号)

【答案】(1)证明见解析  (2)

【分析】(1)连接OD，只要证明OD∥AC即可解决问题;

(2)连接OE，OE交AD于K．只要证明△AOE是等边三角形即可解决问题．

【解析】(1)连接OD．

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．

∵∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AC，

∴∠ODB=∠C=90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．

(2)连接OE，OE交AD于K．

∵，∴OE⊥AD．

∵∠OAK=∠EAK，AK=AK，∠AKO=∠AKE=90°，

∴△AKO≌△AKE，∴AO=AE=OE，∴△AOE是等边三角形，

∴∠AOE=60°，∴S阴=S扇形OAE﹣S△AOE22．

【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

25．(12分)抛物线经过点O(0，0)与点A(4，0)，顶点为点P，且最小值为-2．

(1)求抛物线的表达式;

(2)过点O作PA的平行线交抛物线对称轴于点M，交抛物线于另一点N，求ON的长;

(3)抛物线上是否存在一个点E，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，使得△EFO∽△AMN，若存在，试求出点E的坐标;若不存在请说明理由．

【答案】(1)抛物线的表达式为，(或);(2);(3)抛物线上存在点E，使得△EFO∽△AMN，这样的点共有2个，分别是(，)和(，)．

【分析】(1)由点O(0，0)与点A(4，0)的纵坐标相等，可知点O、A是抛物线上的一对对称点，所以对称轴为直线x=2，又因为最小值是-2，所以顶点为(2，-2)，利用顶点式即可用待定系数法求解;

(2)设抛物线对称轴交轴于点D、N(,)，先求出=45°，由ON∥PA，依据平行线的性质得到=45°，依据等腰直角三角形两直角边的关系可得到=，解出即可得到点N的坐标，再运用勾股定理求出ON的长度;

(3)先运用勾股定理求出AM和OM，再用ON-OM得MN，运用相似三角形的性质得到EF：FO的值，设E(，)，分点E在第一象限、第二或四象限讨论，依据EF：FO=1

:2列出关于m的方程解出即可.

【解析】(1)∵抛物线经过点O(0，0)与点A(4，0)，∴对称轴为直线x=2，

又∵顶点为点P，且最小值为-2,，∴顶点P(2，-2),

∴设抛物线的表达式为

将O(0，0)坐标代入，解得 

∴抛物线的表达式为，即;

(2)设抛物线对称轴交轴于点D，

∵顶点P坐标为(2，-2)，∴点D坐标为(2，0)

又∵A(4，0)， ∴△ADP是以为直角的等腰直角三角形，=45°

又∵ON∥PA  ，∴=45°

∴若设点N的坐标为(,)则=，解得，

∴点N的坐标为(，)，∴

(3)抛物线上存在一个点E，使得△EFO∽△AMN，理由如下：

连接PO、AM，

∵=45°，=90°,∴，

又∵由点D坐标为(2，0)，得OD=2，∴，

又∵=90°,由A(4，0)，D(2，0)得AD=2，

∴,

同理可得,

∴,

∴AM：MN=： =1：2 

∵△EFO∽△AMN，∴EF：FO=AM：MN=1：2                     

设点E的坐标为(，)(其中)，

①当点E在第一象限时，，解得，此时点E的坐标为(，)，

②当点E在第二象限或第四象限时，，解得，此时点E的坐标为(，)

综上所述，抛物线上存在一个点E，使得△EFO∽△AMN，这样的点共有2个，分别是(，)和(，)．

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了运用待定系数法求解析式，运用勾股定理求线段长度，二次函数中相似的存在性问题，解题的关键是用点的坐标求出线段长度，并根据线段之间的关系，建立方程解出得到点的坐标.下载本文