一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）

1．给出四个数0，，﹣1，其中最小的是（　　）

A．0    B．    C．    D．﹣1

2．下列图形中是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

3．将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（　　）

A．    B．    C．    D．

4．下面是一位同学做的四道题：①2a+3b=5ab；②（3a3）2=6a6；③a6÷a2=a3；④a2•a3=a5，其中做对的一道题的序号是（　　）

A．①    B．②    C．③    D．④

5．今年清明节期间，我市共接待游客48.6万人次，旅游收入218 000 000元．数据218 000 000用科学记数法表示为（　　）

A．2.18×108    B．0.218×109    C．2.2×108    D．2.2×109

6．抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（　　）

A．y=（x+1）2+3    B．y=（x+1）2﹣3    C．y=（x﹣1）2﹣3    D．y=（x﹣1）2+3

7．下列说法属于不可能事件的是（　　）

A．四边形的内角和为360°    B．对角线相等的菱形是正方形

C．内错角相等    D．存在实数x满足x2+1=0

8．如图，A，B，C，D为⊙O上四点，若∠BOD=110°，则∠A的度数是（　　）

A．110°    B．115°    C．120°    D．125°

9．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：

A．（﹣3，﹣3）    B．（﹣2，﹣2）    C．（﹣1，﹣3）    D．（0，﹣6）

10．若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（　　）

A．矩形    B．等腰梯形

C．对角线相等的四边形    D．对角线互相垂直的四边形

11．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（　　）

A．    B．2    C．3    D．2

12．已知：在△ABC中，BC=10，BC边上的高h=5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F．点D为BC上一点，连接DE、DF．设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（　　）

A．    B．    C．    D．

二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）

13．因式分解2x2﹣8xy+8y2=　　　　　　．

14．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是　　　　　　．

15．如图，四边形ABCD为矩形，添加一个条件：　　　　　　，可使它成为正方形．

16．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是　　　　　　．

17．综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC距离为21米的B处，然后沿着射线CB退后到点E，这时恰好在镜子里看到山头A，利用皮尺测量BE=2.1米．若小宇的身高是1.7米，则假山AC的高度为　　　　　　．

18．用半径为2cm的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径是　　　　　　．

三、解答题：（本大题2个小题，每小题6分，共12分）

19．计算：．

20．先化简，再求值：÷（x+1﹣），其中x=3．

四、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）

21．为了解中考体育科目训练情况，长沙市从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次抽样测试的学生人数是　　　　　　；

（2）图1中∠α的度数是　　　　　　，并把图2条形统计图补充完整；

（3）若全市九年级有学生35000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为　　　　　　．

（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．

22．如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．

（1）求证：四边形ADCE是菱形；

（2）若∠B=60°，BC=6，求四边形ADCE的面积．

五、解答题：（本大题2个小题，每小题9分，共18分）

23．某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．

（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？

（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？

24．如图，在△ABC中，CA=CB，以BC为直径的圆⊙O交AC于点G，交AB于点D，过点D作⊙O的切线，交CB的延长线于点E，交AC于点F．

（1）求证：DF⊥AC．

（2）如果⊙O的半径为5，AB=12，求cos∠E．

六、解答题：（本大题2个小题，每小题10分，共20分）

25．定义：若函数y1与y2同时满足下列两个条件：

①两个函数的自变量x，都满足a≤x≤b；

②在自变量范围内对于任意的x1都存在x2，使得x1所对应的函数值y1与x2所对应的函数值y2相等． 我们就称y1与y2这两个函数为“兄弟函数”．

设函数y1=x2﹣2x﹣3，y2=kx﹣1

（1）当k=﹣1时，求出所有使得y1=y2成立的x值；

（2）当1≤x≤3时判断函数y1=与y2=﹣x+5是不是“兄弟函数”，并说明理由；

（3）已知：当﹣1≤x≤2时函数y1=x2﹣2x﹣3与y2=kx﹣1是“兄弟函数”，试求实数k的取值范围？

26．如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；

（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．

2017长沙市中考数学模拟试卷（一）

参与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）

1．给出四个数0，，﹣1，其中最小的是（　　）

A．0    B．    C．    D．﹣1

【考点】实数大小比较．

【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．

【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得

﹣1＜0＜，

∴四个数0，，﹣1，其中最小的是﹣1．

故选：D．

2．下列图形中是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．

【解答】解：A、是轴对称图形，故正确；

B、不是轴对称图形，故错误；

C、不是轴对称图形，故错误；

D、不是轴对称图形，故错误．

故选：A．

3．将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

【解答】解：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线．

故选A．

4．下面是一位同学做的四道题：①2a+3b=5ab；②（3a3）2=6a6；③a6÷a2=a3；④a2•a3=a5，其中做对的一道题的序号是（　　）

A．①    B．②    C．③    D．④

【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】①根据合并同类项，可判断①，

②根据积的乘方，可得答案；

③根据同底数幂的除法，可得答案；

④根据同底数幂的乘法，可得答案．

【解答】解：①不是同类项不能合并，故①错误；

②积的乘方等于乘方的积，故②错误；

③同底数幂的除法底数不变指数相减，故③错误；

④同底数幂的乘法底数不变指数相加，故④正确；

故选：D．

5．今年清明节期间，我市共接待游客48.6万人次，旅游收入218 000 000元．数据218 000 000用科学记数法表示为（　　）

A．2.18×108    B．0.218×109    C．2.2×108    D．2.2×109

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】根据科学记数法的表示方法：a×10n，可得答案．

【解答】解：218 000 000用科学记数法表示为2.18×108，

故选：A．

6．抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（　　）

A．y=（x+1）2+3    B．y=（x+1）2﹣3    C．y=（x﹣1）2﹣3    D．y=（x﹣1）2+3

【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．

【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y=x2向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2；

由“上加下减”的原则可知，抛物线y=（x﹣1）2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=（x﹣1）2+3．

故选D．

7．下列说法属于不可能事件的是（　　）

A．四边形的内角和为360°    B．对角线相等的菱形是正方形

C．内错角相等    D．存在实数x满足x2+1=0

【考点】随机事件．

【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．

【解答】解：四边形的内角和为360°是必然事件，A错误；

对角线相等的菱形是正方形是必然事件，B错误；

内错角相等是随机事件，C错误；

存在实数x满足x2+1=0是不可能事件，

故选：D．

8．如图，A，B，C，D为⊙O上四点，若∠BOD=110°，则∠A的度数是（　　）

A．110°    B．115°    C．120°    D．125°

【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．

【分析】由A，B，C，D为⊙O上四点，若∠BOD=110°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠C的度数，又由圆的内接四边形的性质定理，即可求得答案．

【解答】解：∵A，B，C，D为⊙O上四点，∠BOD=110°，

∴∠C=∠BOD=55°，

∴∠A=180°﹣∠C=125°．

故选D．

9．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：

A．（﹣3，﹣3）    B．（﹣2，﹣2）    C．（﹣1，﹣3）    D．（0，﹣6）

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．

【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，

∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2，

∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．

故选：B．

10．若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（　　）

A．矩形    B．等腰梯形

C．对角线相等的四边形    D．对角线互相垂直的四边形

【考点】中点四边形．

【分析】首先根据题意画出图形，由四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形．

【解答】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，

∴EF=FG=GH=EH，BD=2EF，AC=2FG，

∴BD=AC．

∴原四边形一定是对角线相等的四边形．

故选：C．

11．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（　　）

A．    B．2    C．3    D．2

【考点】正多边形和圆；勾股定理．

【分析】运用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理解决．

【解答】解：∵正六边形的边心距为，

∴OB=，AB=OA，

∵OA2=AB2+OB2，

∴OA2=（OA）2+（）2，

解得OA=2．

故选：B．

12．已知：在△ABC中，BC=10，BC边上的高h=5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F．点D为BC上一点，连接DE、DF．设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】动点问题的函数图象．

【分析】判断出△AEF和△ABC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF，再根据三角形的面积列式表示出S与x的关系式，然后得到大致图象选择即可．

【解答】解：∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴=，

∴EF=•10=10﹣2x，

∴S=（10﹣2x）•x=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，

∴S与x的关系式为S=﹣（x﹣）2+（0＜x＜5），

纵观各选项，只有D选项图象符合．

故选：D．

二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）

13．因式分解2x2﹣8xy+8y2=　2（x﹣2y）2　．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】首先提取公因式2，进而利用完全平方公式分解因式即可．

【解答】解：2x2﹣8xy+8y2

=2（x2﹣4xy+4y2）

=2（x﹣2y）2．

故答案为：2（x﹣2y）2．

14．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是　　．

【考点】圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．

【分析】根据同弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠AED，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出cos∠ABC的值，即为cos∠AED的值．

【解答】解：∵∠AED与∠ABC都对，

∴∠AED=∠ABC，

在Rt△ABC中，AB=2，AC=1，

根据勾股定理得：BC=，

则cos∠AED=cos∠ABC==．

故答案为：

15．如图，四边形ABCD为矩形，添加一个条件：　AB=AD　，可使它成为正方形．

【考点】正方形的判定．

【分析】由四边形ABCD是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形或对角线互相垂直的矩形是正方形，即可求得答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴当AB=AD或AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形．

故答案为：AB=AD．

16．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是　k≤1且k≠0　．

【考点】根的判别式．

【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，

∴△=b2﹣4ac≥0，

即：4﹣4k≥0，

解得：k≤1，

∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0中k≠0，

故答案为：k≤1且k≠0．

17．综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC距离为21米的B处，然后沿着射线CB退后到点E，这时恰好在镜子里看到山头A，利用皮尺测量BE=2.1米．若小宇的身高是1.7米，则假山AC的高度为　17米　．

【考点】相似三角形的应用．

【分析】因为入射光线和反射光线与镜面的夹角相等且人和树均垂直于地面，所以构成两个相似三角形，利用相似比可求出假山AC的高度．

【解答】解：∵DE⊥EC，AC⊥EC，

∴∠DEB=∠ACB=90°，

∵∠DBE=∠ABC

∴△DEB∽△ACB，

∴DE：AC=BE：BC，

又∵DE=1.7米，BE=2.1米，BC=21米，

∴1.7：AC=2.1：21，

∴AC=17米，

故答案为：17米．

18．用半径为2cm的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径是　1cm　．

【考点】圆锥的计算．

【分析】首先求得扇形的弧长，即圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求得半径．

【解答】解：圆锥的底面周长是：2πcm，

设圆锥的底面半径是r，则2πr=2π，

解得：r=1．

故答案是：1cm．

三、解答题：（本大题2个小题，每小题6分，共12分）

19．计算：．

【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用立方根定义计算即可得到结果．

【解答】解：原式=×+4+﹣1﹣4

=．

20．先化简，再求值：÷（x+1﹣），其中x=3．

【考点】分式的化简求值．

【分析】先把括号内通分，再把分子分解因式，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分后得到原式=，再把x=3代入计算即可．

【解答】解：原式=÷

=•

=，

当x=3时，原式==．

四、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）

21．为了解中考体育科目训练情况，长沙市从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次抽样测试的学生人数是　40　；

（2）图1中∠α的度数是　54°　，并把图2条形统计图补充完整；

（3）若全市九年级有学生35000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为　7000　．

（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．

【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．

【分析】（1）由统计图可得：B级学生12人，占30%，即可求得本次抽样测试的学生人数；

（2）由A级6人，可求得A级占的百分数，继而求得∠α的度数；然后由C级占35%，可求得C级的人数，继而补全统计图；

（3）首先求得D级的百分比，继而估算出不及格的人数；

（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小明的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是： =40（人）；

故答案为：40；

（2）根据题意得：∠α=360°×=54°，

C级的人数是：40﹣6﹣12﹣8=14（人），

如图：

（3）根据题意得：

35000×=7000（人），

答：不及格的人数为7000人．

故答案为：7000；

（4）画树状图得：

∵共有12种情况，选中小明的有6种，

∴P（选中小明）==．

22．如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．

（1）求证：四边形ADCE是菱形；

（2）若∠B=60°，BC=6，求四边形ADCE的面积．

【考点】菱形的判定与性质；勾股定理．

【分析】（1）欲证明四边形ADCE是菱形，需先证明四边形ADCE为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；

（2）根据勾股定理得到AC的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE的长度，然后由菱形的面积公式：S=AC•DE进行解答．

【解答】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，

∴四边形DBCE是平行四边形．

∴EC∥DB，且EC=DB．

在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，

∴AD=DB=CD．

∴EC=AD．

∴四边形ADCE是平行四边形．

∴ED∥BC．

∴∠AOD=∠ACB．

∵∠ACB=90°，

∴∠AOD=∠ACB=90°．

∴平行四边形ADCE是菱形；

（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B=60°，BC=6，

∴AD=DB=CD=6．

∴AB=12，由勾股定理得．

∵四边形DBCE是平行四边形，

∴DE=BC=6．

∴．

五、解答题：（本大题2个小题，每小题9分，共18分）

23．某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．

（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？

（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？

【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．

【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据在完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；

（2）设应安排甲队工作y天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．

【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意得：

﹣=4，

解得：x=50，

经检验x=50是原方程的解，

则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），

答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；

（2）设应安排甲队工作y天，根据题意得：

0.4y+×0.25≤8，

解得：y≥10，

答：至少应安排甲队工作10天．

24．如图，在△ABC中，CA=CB，以BC为直径的圆⊙O交AC于点G，交AB于点D，过点D作⊙O的切线，交CB的延长线于点E，交AC于点F．

（1）求证：DF⊥AC．

（2）如果⊙O的半径为5，AB=12，求cos∠E．

【考点】切线的性质．

【分析】（1）首先连接OD，由CA=CB，OB=OD，易证得OD∥AC，又由DF是⊙O的切线，即可证得结论；

（2）首先连接BG，CD，可求得CD的长，然后由AB•CD=2S△ABC=AC•BG，求得BG的长，易证得BG∥EF，即可得cos∠E=cos∠CBG=．

【解答】（1）证明：连接OD，

∵CA=CB，OB=OD，

∴∠A=∠ABC，∠ABC=∠ODB，

∴∠A=∠ODB，

∴OD∥AC，

∵DF是⊙O的切线，

∴OD⊥DF，

∴DF⊥AC．

（2）解：连接BG，CD．

∵BC是直径，

∴∠BDC=90°，

∵CA=CB=10，

∴AD=BD=AB=×12=6，

∴CD==8．

∵AB•CD=2S△ABC=AC•BG，

∴BG==．

∵BG⊥AC，DF⊥AC，

∴BG∥EF．

∴∠E=∠CBG，

∴cos∠E=cos∠CBG==．

六、解答题：（本大题2个小题，每小题10分，共20分）

25．定义：若函数y1与y2同时满足下列两个条件：

①两个函数的自变量x，都满足a≤x≤b；

②在自变量范围内对于任意的x1都存在x2，使得x1所对应的函数值y1与x2所对应的函数值y2相等． 我们就称y1与y2这两个函数为“兄弟函数”．

设函数y1=x2﹣2x﹣3，y2=kx﹣1

（1）当k=﹣1时，求出所有使得y1=y2成立的x值；

（2）当1≤x≤3时判断函数y1=与y2=﹣x+5是不是“兄弟函数”，并说明理由；

（3）已知：当﹣1≤x≤2时函数y1=x2﹣2x﹣3与y2=kx﹣1是“兄弟函数”，试求实数k的取值范围？

【考点】一次函数综合题．

【分析】（1）将k=﹣1代入一次函数，与二次函数联立方程组，求出方程组的解即为x的值；

（2）假设两个函数是兄弟函数，联立方程组，求出x的值，判断x值是否符合相应取值范围，经过判断，两个函数不是兄弟函数；

（3）利用兄弟函数的定义，联立函数解析式，求出x的值，然后将x的值带入x的取值范围，得到一个不等式组，解不等式组即可．

【解答】解：（1）当k=﹣1时，y2=﹣x﹣1，

根据题意得：x2﹣2x﹣3=﹣x﹣1，

解得：x=2或x=﹣1；

∴x的 值为2或﹣1．

（2）不是

若=﹣x+5，

则x2﹣5x+3=0，

解得：x=，

∵3＜＜4

∴4＜＜，＜＜1，

两根均不在1≤x≤3，

∴函数y1=与y2=﹣x+5不是“兄弟函数”．

（3）∵函数y1=x2﹣2x﹣3与y2=kx﹣1是“兄弟函数”，

∴x2﹣2x﹣3=kx﹣1，

整理得：x2﹣（2+k）x﹣2=0，

解得：x=，

∵﹣1≤x≤2时函数y1=x2﹣2x﹣3与y2=kx﹣1是“兄弟函数”，

∴﹣1≤≤2，

解得：k≤﹣3，

或1≤≤2，

解得：k≥﹣1．

∴实数k的取值范围：k≤﹣3或k≥﹣1．

26．如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；

（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，利用勾股定理求出OA的长，结合垂径定理求出OC的长，从而得到C点坐标，进而得到抛物线的解析式；

（2）求出点D的坐标为（﹣，0），根据△AOE∽△DOA，求出∠DAE=90°，判断出直线l与⊙E相切与A．

（3）过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M．设M（m， m+4），P（m，﹣ m2+m﹣4），得到PM=m+4﹣（﹣m2+m﹣4）=m2﹣m+8=（m﹣2）2+，根据△PQM的三个内角固定不变，得到PQ最小=PM最小•sin∠QMP=PM最小•sin∠AEO=×=，从而得到最小距离．

【解答】解：（1）如图1，连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，

在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA===4，

∵OC⊥AB，

∴由垂径定理得，OB=OA=4，

OC=OE+CE=3+5=8，

∴A（0，4），B（0，﹣4），C（8，0），

∵抛物线的顶点为C，

∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣8）2，

将点B的坐标代入上解析的式，得a=﹣4，故a=﹣，

∴y=﹣（x﹣8）2，

∴y=﹣x2+x﹣4为所求抛物线的解析式，

（2）在直线l的解析式y=x+4中，令y=0，得x+4=0，解得x=﹣，

∴点D的坐标为（﹣，0），

当x=0时，y=4，

∴点A在直线l上，

在Rt△AOE和Rt△DOA中，

∵=， =，

∴=，

∵∠AOE=∠DOA=90°，

∴△AOE∽△DOA，

∴∠AEO=∠DAO，

∵∠AEO+∠EAO=90°，

∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°，因此，直线l与⊙E相切与A．

（3）如图2，过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M．

设M（m， m+4），P（m，﹣ m2+m﹣4），则

PM=m+4﹣（﹣m2+m﹣4）=m2﹣m+8=（m﹣2）2+，

当m=2时，PM取得最小值，

此时，P（2，﹣），

对于△PQM，

∵PM⊥x轴，

∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，

又∠PQM=90°，

∴△PQM的三个内角固定不变，

∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，

∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，

PQ最小=PM最小•sin∠QMP=PM最小•sin∠AEO=×=，

∴当抛物线上的动点P的坐标为（2，﹣）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为．

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