一、填空题（每题5分，共70分）
1．若M=[﹣1，3），N=[2，4]，则M∩N= ．
2．不等式（）x＞的解集为 ．
3．函数f（x）=+lg（3﹣2x）的定义域为 ．
4．满足{1}⊆A⊆{1，2，3}的集合A的个数为 ．
5．函数f（x）=x2+2x﹣3，x∈[﹣2，1]，函数f（x）的值域为 ．
6．已知幂函数y=xα的图象过点，则α= ．
7．已知集合A=[1，4]，B=（﹣∞，a），若A⊆∁BB，则实数a的取值范围为 ．
8．已知函数f（x）是偶函数，且当x＞0时，f（x）=x3+x+1，则当x＜0时，f（x）的解析式为 ．
9．不等式lg（x﹣1）＜2的解集为 ．
10．计算： = ．
11．函数f（x）=在R上为单调函数，则a的取值范围为 ．
12．已知函数f（x）=，若f（x）=3，则x= ．
13．已知f（x）=kx+﹣3（k∈R），f（ln6）=1，则f（ln）= ．
14．已知函数f（x）=（）x，g（x）=logx，记函数h（x）=，则不等式h（x）≥的解集为 ．
二、解答题
15．设集合A={x|1≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+1}．
（1）当m=3时，求A∩B与A∩∁RB；
（2）若A∩B=B，求实数m的取值范围．
16．已知a+a﹣1=（a＞1）
（1）求下列各式的值：
（Ⅰ）a+a；
（Ⅱ）a+a；
（2）已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，求loga的值．
17．已知幂函数f（x）=（﹣2m2+m+2）xm+1为偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）﹣2（a﹣1）x+1在区间（2，3）上为单调函数，求实数a的取值范围．
18．经过市场调查，某门市部的一种小商品在过去的20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且日销售量近似满足g（t）=80﹣2t （件），而日销售量价格近似满足函数f（t），且f（t）的图象为如图所示的两线段AB，BC．
（1）直接写出f（t）的解析式
（2）求出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；
（3）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
19．已知函数y=f（x），x∈R，对于任意的x，y∈R，f（x﹣y）=f（x）﹣f（y），当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求证：f（0）=0，且f（x）是奇函数；
（2）求证：y=f（x），x∈R是增函数；
（3）设f（1）=2，求f（x）在x∈[﹣5，5]时的最大值与最小值．
20．设函数f（x）=ax+（k﹣1）a﹣x（a＞且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（1）＞0，试判断函数单调性，并求使不等式f（x2+x）+f（t﹣2x）＞0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=，设g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x），g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣1，求m的值．
2016-2017学年江苏省连云港市灌云县高一（上）期中数学试卷
参与试题解析
一、填空题（每题5分，共70分）
1．若M=[﹣1，3），N=[2，4]，则M∩N= [2，3） ．
【考点】交集及其运算．
【分析】直接利用交集的定义求解即可．
【解答】解：M=[﹣1，3），N=[2，4]，则M∩N=[2，3）．
故答案为：[2，3）．
2．不等式（）x＞的解集为 （﹣∞，） ．
【考点】指、对数不等式的解法．
【分析】把不等式两边化为同底数，然后利用指数式的单调性求解．
【解答】解：由（）x＞，得2﹣x＞，
∴﹣x＞，得x＜．
∴不等式（）x＞的解集为（﹣∞，）．
故答案为：（﹣∞，）．
3．函数f（x）=+lg（3﹣2x）的定义域为 [﹣1，） ．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：∵函数f（x）=+lg（3﹣2x），
∴定义域满足
解得：
所以，函数y的定义域为[﹣1，）．
故答案为[﹣1，）．
4．满足{1}⊆A⊆{1，2，3}的集合A的个数为 4 ．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】集合A满足{1}⊆A⊆{1，2，3}，可知集合A中必须含有元素1，再利用集合之间的包含关系即可得出．
【解答】解：∵集合A满足{1}⊆A⊆{1，2，3}，
∴A={1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．
因此满足条件的集合A的个数是4．
故答案为4．
5．函数f（x）=x2+2x﹣3，x∈[﹣2，1]，函数f（x）的值域为 [﹣4，0] ．
【考点】函数的值域．
【分析】利用配方法与二次函数的图象及性质求解即可．
【解答】解：由题意：函数f（x）=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4．
开口向上，对称轴x=﹣1，
∵x∈[﹣2，1]，
根据二次函数的图象及性质可得：
当x=﹣1时，函数f（x）取得最小值为﹣4；
当x=1时，函数f（x）取得最大值为0；
∴函数f（x）=x2+2x﹣3，x∈[﹣2，1]的值域为[﹣4，0]；
故答案为[﹣4，0]．
6．已知幂函数y=xα的图象过点，则α= ．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】由于幂函数y=xα的图象过点，把此点的坐标代入解得α即可．
【解答】解：∵幂函数y=xα的图象过点，∴，解得．
故答案为．
7．已知集合A=[1，4]，B=（﹣∞，a），若A⊆∁BB，则实数a的取值范围为 （﹣∞，1] ．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】B=（﹣∞，a），考点∁BB=[a，+∞），利用A⊆∁BB，即可得出．
【解答】解：B=（﹣∞，a），∴∁BB=[a，+∞），
∵A⊆∁BB，∴a≤1．
故答案为：（﹣∞，1]．
8．已知函数f（x）是偶函数，且当x＞0时，f（x）=x3+x+1，则当x＜0时，f（x）的解析式为 f（x）=﹣x3﹣x+1 ．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】设x＜0，则﹣x＞0，利用x＞0时，函数的解析式，求出 f（﹣x）的解析式，再利用偶函数的定义求即得x＜0时的解析式．
【解答】解：由题意，设x＜0，则﹣x＞0，
∵x＞0时的解析式为f（x）=x3+x+1，
∴f（﹣x）=﹣x3﹣x+1，
∵f（x）是偶函数，
∴f（x）=﹣x3﹣x+1．
故答案为：f（x）=﹣x3﹣x+1．
9．不等式lg（x﹣1）＜2的解集为 （1，101） ．
【考点】指、对数不等式的解法．
【分析】把不等式两边化为同底数，然后转化为一次不等式求解．
【解答】解：由lg（x﹣1）＜2，得lg（x﹣1）＜lg100，
则0＜x﹣1＜100，
∴1＜x＜101．
则不等式lg（x﹣1）＜2的解集为（1，101）．
故答案为：（1，101）．
10．计算： = 11 ．
【考点】对数的运算性质．
【分析】利用对数的运算性质即可得出．
【解答】解：原式=3+4+
=7+4
=11．
故答案为：11．
11．函数f（x）=在R上为单调函数，则a的取值范围为 a≥3 ．
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．
【解答】解：由题意得：
2+1≤a+，解得：a≥3，
故答案为：a≥3．
12．已知函数f（x）=，若f（x）=3，则x= ﹣2 ．
【考点】分段函数的应用；函数的值．
【分析】由函数f（x）=，分类讨论可得满足条件的x值．
【解答】解：∵函数f（x）=，
当x≤1时，f（x）=|x﹣1|=3，
解得：x=﹣2，或x=4（舍去）；
当x＞1时，f（x）=3x=3，
解得：x=1（舍去）；
综上可得：x=﹣2，
故答案为：﹣2
13．已知f（x）=kx+﹣3（k∈R），f（ln6）=1，则f（ln）= ﹣7 ．
【考点】抽象函数及其应用；函数的值．
【分析】根据已知可得：f（﹣x）+f（x）=﹣6，进而根据ln=﹣ln6，f（ln6）=1，得到答案．
【解答】解：∵f（x）=kx+﹣3，
∴f（﹣x）=﹣kx﹣﹣3，
∴f（﹣x）+f（x）=﹣6
∵ln=﹣ln6，f（ln6）=1，
∴f（ln）=﹣7，
故答案为：﹣7
14．已知函数f（x）=（）x，g（x）=logx，记函数h（x）=，则不等式h（x）≥的解集为 （0，] ．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】确定f（x）与g（x）的图象交点的横坐标的范围，作出函数h（x）的图象，即可得到结论．
【解答】解：记f（x）与g（x）的图象交点的横坐标为x=x0，
∴f（）=＜1=log=g（），
∴x0∈（，1）．
由于f（x）与g（x）均为减函数，
∴h（x）为减函数，
∵h（x）≥，
∴x≥=（）1，
∴x＜1，
∵logx≥=log=log，
∴0＜x≤，
综上所述不等式的解集为（0，]，
故答案为：（0，]
二、解答题
15．设集合A={x|1≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+1}．
（1）当m=3时，求A∩B与A∩∁RB；
（2）若A∩B=B，求实数m的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．
【分析】（1）m=3时，B={x|3≤x≤4}．利用交集的运算性质即可得出A∩B．利用补集的运算性质可得∁RB=（﹣∞，3）∪（4，+∞），即可得出A∩∁RB．
（2）A∩B=B，考点B⊆A．考点，解得m范围．
【解答】解：（1）m=3时，B={x|3≤x≤4}．A∩B=[3，4]．
∁RB=（﹣∞，3）∪（4，+∞）；
A∩∁RB=[1，3）．
（2）∵A∩B=B，∴B⊆A．
∴，解得1≤m≤3．
∴实数m的取值范围是[1，3]．
16．已知a+a﹣1=（a＞1）
（1）求下列各式的值：
（Ⅰ）a+a；
（Ⅱ）a+a；
（2）已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，求loga的值．
【考点】有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．
【分析】（1）求出a的值，根据基本不等式的性质求值即可；（2）求出x=4y，根据对数的运算性质计算即可．
【解答】解：（1）由a+a﹣1=，得：2a2﹣5a+2=0，
∵a＞1，∴a=2，
∴（Ⅰ）+=+=，
（Ⅱ）+=（+）（a﹣1+a﹣1）=（﹣1）=；
（2）由已知，
解得：x=4y，
loga=log2=﹣2．
17．已知幂函数f（x）=（﹣2m2+m+2）xm+1为偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）﹣2（a﹣1）x+1在区间（2，3）上为单调函数，求实数a的取值范围．
【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．
【分析】（1）根据幂函数的性质即可求f（x）的解析式；
（2）根据函数y=f（x）﹣2（a﹣1）x+1在区间（2，3）上为单调函数，利用二次函数对称轴和区间之间的关系即可，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由f（x）为幂函数知﹣2m2+m+2=1，
即2m2﹣m﹣1=0，
得m=1或m=﹣，
当m=1时，f（x）=x2，符合题意；
当m=﹣时，f（x）=，为非奇非偶函数，不合题意，舍去．
∴f（x）=x2．
（2）由（1）得y=f（x）﹣2（a﹣1）x+1=x2﹣2（a﹣1）x+1，
即函数的对称轴为x=a﹣1，
由题意知函数在（2，3）上为单调函数，
∴对称轴a﹣1≤2或a﹣1≥3，
即a≤3或a≥4．
18．经过市场调查，某门市部的一种小商品在过去的20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且日销售量近似满足g（t）=80﹣2t （件），而日销售量价格近似满足函数f（t），且f（t）的图象为如图所示的两线段AB，BC．
（1）直接写出f（t）的解析式
（2）求出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；
（3）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
【考点】分段函数的应用．
【分析】（1）日销售额=销售量×价格，根据条件写成分段函数即可；
（2）分别求出函数在各段的最大值、最小值，取其中最小者为最小值，最大者为最大值；
【解答】解：（1）f（t）=
（2）y=
（2）当1≤t＜10时，可得t=1时ymin=1209；t=5时ymax=1225…
当10≤t≤20时，可得t=10时ymax=1200；t=20时ymin=600…
因此，该商品在第5天可取得日销售额y的最大值1225元；
第20天，日销售额y取得最小值600元…
19．已知函数y=f（x），x∈R，对于任意的x，y∈R，f（x﹣y）=f（x）﹣f（y），当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求证：f（0）=0，且f（x）是奇函数；
（2）求证：y=f（x），x∈R是增函数；
（3）设f（1）=2，求f（x）在x∈[﹣5，5]时的最大值与最小值．
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】（1）令x=y=0，解得f（0）=0．令x=0，可得f（﹣y）=﹣f（y），可得函数f（x）是奇函数．
（2）设x1，x2∈R，x1＜x2，则x2﹣x1＞0，可得当x＞0时，f（x）＞0．f（x2﹣x2）=f（x2）﹣f（x1）＞0即可证明．
（3）由（2）可知：f（x）在x∈[﹣5，5]时是增函数，因此最大值与最小值分别为f（5），f（﹣5）．由f（1）=2，可得f（2）=f（1）+f（2﹣1）=2f（1），同理可得f（4）=2f（2）．可得f（5）=f（1）+f（5﹣1），f（﹣5）=﹣f（5）．
【解答】（1）证明：令x=y=0，则f（0﹣0）=f（0）﹣f（0），∴f（0）=0．
令x=0，则f（﹣y）=f（0）﹣f（y）=﹣f（y），∴函数f（x）是奇函数．
（2）证明：设x1，x2∈R，x1＜x2，则x2﹣x1＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞0．∴f（x2﹣x2）=f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1），
∴y=f（x），x∈R是增函数．
（3）解：由（2）可知：f（x）在x∈[﹣5，5]时是增函数，
因此最大值与最小值分别为f（5），f（﹣5）．
∵f（1）=2，∴f（2）=f（1）+f（2﹣1）=2f（1）=4，f（4）=2f（2）=8．
f（5）=f（1）+f（5﹣1）=2+8=10．
∴f（﹣5）=﹣f（5）=﹣10．
∴f（x）在x∈[﹣5，5]时的最大值与最小值分别为10，﹣10．
20．设函数f（x）=ax+（k﹣1）a﹣x（a＞且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（1）＞0，试判断函数单调性，并求使不等式f（x2+x）+f（t﹣2x）＞0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=，设g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x），g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣1，求m的值．
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【分析】（1）根据f（x）为定义在R上的奇函数便有f（0）=0，从而可以求出k=0；
（2）先得出f（x）=ax﹣a﹣x，根据f（1）＞0便可得出a＞1，从而判断出f（x）为增函数，从而由原不等式可得x2﹣x+t＞0恒成立，这便有△=1﹣4t＜0，这样便可得出t的取值范围；
（3）由f（1）=便可求出a=2，从而可以得到g（x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2，可设t=f（x）=2x﹣2﹣x，可令h（t）=（t﹣m）2+2﹣m2，该二次函数的对称轴为t=m，讨论m：时，t=m时，h（t）取到最小值2﹣m2=﹣1，这样便可求出m=；m时，t=时，h（t）取到最小值，得到m=，不满足m，从而便得到m的值只有一个为．
【解答】解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数；
∴f（0）=0；
∴k=0；
（2）f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0，且a≠1）；
由f（1）＞0得；
∴a＞1；
∴ax单调递增，a﹣x单调递减；
故f（x）在R上单调递增；
∵f（﹣x）=﹣f（x）；
∴不等式化为f（x2+x）＞f（2x﹣t）；
∴x2+x＞2x﹣t；
∴x2﹣x+t＞0恒成立；
∴△=1﹣4t＜0；
∴t的取值范围为；
（3）∵f（1）=，∴；
即2a2﹣3a﹣2=0；
∴a=2，或a=（舍去）；
∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2；
令t=f（x）=2x﹣2﹣x，
由（2）可知f（x）=2x﹣2﹣x为增函数；
∵x≥1，∴t≥f（1）=；
令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2（t≥）
①若m≥，当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣1，∴m=，∴m=；
②若m＜，当t=时，h（t）min=﹣3m=﹣1，解得m=，舍去；
综上可知m=．
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