一、选择题。（每小题只有一个正确答案）

1．下列方程是一元二次方程的是(   )

A．x2﹣y＝1 ．x2+2x﹣3＝0 ．x2+＝3 ．x﹣5y＝6

2．一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根是x＝1，则k的值为（　　）

A．2 ．﹣2 ．3 ．﹣3

3．不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（　　）

A． ． ． ．

4．已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（　　）

A．0 ．1 ．﹣1 ．2

5．如图，在菱形中，对角线、相交于点，下列结论中不一定成立的是(    )

A． ． ． ．

6．用配方法解方程，原方程应变形为（　）

A． ． ． ．

7．一元二次方程2x2-x+1=0的根的情况是 （ ）

A．两个不相等的实数根 ．两个相等的实数根

C．没有实数根 ．无法判断

8．在一个不透明的空袋子里，放入仅颜色不同的2个红球和1个白球，从中随机摸出1个球后不放回，再从中随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率是（ ）

A．  ．  ．  ．

9．如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的有（　　）

①四边形A2B2C2D2是矩形； 四边形A4B4C4D4是菱形；

③四边形A5B5C5D5的周长是 四边形AnBnCnDn的面积是 ．

A．①② ．②③ ．②③④ ．①②③④

10．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ）

①AC=BD；②AC⊥BD；③AB=BC；④∠BAD=90°．

A．①③ ．②③ ．③④ ．①②③

二、填空题

11．一元二次方程的根是_____．

12．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中．不断重复实验多次后，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.2左右．则据此估计盒子中大约有白球___________个．

13．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为16，则OH的长等于_____．

14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BOC＝120°，AB＝4，则BC的长为_____．

15．如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为xm，列出的方程是_____．（化为一般式）

16．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a2-4a+b，如3⊕5=32-4×3+5，若x⊕1=13，则实数x的值_________________．

三、解答题

17．解方程：x2﹣2x﹣8＝0．

18．解方程：（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0

19．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是6和8，求菱形的边长和面积．

20．某商场将某种商品的售价从原来的每件60元经两次调价后调至每件48.6元

（1）若该商店两次调价的百分比相同，求这个百分比；

（2）调价后，经调查：该商品每月可销售300件，但每件降价1元，即可多销售10件．为了获利4160元，并减少库存，每件应该降价多少元？（设成本价为33.6元）

21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，AC＝2，BC＝3．点E是BC延长线上一点，且CE＝3，连结DE．

（1）求证：四边形ACED为矩形．

（2）连结OE，求OE的长．

22．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，在一次购物中，张华和李红都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”、“现金”四种支付方式中选一种方式进行支付．

(1)张华用“微信”支付的概率是______．

(2)请用画树状图或列表法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．(其中“微信”、“支付宝”、“银行卡”、“现金”分别用字母“A”“B”“C”“D”代替)

23．已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．

（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；

（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？

24．如图，△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，连结CF．

（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形；

（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形．

注：（2）、（3）小题直接填写条件，不需要写出理由．

25．已知，边长为6的正方形ABCO在如图所示的直角坐标系中，点M（t，0）为轴上的一个动点，过A作直线MC的垂线交轴于点N，垂足为点D．

（1）当时，求证：△AON≌△COM；

（2）当时，且D为CM的中点时，求的值

（3）连接MN，设△AMN的面积为S，当S＝时，直接写出t的值．

参

1．B

【详解】

试题解析：根据一元二次方程的定义可以判断选项B的方程是一元二次方程.

故选B.

2．A

【详解】

将代入方程有，解得，故选A

3．D

【分析】

用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可．

【详解】

解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：

第一次  第二次 

开始

∴两次都是红球．

故选D．

【点睛】

考查用树状图或列表法，求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现的结果数，然后用分数表示，同时注意“放回”与“不放回”的区别．

4．B

【分析】

根据题意，将m代入方程，解得关于字母m的一元二次方程即可．

【详解】

m是方程的一个根，

故选：B．

【点睛】

本题考查一元二次方程的根，是基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．

5．D

【分析】

根据菱形的性质即可一一判断

【详解】

解：∵四边形是菱形，

∴，，，

故A、B、C正确，

故选D.

【点睛】

本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．

6．A

【分析】

先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边利用完全公式表示即可．

【详解】

x2-2x=1，

x2-2x+1=2，

（x-1）2=2．

故选A．

【点睛】

此题考查解一元二次方程-配方法，解题关键在于掌握将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．

7．C

【分析】

先计算△=b2-4ac的值，再根据计算结果判断方程根的情况即可．

【详解】

∵△=b 2 -4ac=1-8=-7＜0，

∴一元二次方程2x 2 -x+1=0没有实数根．

故选C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．

8．A

【分析】

先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解．

【详解】

解：将红球标记为红1，红2，画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为2，

所以随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率=．

故选：A．

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．

9．C

【分析】

首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：

①根据矩形的判定与性质作出判断；

②根据菱形的判定与性质作出判断；

③由四边形的周长公式：周长＝边长之和，来计算四边形A5B5C5D5的周长；

④根据四边形AnBn∁nDn的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．

【详解】

解：连接A1C1，B1D1，

①∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，

∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；

∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，

∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；

∵AC丄BD，∴四边形A1B1C1D1是矩形，

∴B1D1＝A1C1（矩形的两条对角线相等）；

∴A2D2＝C2D2＝C2B2＝B2A2（中位线定理），

∴四边形A2B2C2D2是菱形；

故①错误；

②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形； 

∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；

故②正确；

③根据中位线的性质易知，A5B5＝A3B3＝×A1B1＝××AC，B5C5＝B3C3＝×B1C1＝××BD，

∴四边形A5B5C5D5的周长是2×（a+b）＝；

故③正确；

④∵四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，

∴S四边形ABCD＝ab÷2；

由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，

四边形AnBn∁nDn的面积是；

故④正确；

综上所述，②③④正确．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．

10．B

【分析】

菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．

【详解】

解：①▱ABCD中，AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故①错误．

②▱ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故②正确；

③▱ABCD中，AB=BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故③正确；

④▱ABCD中，∠BAD=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故④错误；

故选：B．

【点睛】

此题考查了菱形的判定与矩形的判定定理．此题难度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此题的关键．

11．

【分析】

利用因式分解法把方程化为x-3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可．

【详解】

解：或，

所以．

故答案为．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

12．16

【分析】

设盒子中大约有白球x个，根据黑球有4个，利用黑球数量除以球的总数可得其频率为0.2，据此列方程解题即可．

【详解】

设盒子中大约有白球x个，根据题意得：

解得: 

故答案为：16．

【点睛】

本题考查利用频率估计概率，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

13．2．

【分析】

先根据菱形ABCD的周长为16，求出边长AB，然后根据H为AD边中点，O为BD的中点，可得OH＝AB，即可求解．

【详解】

解：∵菱形ABCD的周长为16，

∴AB＝4，

∵H为AD边中点，O为BD的中点，

∴OH＝AB＝2．

故答案为2．

【点睛】

本题考查了菱形的性质，解答本题的关键掌握菱形四条边都相等，对角线互相垂直且平分的性质以及三角形的中位线，熟练掌握相关知识是解题的关键．

14．4

【分析】

由矩形对角线互相平分的性质，得到是等腰三角形，根据等腰三角形的对边对等角的性质解出的度数，最后根据锐角三角函数解直角三角形即可．

【详解】

在矩形ABCD中，AC=BD

在中，

故答案为：

【点睛】

本题考查矩形对角线的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

15．x2﹣36x+35＝0

【分析】

试验地的面积=矩形耕地的面积-三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积．设道路宽x，可根据此关系列出方程．

【详解】

解：设道路为x米宽，

由题意得：20×32﹣20x×2﹣32x+2x2＝570，

整理得：x2﹣36x+35＝0，

故答案为x2﹣36x+35＝0．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，整体面积=各部分面积之和；剩余面积=原面积-截去的面积．

16．或6．

【分析】

根据新运算的法则，将字母x代替字母a，数字1代替字母b，列式计算关于x的一元二次方程，采用因式分解法解题．

【详解】

a⊕b=a2-4a+b，

故答案为：或6．

【点睛】

本题考查定义新运算，其中涉及因式分解法解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

17．x1＝4，x2＝﹣2．

【分析】

用十字相乘法进行因式分解，或配方法求解可得．

【详解】

十字相乘法：

解：（x﹣4）（x+2）＝0，

x﹣4＝0或x+2＝0，

所以x1＝4，x2＝﹣2．

配方法：

（x-1）2=9

x-1=3或x-1=-3

所以x1＝4，x2＝﹣2．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

18．x1＝x2＝3

【分析】

运用完全平方公式变形后，开方，解对应一元一次方程即可．

【详解】

解：（x+2﹣5）2＝0，

∴x﹣3＝0，

∴x1＝x2＝3；

【点睛】

本题考查解一元二次方程．熟练掌握完全平方公式是解题关键．

19．菱形边长为5，面积为24

【分析】

由菱形对角线互相垂直且平分的性质，解得AO、BO的长，再由勾股定理解得AB的长，最后由菱形的面积公式解题即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8

 ∴AO=AC=3，BO=BD=4，AC⊥BD

∴在Rt△AOB中，由勾股定理得：

AB=

菱形边长为5，面积为24．

【点睛】

本题考查菱形的面积，其中涉及菱形的对角线的性质、勾股定理、菱形面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

20．（1）这个百分比为10%；（2）每件商品再降价2元．

【分析】

（1）设调价百分率为x，根据售价从原来每件60元经两次调价后调至每件48.6元，可列方程求解．

（2）根据给出的条件从而求出多售的件数，从而得到两次调价后，每月可销售该商品数量，再依此列出方程求解即可．

【详解】

解：（1）设这种商品平均降价率是x，依题意得：

60（1﹣x）2＝48.6，

解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）．

答：这个百分比为10%；

（2）设每件商品再降价y元，

根据题意得（48.6﹣33.6﹣y）（300+10y）＝4160

解得：y1＝2，y2＝﹣17（不合题意舍去）．

答：每件商品再降价2元．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．

21．（1）见解析（2）

【分析】

（1）根据平行四边形的性质得到AD＝BC＝3，AD∥BC，得到AD＝CE，推出四边形ACED是平行四边形，由垂直的定义得到∠ACE＝90°，于是得到结论；

（2）根据三角形的中位线定理得到OC＝DE＝AC＝1，由勾股定理即可得到结论．

【详解】

（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC＝3，AD∥BC，

∵CE＝3，

∴AD＝CE，

∴四边形ACED是平行四边形，

∵AC⊥BC，

∴∠ACE＝90°，

∴四边形ACED为矩形；

（2）解：连接OE，如图，

∵BO＝DO，BC＝CE，

∴OC＝DE＝AC＝1，

∵∠ACE＝90°，

∴OE＝．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，结合三角形中位线定理和勾股定理进行求解．

22．(1)；(2).

【分析】

(1)直接利用概率公式求解可得．

(2)首先根据题意列表，然后列表求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【详解】

解：(1)张华用“微信”支付的概率是，

故答案为；

(2)列表如下：

故P(两人恰好选择同一种支付方式)＝．

【点睛】

此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

23．（1）当m为1时，四边形ABCD是菱形，边长是；（2）▱ABCD的周长是5．

【分析】

（1）根据菱形的性质可得出AB＝AD，结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长；

（2）将x＝2代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根AD的长，再根据平行四边形的周长公式即可求出▱ABCD的周长．

【详解】

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD．

又∵AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，

∴△＝（﹣m）2﹣4×（﹣）＝（m﹣1）2＝0，

∴m＝1，

∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．

当m＝1时，原方程为x2﹣x+＝0，即（x﹣）2＝0，

解得：x1＝x2＝，

∴菱形ABCD的边长是．

（2）把x＝2代入原方程，得：4﹣2m+﹣＝0，

解得：m＝．

将m＝代入原方程，得：x2﹣x+1＝0，

∴方程的另一根AD＝1÷2＝，

∴▱ABCD的周长是2×（2+）＝5．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系、根的判别式、平行四边形的性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据菱形的性质结合根的判别式，找出关于m的一元二次方程；（2）根据根与系数的关系结合方程的一根求出方程的另一根．

24．（1）见解析；（2）当△ABC满足∠BAC＝90゜条件时，四边形ADCF是菱形；（3）当△ABC满足AB＝AC且∠BAC＝90゜条件时，四边形ADCF是正方形．

【分析】

（1）由两直线平行，内错角相等，得到∠FAE＝∠EDB，∠AFE＝∠EBD，进而证明△AEF≌△DEB（AAS），再由全等三角形对应边相等性质，解得AF=DB，结合AD是BC边中线，解得AF=DC，最后根据一组对边平行且相等可证明四边形ADCF为平行四边形；

（2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形解题，即当三角形ABC是直角三角形时，斜边中线等于斜边的一半即可判定；

（3）根据有一个直角的菱形是正方形解题，当且时，由三线合一性质，可解题．

【详解】

（1）证明：∵AFBC，

∴∠FAE＝∠EDB，∠AFE＝∠EBD，

在AEF和△DEB中，

，

∴△AEF≌△DEB（AAS），

∴AF＝DB，

又∵BD＝DC，

∴AF＝DC，

又∵AFDC，

∴四边形ADCF为平行四边形．

（2）当△ABC满足∠BAC＝90゜条件时，四边形ADCF是菱形；

AD是斜边BC的中线，

又四边形ADCF是平行四边形

四边形ADCF是菱形；

（3）当△ABC满足AB＝AC且∠BAC＝90゜条件时，四边形ADCF是正方形．

∠BAC＝90゜，AD是BC边的中线，

又四边形ADCF为平行四边形，

∴四边形ADCF为菱形，

∴四边形ADCF为正方形．

【点睛】

本题考查特殊平行四边形的判定与性质，其中涉及平行线的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

25．（1）详见解析；（2）；（3）1

【分析】

（1）根据题意得∠CDN=∠AOC=90°，根据∠CND=∠ANO，推出∠NAO=∠NCD，再结合正方形的性质即可证明△AON≌△COM；

（2）连接AC，根据AD⊥MC，D为CM的中点，得AC=AM，求出AM=AC=，再求出OM=AM-AO=，即可得出t；

（3）分当06时两种情况讨论即可．

【详解】

（1）∵AD⊥MC

∴∠CDN=∠AOC=90°

又∵∠CND=∠ANO

∴∠NAO=∠NCD

又∵正方形ABCO

∴AO=CO，∠AON=∠COM=90°

∴ △AON≌△COM；

（2）连接AC，

∵AD⊥MC，D为CM的中点

∴AC=AM

又∵边长为6

∴AC=

∴AM=AC=

∴OM=AM-AO=

∴；

（3）由(1)可知：当0∴NO=MO，

设NO=MO=t，

∴S△AMN=×AM×NO=×（6+t）×t=

解得：t1=1，t2=-7（舍），

当t>6时，如图②，

，

由题可知：∵∠NDC=90°，

∴∠ANC+∠DCN=90°，

又∵∠OCM+∠OMC=90°，∠DCN=∠OCM，

∴∠ANO=∠OMC，

∴在△ANO与△CMO中，

∴△ANO≌△CMO（AAS），

∴NO=MO，

连接MN，

∴S△AMN=AM·NO，

设MO=t，

∴NO=MO=t，

∴S△AMN=（6+t）×t=，

解得t1=1，t2=-7（舍），

综上：t=1．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．下载本文