牛顿一拉森方法

ANSYS程序的方程求解器计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。然而，非线性结构的行为不能直接用这样一系列的线性方程表示。需要一系列的带校正的线性近似来求解非线性问题。

逐步递增载荷和平衡迭代

一种近似的非线性救求解是将载荷分成一系列的载荷增量。可以在几个载荷步内或者在一个载步的几个子步内施加载荷增量。在每一个增量的求解完成后，继续进行下一个载荷增量之前程序调整刚度矩阵以反映结构刚度的非线性变化。遗憾的是，纯粹的增量近似不可避免地随着每一个载荷增量积累误差，导种结果最终 失去平衡，如图1所示所示。

                             （a） 纯粹增量式解             （b）全牛顿－拉普森迭代求解

                                     图1    纯粹增量近似与牛顿－拉普森近似的关系

ANSYS程序通过使用牛顿－拉普森平衡迭代克服了这种困难，它迫使在每一个载荷增量的末端解达到平衡收敛（在某个容限范围内）。图1（b）描述了在单自由度非线性分析中牛顿－拉普森平衡迭代的使用。在每次求解前，NR方法估算出残差矢量，这个矢量是回复力（对应于单元应力的载荷）和所加载荷的差值。程序然后使用非平衡载荷进行线性求解，且核查收敛性。如果不满足收敛准则，重新估算非平衡载荷，修改刚度矩阵，获得新解。持续这种迭代过程直到问题收敛。

ANSYS程序提供了一系列命令来增强问题的收敛性，如自适应下降，线性搜索，自动载荷步，及二分等，可被激活来加强问题的收敛性，如果不能得到收敛，那么程序或者继续计算下一个载荷前或者终止（依据你的指示）。

对某些物理意义上不稳定系统的非线性静态分析，如果你仅仅使用NR方法，正切刚度矩阵可能变为降秩短阵，导致严重的收敛问题。这样的情况包括实体从固定表面分离的静态接触分析，结构或者完全崩溃或 者“突然变成”另一个稳定形状的非线性弯曲问题。对这样的情况，你可以激活另外一种迭代方法，弧长方法，来帮助稳定求解。弧长方法导致NR平衡迭代沿一段弧收敛，从而即使当正切刚度矩阵的倾斜为零或负值时，也往往阻止发散。这种迭代方法以图形表示在图2中。

非线性问题（一）

材料特性可是是线性或非线性、各向同性或正交各向异性，常数的或温度相关的。但必须遵循如下规则：

（1）必须定义材料刚度（如弹性模量EX、超弹性系数等）

（2）对于惯性载荷（如重力、加速度等），必须定义材料的质量（如密度DENS）。对于温度载荷，必须定义热膨胀系数APLX。

（3）对于网格密度。原则上网格密度越大，单元越多，结果就更符合实际，但是由于网格密度的提高会引起结构自由度的增大，直接影响求解的耗时，因此建议载应力或应变急剧变化的区域（通常也是用户感兴趣的区域），细分网格。考虑非线性因素时，要有足够的网格来得到非线性效应，例如在高塑性变形梯度区设置较密的网格来保证塑性分析所需的足够积分点密度。

非线性有限元问题与线性有限元问题有很大的不同，主要有以下几个方面：

l         非线性问题的方程是非线性的，因此一般需要进行迭代求解

l         非线性问题不能采用叠加原理

l         非线性问题不一定总有一致解。尽管问题的定义都是正确的，但可能会没有解。

引起非线性的原因很多，大致可以分为3类：

l         几何非线性

l         材料非线性

l         状态非线性

1.       几何非线性：是由位移之间存在的非线性关系引起的。如果结构经受大变形，它变化的几何形状可能会引起结构的非线性响应。

2.       材料非线性：是由应力应变关系引起的。这些非线性关系不能单靠数学得到，而要基于试验数据。非线性材料特性有时可用数学模型模拟。

3.       状态变化（包括接触）：由边界条件或载荷所引起的，许多普通结构标表现出一种与状态相关的非线性行为。接触是一种很普遍的非线性行为，也是状态变化中非线性类型中一个特殊而重要的子集。

非线性问题（二）  

非线性问题的求解

ANSYS程序的方程求解器通过计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。然而，非线性结构的行为不能直接用这样一系列的线性方程表示，需要一系列的带校正的线性来近似求解非线性问题。

1）  增量法：增量方法是一种近似的非线性求解，将载荷分成一系列的载荷增量。可以在几个载荷步内或在一个载荷步的几个子步内施加载荷增量。在每一个增量求解完成后，继续进行下一个载荷增量之前，程序调整刚度矩阵以反映结构刚度的非线性变化。但是纯粹的增量近似不可避免的随着每一个载荷增量积累误差，从而导致解的漂移，而且随着增量数目的增加，这种漂移现象将会越来越严重，最终导致结果失去平衡。

2）  New－Raphson方法：ANSYS程序通过使用New－Raphson平衡迭代克服了这种困难，在每一个载荷增量的末端，它迫使解达到平衡收敛（在某个容限范围内）。在每次求解前，NR方法估算出残差矢量，这个矢量是回复力（对应于单元应力的载荷）和所加载荷的差值。程序然后使用非平衡载荷进行线性求解，且检查收敛性。如果不满足收敛准则，重新估算非平衡载荷，修改刚度矩阵，获得新解。这种迭代过程持续直到问题收敛。ANSYS程序提供了一系列命令来增强问题的收敛性，如自适应下降，线性搜索、自动载荷步及二分等，可被激活来加强问题的收敛性。如果不能得到收敛，那么程序或者继续计算下一个载荷，或者终止（根据用户指示）。

3）  弧长方法：对某些物理意义上不稳定系统的非线性静态分析，如果仅仅使用NR方法，正切刚度矩阵可能变为降秩矩阵，从而导致严重的收敛问题。这样的情况包括实体从固定表面分离的静态接触分析，结构或者完全崩溃或者“突然变成”另一个形状的非线性弯曲问题。这样的情况，可以激活另外一种迭代方法—弧长方法，来帮助稳定求解。弧长方法导致NR平衡迭代沿一段弧收敛。这样，即使当正切刚度矩阵的倾斜为零或负值时，也能组止发散。

非线性问题（三）  

ANSYS非线性求解的组织级别

ANSYS将非线性求解分成三个操作级别：载荷步、子步、平衡迭代

载荷步为作用在给定时间间隔内的一组载荷。子步为载荷步中的时间点，在这些时间点中，求得中间解。两个连续的子步之间的时间差称为时间步长或时间增量。平衡迭代是为了收敛而在给定的时间点进行计算的迭代求解。

子步：当使用多个子步时，需要考虑精度和代价之间的平衡；更多的子步骤（也就是小的时间步）通常导致较好的精度，但以增多的运行时间为代价。ANSYS提供两种方法来控制子步数：

1）  子步数或时间步长：可以通过指定实际的子步数，也可以通过指定的时间步长控制子步数。如果结构在它的整个加载历史期间显示出高级的非线性特点，而且对结构的行为足够了解可以确保得到收敛的解，那么可以自己确定多小的时间步长是必需的，且对所有的载荷步使用这同一时间步。但需要注意，务必允许足够大的平衡迭代数以获得收敛解。

2）  自动时间步长：由ANSYS程序基于结构的特性和系统的响应来调查时间步长。如果结构的行为将从线性到非线性变化，若想要在系统响应的非线性部分期间变化时间步长。在这种情况下，可以激活自动时间步长以便随需要调整时间步长，获得精度和代价之间的良好平衡。同样的，如果对问题是否成功收敛不确定，可通过使用自动时间分步来激活ANSYS程序的二分特点。二分法提供了一种对收敛失败自动矫正的方法。无论何时，只要平衡迭代收敛失败，二分法将把时间步长分为两半，然后从最后收敛的子步自动重启动，如果已二分的时间步再次收敛失败，将再次分割时间步长，然后重启动，这一过程持续，直到获得收敛或到达最小时间步长。

收敛准则：在确定收敛准则时，ANSYS程序提供一系列的选择：可以将收敛检查建立在力、力矩、位移、转动或这些项目的任意组合上。另外，每一个项目可以有不同的收敛容限值。确定收敛准则时要以力为基础的收敛提供了收敛的绝对量度，而以位移为基础的收敛提供了收敛的相对量度。因此，应当使用以力为基础（或以力矩为基础的）收敛容限，如果需要，增加以位移为基础或以转动为基础的收敛检查，但通常不单独使用它们。

笼统的说，同一结构模型进行线性分析和非线性分析的对比，只是在求解前对线性和非线性需要设置不同的求解选项后再求解，查看结果。PlotCtrls只是设置对图形显示的要求选项，plot进一步实现显示图形。相比面单元和体单元，线单元的划分是较为简单的，易控制，没有那么多选择项，考虑的因素大大降低。没有什么映射和自由网格划分一说。下载本文