一、选择题（本题共12小题，每小题3分共36分）
1．的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 ．2
2．电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．若墙上的三个空洞恰是某个几何体的三视图，则该几何体为（ ）
A． B． C． D．
3．2013年，鄂尔多斯市计划新建、改扩建中小学15所，规划投入资金计10.2亿元．数据“10.2亿”用科学记数法表示为（ ）
A．1.02×107 ．1.02×108 ．1.02×109 ．10.2×108
4．下列汽车标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线a∥b，直线c与a、b相交，∠1=70°，则∠2的大小是（ ）
A．20° ．50° ．70° ．110°
6．一个三角形的周长是36cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是（ ）
A．6cm ．12cm ．18cm ．36cm
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（ ）
A．45° ．50° ．60° ．75°
8．下列说法：
①要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式；
②若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖；
③甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差=0.1， =0.2，则甲组数据比乙组数据稳定；
④“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件．
正确说法的序号是（ ）
A．① ．② ．③ ．④
9．若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴为（ ）
A．直线x=1 ．直线x=﹣2 ．直线x=﹣1 ．直线x=﹣4
10．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ）
A．2 ．8 ． D．2
11．将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=（ ）
A．14 ．15 ．16 ．17
12．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（ ）
A． B． C． D．﹣1
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
13．计算：2a2•a6= ．
14．若x=2是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根，那么a= ．
15．分解因式：2a3b﹣8ab= ．
16．在菱形ABCD中，对角线AC、BD长分别为8cm、6cm，则菱形的面积为 ．
17．下列命题中正确的个数有 个．
①如果单项式3a4by与2axb3cz是同类项，那么x=4，y=3，z=1；
②在反比例函数y=中，y随x的增大而减小；
③要了解一批炮弹的杀伤半径，适合用抽样调查方式；
④从﹣3，﹣2，2，3四个数中任意取两个数分别作为k，b的值，则直线y=kx+b经过第一、二、三象限的概率是．
18．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE=4，则线段BE的长为 ．
三、解答题（本题8个小题，共66分，解答时要写出必要的文字说明、演算步骤或推证过程）
19．计算：2﹣1﹣tan60°+（2016﹣2601）0+|﹣|
20．先化简，再求值：﹣÷（1﹣）．其中m满足一元二次方程m2+（5tan30°）m﹣12cos60°=0．
21．如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）
22．学校为了解学生参加体育活动的情况，对学生“平均每天参加体育活动的时间”进行了随机抽样调查，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答以下问题：
（1）“平均每天参加体育活动的时间”“为0.5～1小时”部分的扇形统计图的圆心角为 度；
（2）本次一共调查了 名学生；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若该校有4000名学生，你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下．
23．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于D，连接OC．
（1）求证：△CDQ是等腰三角形；
（2）如果△CDQ≌△COB，求BP：PO的值．
24．小强家距学校2000米，某天他步行去上学，走到路程的一半时发现忘记带课本，此时离上课时间还有21分钟，于是他立刻步行回家取课本，随后小强爸爸骑电瓶车送他去学校．已知小强爸骑电瓶车送小强到学校比小强步行到学校少用20分钟，且小强爸骑电瓶车的平均速度是小强步行速度的5倍，小强到家取课本与小强爸启动电瓶车等共用4分钟．
（1）求小强步行的平均速度与小强爸的骑车速度；
（2）请你判断小强上学是否迟到，并说明理由．
25．在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A⇒B⇒C向终点C运动，连接DM交AC于点N．
（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN：
①求证：△ABN≌△ADN；
②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求点M到AD的距离及tanα的值．
（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．
26．已知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x2﹣5x+4=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=1．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连接CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．
2016年广西玉林市玉州区中考数学一模试卷
参与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题3分共36分）
1．的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣2 ．2
【考点】相反数．
【专题】常规题型．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答．
【解答】解：的相反数是﹣．
故选A．
【点评】本题主要考查了互为相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．若墙上的三个空洞恰是某个几何体的三视图，则该几何体为（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】看哪个几何体的三视图中有正方形，三角形，及矩形即可．
【解答】解：A、三视图分别为正方形，三角形，矩形，符合题意；
B、三视图分别为三角形，三角形，圆，不符合题意；
C、三视图分别为正方形，正方形，圆，不符合题意；
D、三视图分别为三角形，三角形，矩形及对角线，不符合题意；
故选A．
【点评】考查三视图的相关知识；判断出所给几何体的三视图是解决本题的关键．
3．2013年，鄂尔多斯市计划新建、改扩建中小学15所，规划投入资金计10.2亿元．数据“10.2亿”用科学记数法表示为（ ）
A．1.02×107 ．1.02×108 ．1.02×109 ．10.2×108
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：10.2亿=10 2000 0000=1.02×109．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．下列汽车标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
5．如图，直线a∥b，直线c与a、b相交，∠1=70°，则∠2的大小是（ ）
A．20° ．50° ．70° ．110°
【考点】平行线的性质；对顶角、邻补角．
【分析】首先根据对顶角相等可得∠1=∠3，进而得到∠3=70°，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠2=∠3=70°．
【解答】解：∵∠1=70°，
∴∠3=70°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=70°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握据两直线平行，同位角相等．
6．一个三角形的周长是36cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是（ ）
A．6cm ．12cm ．18cm ．36cm
【考点】三角形中位线定理．
【分析】由三角形的中位线定理可知，以三角形三边中点为顶点的三角形的周长是原三角形周长的一半．
【解答】解：如图，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE=BC，DF=AC，EF=AB，
∵原三角形的周长为36cm，
则新三角形的周长为=18（cm）．
故选C．
【点评】本题考查三角形的中位线，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（ ）
A．45° ．50° ．60° ．75°
【考点】圆内接四边形的性质；平行四边形的性质；圆周角定理．
【分析】设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β，由题意可得，求出β即可解决问题．
【解答】解：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ADC=∠AOC；
∵∠ADC=β，∠AOC=α；而α+β=180°，
∴，
解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，
故选C．
【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
8．下列说法：
①要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式；
②若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖；
③甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差=0.1， =0.2，则甲组数据比乙组数据稳定；
④“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件．
正确说法的序号是（ ）
A．① ．② ．③ ．④
【考点】全面调查与抽样调查；方差；随机事件；概率的意义．
【分析】了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，普查破坏性较强，不合适；根据概率的意义可得②错误；根据方差的意义可得③正确；根据必然事件可得④错误．
【解答】解：①要了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故①错误；
②若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏不一定会中奖，故②错误；
③甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差=0.1， =0.2，则甲组数据比乙组数据稳定，故③正确；
④“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件，说法错误，是随机事件，故④错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了抽样调查、随机事件、方差、概率，关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
9．若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴为（ ）
A．直线x=1 ．直线x=﹣2 ．直线x=﹣1 ．直线x=﹣4
【考点】二次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先将（﹣2，0）代入一次函数解析式y=ax+b，得到﹣2a+b=0，即b=2a，再根据抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=﹣即可求解．
【解答】解：∵一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），
∴﹣2a+b=0，即b=2a，
∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线x=﹣=﹣=﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，难度适中．用到的知识点：
点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式；
二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣．
10．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ）
A．2 ．8 ． D．2
【考点】圆周角定理；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理．
【分析】连结BE，设⊙O的半径为R，由OD⊥AB，根据垂径定理得AC=BC=AB=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R﹣CD=R﹣2，根据勾股定理得到（R﹣2）2+42=R2，解得R=5，则OC=3，由于OC为△ABE的中位线，则BE=2OC=6，再根据圆周角定理得到∠ABE=90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理可计算出CE．
【解答】解：连结BE，设⊙O的半径为R，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=AB=×8=4，
在Rt△AOC中，OA=R，OC=R﹣CD=R﹣2，
∵OC2+AC2=OA2，
∴（R﹣2）2+42=R2，解得R=5，
∴OC=5﹣2=3，
∴BE=2OC=6，
∵AE为直径，
∴∠ABE=90°，
在Rt△BCE中，CE===2．
故选D．
【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
11．将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=（ ）
A．14 ．15 ．16 ．17
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】规律型．
【分析】分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则知第n个图形中小圆的个数为n（n﹣1）+5．据此可以再求得“龟图”中有245个“○”是n的值．
【解答】方法一：
解：第一个图形有：5个○，
第二个图形有：2×1+5=7个○，
第三个图形有：3×2+5=11个○，
第四个图形有：4×3+5=17个○，
由此可得第n个图形有：[n（n﹣1）+5]个○，
则可得方程：[n（n﹣1）+5]=245
解得：n1=16，n2=﹣15（舍去）．
故选：C．
方法二：
设s=an2+bn+c，
∴，
∴，
∴s=n2﹣n+5，
把s=245代入，
∴n2﹣n+5=245，
∴n1=﹣15（舍），n2=16，
∴n=16．
【点评】此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．
12．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（ ）
A． B． C． D．﹣1
【考点】旋转的性质．
【专题】压轴题．
【分析】连接AC1，AO，根据四边形AB1C1D1是正方形，得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°，求出∠DAB1=45°，推出A、D、C1三点共线，在Rt△C1D1A中，由勾股定理求出AC1，进而求出DC1=OD，根据三角形的面积计算即可．
【解答】解：连接AC1，
∵四边形AB1C1D1是正方形，
∴∠C1AB1=×90°=45°=∠AC1B1，
∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，
∴∠B1AB=45°，
∴∠DAB1=90°﹣45°=45°，
∴AC1过D点，即A、D、C1三点共线，
∵正方形ABCD的边长是1，
∴四边形AB1C1D1的边长是1，
在Rt△C1D1A中，由勾股定理得：AC1==，
则DC1=﹣1，
∵∠AC1B1=45°，∠C1DO=90°，
∴∠C1OD=45°=∠DC1O，
∴DC1=OD=﹣1，
∴S△ADO=×OD•AD=，
∴四边形AB1OD的面积是=2×=﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了正方形性质，勾股定理等知识点，主要考查学生运用性质进行计算的能力，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
13．计算：2a2•a6= 2a8 ．
【考点】单项式乘单项式．
【分析】根据单项式乘单项式系数乘系数，同底数的幂相乘，可得答案．
【解答】解：原式=2a8，
故答案为：2a8．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，单项式乘单项式系数乘系数，同底数的幂相乘是解题关键．
14．若x=2是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根，那么a= ﹣8 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】方程的根就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，因而把x=2代入关于x的一元二次方程x2+ax﹣a=0，就可以求出a的值．
【解答】解：把x=2代入x2+2x+a=0，得
22+2×2+a=0，
解得a=﹣8．
故答案是：﹣8．
【点评】考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．本题逆用一元二次方程解的定义易得出a的值．
15．分解因式：2a3b﹣8ab= 2ab（a+2）（a﹣2） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；因式分解．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=2ab（a2﹣4）=2ab（a+2）（a﹣2），
故答案为：2ab（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
16．在菱形ABCD中，对角线AC、BD长分别为8cm、6cm，则菱形的面积为 24cm2 ．
【考点】菱形的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据菱形的对角线的长度即可直接计算菱形ABCD的面积．
【解答】解：∵菱形的对角线长AC、BD的长度分别为8cm、6cm
∴菱形ABCD的面积S=BD•AC=×6×8=24cm2．
故答案为：24cm2．
【点评】本题考查了菱形对角线互相平分的性质，本题中菱形ABCD的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
17．下列命题中正确的个数有 2 个．
①如果单项式3a4by与2axb3cz是同类项，那么x=4，y=3，z=1；
②在反比例函数y=中，y随x的增大而减小；
③要了解一批炮弹的杀伤半径，适合用抽样调查方式；
④从﹣3，﹣2，2，3四个数中任意取两个数分别作为k，b的值，则直线y=kx+b经过第一、二、三象限的概率是．
【考点】命题与定理．
【分析】根据同类项的定义可求出x、y、z的值，从而对①进行判断；根据反比例函数的性质对②进行判断；根据调查方式的特点对③进行判断；利用树状题图展示所有12种等可能的计算数，再根据一次函数的性质找出k、b都大于0的结果数，然后根据概率公式可对④进行判断．
【解答】解：如果单项式3a4by与2axb3cz是同类项，那么x=4，y=3，z=0，所以①错误；
在反比例函数y=中，在每一象限，y随x的增大而减小，所以②错误；
要了解一批炮弹的杀伤半径，适合用抽样调查方式，所以③正确；
从﹣3，﹣2，2，3四个数中任意取两个数分别作为k，b的值，则直线y=kx+b经过第一、二、三象限的概率是，所以④正确．
故答案为2．
【点评】本考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
18．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE=4，则线段BE的长为 2 ．
【考点】正方形的性质；三角形的面积；勾股定理．
【分析】根据正方形面积是△ABE面积的2倍，求出边长，再在RT△BCE中利用勾股定理即可．
【解答】解：设正方形边长为a，
∵S△ABE=18，
∴S正方形ABCD=2S△ABE=36，
∴a2=36，
∵a＞0，
∴a=6，
在RT△BCE中，∵BC=6，CE=4，∠C=90°，
∴BE===2．
故答案为2．
【点评】本题考查正方形的性质、三角形的面积公式、勾股定理等知识，解题是关键是理解正方形面积是△ABE面积的2倍，属于中考常考题型．
三、解答题（本题8个小题，共66分，解答时要写出必要的文字说明、演算步骤或推证过程）
19．计算：2﹣1﹣tan60°+（2016﹣2601）0+|﹣|
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣×+1+=1﹣3+1=﹣1．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．先化简，再求值：﹣÷（1﹣）．其中m满足一元二次方程m2+（5tan30°）m﹣12cos60°=0．
【考点】分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，求出m的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=﹣÷=﹣•=﹣==，
方程m2+（5tan30°）m﹣12cos60°=0，化简得：m2+5m﹣6=0，
解得：m=1（舍去）或m=﹣6，
当m=﹣6时，原式=﹣．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）
【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；垂径定理．
【专题】作图题．
【分析】作∠AOB的角平分线，作MN的垂直平分线，以角平分线与垂直平分线的交点为圆心，以圆心到M点（或N点）的距离为半径作圆．
【解答】解：如图所示．
圆P即为所作的圆．
【点评】本题考查了几何作图，主要利用了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质与角平分线的作法，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质和线段垂直平分线的作法，熟练掌握各性质与基本作图是解题的关键．
22．学校为了解学生参加体育活动的情况，对学生“平均每天参加体育活动的时间”进行了随机抽样调查，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答以下问题：
（1）“平均每天参加体育活动的时间”“为0.5～1小时”部分的扇形统计图的圆心角为 54 度；
（2）本次一共调查了 200 名学生；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）若该校有4000名学生，你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）先求“0.5～1小时”部分的扇形的百分数，再根据百分数×360°求度数；
（2）根据“1～1.5小时”部分的人数÷对应扇形的百分数，得出调查人数；
（3）根据（1）所求调查人数，各部分对应的百分数，分别求“0.5～1小时”，“1.5小时以上”的人数，补充图形；
（4）根据：该校4000名学生×时间在0.5小时以下的百分数，得出结论．
【解答】解：（1）（1﹣50%﹣30%﹣5%）×360°=54°，
（2）100÷50%=200，
（3）（1﹣50%﹣30%﹣5%）×200=30人，30%×200=60人，补充图形如图所示；
（4）4000×5%=200（人）．
故答案为：（1）54，（2）200．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于D，连接OC．
（1）求证：△CDQ是等腰三角形；
（2）如果△CDQ≌△COB，求BP：PO的值．
【考点】切线的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；圆周角定理．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）在Rt△ABC中，∠BAC=60°，所以∠ABC=30°，而OB=OC，则有∠OCB=30°，再结合CD时切线，可求∠BCD=60°，那么∠DCQ可求，即可得出△CDQ是等腰三角形；
（2）可以假设AB=2，则OB=OA=OC=1，利用勾股定理可得BC=；由于△CDQ≌△COB，那么有CB=CQ，即可求出AQ的长；在直角三角形APQ中，利用30°所对的边等于斜边的一半，又可求AP，而OP=AP﹣OA，即可求OP，BP也就可求，从而得出BP：PO的值．
【解答】（1）证明：由已知得∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠Q=30°，∠BCO=∠ABC=30°；
∵CD是⊙O的切线，CO是半径，
∴CD⊥CO，
∴∠DCQ=∠BCO=30°，
∴∠DCQ=∠Q，
故△CDQ是等腰三角形．
（2）解：设⊙O的半径为1，则AB=2，OC=1，BC=．
∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，
∴CQ=BC=．
∴AQ=AC+CQ=1+，
∴AP=AQ=，
∴BP=AB﹣AP=，
∴PO=AP﹣AO=，
∴BP：PO=．
【点评】此题综合考查了等腰三角形的判定和圆周角的性质．
24．小强家距学校2000米，某天他步行去上学，走到路程的一半时发现忘记带课本，此时离上课时间还有21分钟，于是他立刻步行回家取课本，随后小强爸爸骑电瓶车送他去学校．已知小强爸骑电瓶车送小强到学校比小强步行到学校少用20分钟，且小强爸骑电瓶车的平均速度是小强步行速度的5倍，小强到家取课本与小强爸启动电瓶车等共用4分钟．
（1）求小强步行的平均速度与小强爸的骑车速度；
（2）请你判断小强上学是否迟到，并说明理由．
【考点】分式方程的应用．
【分析】（1）设小强步行的平均速度为xm/分钟，骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟，根据题意可得，小强爸骑电瓶车送小强到学校比小强步行到学校少用20分钟，据此列方程求解；
（2）计算出小强从步行回家到骑车回到学校所用的总时间，然后和21进行比较即可．
【解答】解：（1）设小强步行的平均速度为xm/分钟，骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟，
由题意得， =20，
解得：x=80，
经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意，
则5x=80×5=400，
答：小强步行的平均速度为80m/分钟，骑电瓶车的平均速度为400m/分；
（2）由（1）得，小强走回家需要的时间为： =12.5（分钟），
骑车走到学校的时间为： =5，
则走到学校所用的时间为：12.5+5+4=21.5＞21，
答：小强不能按时上学．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
25．在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A⇒B⇒C向终点C运动，连接DM交AC于点N．
（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN：
①求证：△ABN≌△ADN；
②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求点M到AD的距离及tanα的值．
（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；解直角三角形．
【专题】压轴题；动点型．
【分析】（1）①△ABN和△ADN中，不难得出AB=AD，∠DAC=∠CAB，AN是公共边，根据SAS即可判定两三角形全等．
②通过构建直角三角形来求解．作MH⊥DA交DA的延长线于点H．由①可得∠MDA=∠ABN，那么M到AD的距离和∠α就转化到直角三角形MDH和MAH中，然后根据已知条件进行求解即可．
（2）本题要分三种情况即：ND=NA，DN=DA，AN=AD进行讨论．
【解答】解：（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠1=∠2．
又∵AN=AN，
∴△ABN≌△ADN（SAS）．
②作MH⊥DA交DA的延长线于点H．
由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°．
在Rt△AMH中，MH=AM•sin60°=4×sin60°=2．
∴点M到AD的距离为2．
∴AH=2．
∴DH=6+2=8．
在Rt△DMH中，tan∠MDH=，
由①知，∠MDH=∠ABN=α，
∴tanα=；
（2）∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形．
∴∠CAD=45°．
下面分三种情形：
（Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．
此时，点M恰好与点B重合，得x=6；
（Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°．
此时，点M恰好与点C重合，得x=12；
（Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠4，又∠2=∠3，
∴∠3=∠4．
∴CM=CN．
∵AC=6．
∴CM=CN=AC﹣AN=6﹣6．
故x=12﹣CM=12﹣（6﹣6）=18﹣6．
综上所述：当x=6或12或18﹣6时，△ADN是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性质，正方形的性质等知识点，注意本题（2）中要分三种情况进行讨论，不要丢掉任何一种情况．
26．已知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x2﹣5x+4=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=1．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连接CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）解方程x2﹣5x+4=0，求出两根，得到OA，OC的长，即可以得到A，C两点的坐标，已知抛物线的对称轴是x=1，A，B一定关于对称轴对称，因而B的坐标也可以相应求出．
（2）已知A，B，C三点的坐标，根据待定系数法就可以求出函数的解析式．
（3）已知DE∥BC，则得到△AED∽△ACB，AB，AC的长度可以根据第一问求出，AD可以用m表示出来，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出EC的长（用m表示）．△DEC与△ABC的CE，AC边上的高的比，就是△AED和△ACB的相似比，因而EC边上的高也可以用m表示出来，则函数解析式就可求出．
S是否存在最大值，可以转化为求函数的最值问题．根据函数的性质就可以得到．
【解答】解：（1）∵OA、OC的长是x2﹣5x+4=0的根，OA＜OC，
∴OA=1，OC=4，
∵点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴，
∴A（﹣1，0）C（0，﹣4），
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，
∴由对称性可得B点坐标为（3，0），
∴A、B、C三点坐标分别是：A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣4）；
（2）∵点C（0，﹣4）在抛物线y=ax2+bx+c图象上，
∴c=﹣4，
将A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx﹣4，
得，
解之得，
∴所求抛物线解析式为：；
（3）根据题意，BD=m，则AD=4﹣m，
在Rt△OBC中，BC==5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
过点E作EF⊥AB于点F，则sin∠EDF=sin∠CBA=，
∴，
∴EF=DE==4﹣m，
∴S△CDE=S△ADC﹣S△ADE=（4﹣m）×4（4﹣m）（4﹣m）
=m2+2m（0＜m＜4）
∵S=（m﹣2）2+2，a=＜0
∴当m=2时，S有最大值2．
∴点D的坐标为（1，0）．
【点评】本题综合运用了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质，以及求函数的最值．
