（本试卷满分：150分，时间：120分钟）
一、选择题（每小题4分，共48分）
1. 具备下列条件的两个三角形可以判定它们全等的是（ ）
A．一边和这边上的高对应相等B．两边和第三边上的高对应相等
C．两边和其中一边的对角对应相等 D．两个直角三角形中的一条直角边、斜边对应相等
2.已知MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是（ ）
A．∠CAD＜∠CBDB．∠CAD=∠CBDC．∠CAD＞∠CBDD．无法判断
3. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（ ）
A．30°B．40°C．45°D．36°
4.下列命题：
①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.
其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）
A.8或10 B.8 C.10 D.6或12
6.如图，已知∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，下列结论：
①EM=FN ②CD=DN ③∠FAN=∠EAM ④△ACN≌△ABM
其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边BC=4cm，则最长边AB的长是（ ）
A.5cm B.6cm C.cm D.8cm
8.如图，已知∠BAC=∠DAE=90°，AB=AD，下列条件能使△ABC≌△ADE的是（ ）
A. ∠E=∠C B.AE=AC C.BC=DE D.ABC三个答案都是
9.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
10.已知一个直角三角形的周长是，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（ ）
A.5 B.2 C. D.1
11.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm
12.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）
A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP
二、填空题（每小题4分，共24分）
13.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC, ∠BAC=50°, ∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点 C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是 .
14.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是___ ___三角形.
15.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC=________°.
16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，则点M到AB的距离是_______.
17.如图，在等边△ABC中，F是AB的中点， FE⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则AE=_________，AE:EC=_________.
18.在△ABC中，AB=4,AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是 .
三、解答题（共78分）
19.如图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合），MD⊥BC，且交∠BAC的平分线于点D，求证：MA=MD.
20 已知：如图，AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F.
求证：△ADF是等腰三角形．
21. 如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E.求证：AD=CE.
22. 如图所示，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在C，D的同侧，若AB=，求BE的长.
23. 如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
24. 如图，在△ABC中，AB=AC，DE是边AB垂直平分线交AB于E，交AC于D，连结BD．
（1）若∠A=40°，求∠DBC的度数．
（2）若△BCD的周长为12cm，△ABC的周长为18cm，求BE的长．
25. 联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.
举例：如图（1），若PA=PB，则点P为△ABC的准外心.
(1)应用：如图（2），CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度数.
(2)探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探PA的长.
26. 如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
说明：（1）CF=EB．
（2）AB=AF+2EB．
27.△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC于E、F．且BE=EO．
（1）说明OF与CF的大小关系；
（2）若BC=12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC的面积．
参
一、选择题
1.D．2.B.3.D.4.B.5.C.6.C.7.D.8.D.9.D.10.B.11.D.12.D.
二、填空题
13.100°；14.直角；15，15°；16.20cm；17.；1:3；18.4:3；
三．解答题
19. 证明：∵MD⊥BC，∠B=90°，∴AD∥MD，∴∠BAD=∠D .
又∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠MAD，∴∠D=∠MAD ，∴MA=MD .
20. ∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵DE⊥BC于点E，∴ ∠FEB=∠FEC=90°．
∴ ∠B+∠EBD=∠C+∠EFC=90°．∴ ∠EFC=∠EDB．
∵ ∠EDB=∠ADF，∴∠EFC=∠ADF．∴△ADF是等腰三角形.
21.∵ AE∥BD，∴ ∠EAC=∠ACB.∵ AB=AC，∴ ∠B=∠ACB.∴ ∠EAC=∠B.
又∵ ∠BAD=∠ACE=90°，∴ △ABD≌△CAE（ASA）.∴ AD=CE.
22. 因为△ABD和△CDE都是等边三角形，
所以AD=BD,CD=DE，∠ADB=∠CDE=60°.
所以∠ADB-∠CDB=∠CDE-∠CDB，
即∠ADC=∠BDE.
在△ADC和△BDE中，因为AD=BD,CD=DE, ∠ADC=∠BDE
所以△ADC≌△BDE，所以AC=BE.
又AC=BC，所以BE=BC.
在等腰直角△ABC中，AB=,所以AC=BC=1，故BE=1.
23. ，BE⊥EC.
证明：∵ ，点D是AC的中点，∴ .
∵ ∠∠45°，∴ ∠∠135°.
∵ ，∴ △EAB≌△EDC.
∴ ∠∠.
∴ ∠∠90°.∴ ⊥.
24.(略)
25. 应用：若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC.
∵ CD为等边三角形的高，∴ AD=BD，∠PCB=30°，
∴ ∠PBD=∠PBC=30°，∴PBN=2PD
∴
∴
与已知PD=AB矛盾，∴ PB≠PC.
若PA=PC，连接PA，同理，可得PA≠PC.
若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，∴ ∠BPD=45°，∴∠APB=90°.
探究：若PB=PC，设PA=x，则x2+32=(4-x)2，∴ x =，即PA=.
若PA=PC，则PA=2.
若PA=PB，由图（2）知，在Rt△PAB中，这种情况不可能.故PA=2或.
26. 证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．
∴CF=EB；
（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD=DE．
在△ADC与△ADE中，
∵
∴△ADC≌△ADE（HL），
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．
27. （1）OF=CF．
理由：∵BE=EO，
∴∠EBO=∠EOB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴∠EBO=∠OBC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴EF∥BC，∴∠FOC=∠OCB=∠OCF，
∴OF=CF；
（2）过点O作OM⊥BC于M，作ON⊥AB于N，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，点O到AB的距离为4cm，
∴ON=OM=4cm，
∴S△OBC=BC•OM=×12×4=24（cm2）．下载本文
