一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）

1．在以下绿色食品，永洁环保，节能，绿色环保四个标志中，是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

2．计算4a÷2a的结果是（　　）

A．2    B．20    C．8a    D．8a2

3．四边形的内角和为（　　）

A．90°    B．180°    C．360°    D．720°

4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）

A．3，4，7    B．3，4，8    C．3，3，5    D．3，3，7

5．运用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2计算（x+）2，则公式中的2ab是（　　）

A．x    B．x    C．2x    D．4x

6．若AD是△ABC的高线，则下列结论中，一定正确的是（　　）

A．∠BAD+∠CAD＝90°    B．AD⊥AB    

C．AB⊥AC    D．∠ADC＝∠ADB

7．已知m，n是整数，a≠0，b≠0，则下列各式中，能表示“幂的乘方法则”的是（　　）

A．anam＝am+n    B．（am）n＝amn    C．a0＝1    D．（ab）n＝bn

8．若a＝20180，b＝2016×2018﹣20172，，则a，b，c的大小关系正确的是（　　）

A．a＜b＜c    B．a＜c＜b    C．b＜a＜c    D．c＜b＜a

9．运用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）对整式4m2n2﹣1进行因式分解时，公式中的a可以是（　　）

A．4m2n2    B．﹣2m2n2    C．2mn    D．4mn

10．如图，点D在线段BC上，若BC＝DE，AC＝DC，AB＝EC，且∠ACE＝180°﹣∠ABC﹣2x°，则下列角中，大小为x°的角是（　　）

A．∠EFC    B．∠ABC    C．∠FDC    D．∠DFC

二、填空题（本大题共6小题，第11题、12题每空2分，其余每空4分，共28分）

11．计算：

（1）a2•a3＝　   　．

（2）＝　   　．

（3）（a+3）（a﹣3）＝　   　．

（4）（a﹣2）2＝　   　．

12．因式分解：

（1）a2﹣4＝　   　．

（2）x2+2x+1＝　   　．

13．六边形的外角和的度数是 　   　．

14．如图，CE是△ABC外角的平分线，且AB∥CE，若∠ACB＝36°，则∠A等于 　   　度．

15．若x2+8x+n是完全平方式，则n的值为 　   　．

16．已知下列等式：（1）32﹣12＝8，（2）52﹣32＝16，（3）72﹣52＝24，…根据以上式子的规律，写出第n个式子：　   　．

三、解答题（本大题共9小题，共82分）

17．计算：

（1）2a•（3a2+4ab）；

（2）（y+2）（y﹣2）+（2y﹣4）（y+3）．

18．因式分解：

（1）8m2n+2mn；

（2）2a2x2+4a2xy+2a2y2．

19．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AB∥DE．

求证：BE＝CF．

20．（1）先化简，再求值：（3a+1）（3a﹣1）﹣9a（a﹣1），其中a＝2．

（2）解方程：（2x+4）（3x﹣4）＝6（x﹣2）2．

21．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AD＝4，BD平分∠ABC，若△ABD的面积为9，求AB的长．

22．利用判定两个三角形全等的方法，证明命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

23．如图，已知锐角∠APB，点M是边PB上一点，设∠APB＝α．

（1）尺规作图：在边PA上作点N，使得∠ANM＝2α；（提示：利用三角形的外角，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若边PA上存在点Q，使得∠QMB＝3α，

①求∠PQM的大小（用α表示）；

②直接写出α的取值范围．

24．如图，已知CF是△ABC的外角∠ACE的角平分线，D为CF上一点，且DA＝DB．

（1）利用尺规作图找到点D，连接AD、BD；

（2）求证：∠ACB＝∠ADB；

（3）求证：AC+BC＜2BD．

25．如图①所示是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．

（1）图②中的阴影部分的正方形的边长等于 　   　．（用m、n表示）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积．

方法①　   　；方法②　   　．

观察图②，请写出（m+n）2、（m﹣n）2、mn这三个代数式之间的等量关系：　   　．

（2）若a+b＝6，ab＝5，则求a﹣b的值．

【类比探究】利用面积关系，研究方程

提出问题：怎样图解一元二次方程x2+2x﹣35＝0（x＞0）？

几何建模：

1．将原方程变形为：x（x+2）＝35．

2．如图，画四个长为x+2，宽为x的长方形．

3．分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2）2或四个长x+2，宽x的长方形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积．

即（x+x+2）2＝4x（x+2）+22

∵x（x+2）＝35

∴（x+x+2）2＝4×35+22

∴（2x+2）2＝144

∵x＞0

∴x＝5

（3）求关于x的一元一次方程x（x+b）＝c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤．（画图，并注明相关线段的长）

参

一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）

1．在以下绿色食品，永洁环保，节能，绿色环保四个标志中，是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】根据轴对称图形的概念判断．

解：A、是轴对称图形；

B、不是轴对称图形；

C、不是轴对称图形；

D、不是轴对称图形．

故选：A．

2．计算4a÷2a的结果是（　　）

A．2    B．20    C．8a    D．8a2

【分析】单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式，据此计算即可．

解：4a÷2a＝（4÷2）•（a÷a）＝2．

故选：A．

3．四边形的内角和为（　　）

A．90°    B．180°    C．360°    D．720°

【分析】根据多边形内角和公式：（n﹣2）•180°（n≥3）且n为整数）进行计算即可．

解：四边形的内角和为180°（4﹣2）＝360°，

故选：C．

4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）

A．3，4，7    B．3，4，8    C．3，3，5    D．3，3，7

【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．

解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得

A、3+4＝7，不能组成三角形；

B、3+4＜8，不能组成三角形；

C、3+3＞5，能够组成三角形；

D、3+3＜7，不能组成三角形．

故选：C．

5．运用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2计算（x+）2，则公式中的2ab是（　　）

A．x    B．x    C．2x    D．4x

【分析】利用完全平方公式计算（x+）2即可得到答案．

解：（x+）2＝x2+2x×+＝x2+x+，所以公式中的2ab是x．

故选：B．

6．若AD是△ABC的高线，则下列结论中，一定正确的是（　　）

A．∠BAD+∠CAD＝90°    B．AD⊥AB    

C．AB⊥AC    D．∠ADC＝∠ADB

【分析】根据三角形的高的定义得出即可．

解：

∵AD是△ABC的高线，

∴∠ADC＝∠ADB＝90°，

根据AD是△ABC的高线不能推出∠BAD+∠CAD＝90°，不能推出⊥AB，不能推出AB⊥AC，

即只有选项D符合题意，

故选：D．

7．已知m，n是整数，a≠0，b≠0，则下列各式中，能表示“幂的乘方法则”的是（　　）

A．anam＝am+n    B．（am）n＝amn    C．a0＝1    D．（ab）n＝bn

【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，零指数幂，积的乘方运算法则进行分析判断．

解：A、原式表示同底数幂的乘法，故此选项不符合题意；

B、原式表示幂的乘方，故此选项符合题意；

C、原式表示零指数幂，故此选项不符合题意；

D、原式表示积的乘方，故此选项不符合题意；

故选：B．

8．若a＝20180，b＝2016×2018﹣20172，，则a，b，c的大小关系正确的是（　　）

A．a＜b＜c    B．a＜c＜b    C．b＜a＜c    D．c＜b＜a

【分析】先计算a、b、c的值并比较，再得结论．

解：∵a＝20180＝1，

b＝2016×2018﹣20172

＝（2017﹣1）（2017+1）﹣20172

＝20172﹣1﹣20172

＝﹣1，

＝（﹣）2017×（）2017×

＝（﹣）2017×

＝（﹣1）2017×

＝﹣．

∵﹣＜﹣1＜1，

∴c＜b＜a

故选：D．

9．运用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）对整式4m2n2﹣1进行因式分解时，公式中的a可以是（　　）

A．4m2n2    B．﹣2m2n2    C．2mn    D．4mn

【分析】根据平方差公式将4m2n2﹣1进行因式分解，进而确定公式中的a 所表示的代数式即可．

解：4m2n2﹣1＝（2mn）2﹣12＝（2mn+1）（2mn﹣1），

因此公式中的a表示2mn，

故选：C．

10．如图，点D在线段BC上，若BC＝DE，AC＝DC，AB＝EC，且∠ACE＝180°﹣∠ABC﹣2x°，则下列角中，大小为x°的角是（　　）

A．∠EFC    B．∠ABC    C．∠FDC    D．∠DFC

【分析】根据SSS证明△ABC≌△CED，可得∠EDC＝∠ACB，∠ABC＝∠DEC，∠FDC＝∠FCD，由∠DFC＝∠DEC+∠ACE可得结论．

解：∵BC＝DE，AC＝DC，AB＝EC，

∴△ABC≌△CED（SSS），

∴∠EDC＝∠BCA，∠ABC＝∠DEC，∠FDC＝∠FCD，

∵∠ACE＝180°﹣∠ABC﹣2x°，

∴∠ACE+∠ABC＝180°﹣2x°，

∵∠DFC＝∠DEC+∠ACE，

∴∠DFC＝180°﹣2x°，

∵∠DFC+∠FDC+∠FCD＝180°，

∴∠FDC＝x°．

故选：C．

二、填空题（本大题共6小题，第11题、12题每空2分，其余每空4分，共28分）

11．计算：

（1）a2•a3＝　a5　．

（2）＝　7　．

（3）（a+3）（a﹣3）＝　a2﹣9　．

（4）（a﹣2）2＝　a2﹣4a+4　．

【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算．

（2）根据算术平方根的定义计算．

（3）用平方差公式计算．

（4）用完全平方差公式计算．

解：（1）原式＝a2+3＝a5．

故答案为：a5．

（2）原式＝7．

故答案为：7．

（3）原式＝a2﹣32＝a2﹣9．

故答案为：a2﹣9．

（4）原式＝a2﹣4a+4．

故答案为：a2﹣4a+4．

12．因式分解：

（1）a2﹣4＝　（a+2）（a﹣2）　．

（2）x2+2x+1＝　（x+1）2　．

【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可；

（2）利用完全平方公式进行因式分解即可．

解：（1）a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．

故答案为：（a+2）（a﹣2）；

（2）x2+2x+1＝（x+1）2．

故答案为：（x+1）2．

13．六边形的外角和的度数是 　360°　．

【分析】根据多边形外角和定理可得答案．

解：凸多边形的外角和为360°，

故答案为：360°．

14．如图，CE是△ABC外角的平分线，且AB∥CE，若∠ACB＝36°，则∠A等于 　72　度．

【分析】根据平行线的性质和角平分线的定答即可．

解：∵∠ACB＝36°，

∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣36°＝144°，

∵CE是△ABC外角的平分线，

∴∠ACE＝，

∵AB∥CE，

∴∠A＝∠ACE＝72°，

故答案为：72．

15．若x2+8x+n是完全平方式，则n的值为 　16　．

【分析】根据完全平方式的特征求n．

解：∵x2+8x+16＝（x+4）2．

∴若x2+8x+n是完全平方式，则：n＝16．

故答案为：16

16．已知下列等式：（1）32﹣12＝8，（2）52﹣32＝16，（3）72﹣52＝24，…根据以上式子的规律，写出第n个式子：　8n　．

【分析】根据所给的等式进行分析，再总结出规律即可．

解：∵（1）32﹣12＝8＝8×1，

（2）52﹣32＝16＝8×2，

（3）72﹣52＝24＝8×3，

…，

∴第n个式子为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n．

故答案为：8n．

三、解答题（本大题共9小题，共82分）

17．计算：

（1）2a•（3a2+4ab）；

（2）（y+2）（y﹣2）+（2y﹣4）（y+3）．

【分析】（1）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算；

（2）利用平方差公式和多项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后合并同类项进行化简．

解：（1）原式＝2a•3a2+2a•4ab

＝6a3+8a2b；

（2）原式＝y2﹣4+2y2+6y﹣4y﹣12

＝3y2+2y﹣16．

18．因式分解：

（1）8m2n+2mn；

（2）2a2x2+4a2xy+2a2y2．

【分析】（1）用提取公因式法因式分解；

（2）用提取公因式法因式分解，再利用完全平方公式因式分解．

解：（1）8m2n+2mn

＝2mn（4m+1）；

（2）2a2x2+4a2xy+2a2y2

＝2a2（x2+2xy+y2）

＝2a2（x+y）2．

19．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AB∥DE．

求证：BE＝CF．

【分析】利用平行线的性质推知∠ABC＝∠DEF，由ASA证得△ABC≌△DEF，得出BC＝EF，即可得出结论．

【解答】证明：∵AB∥DE，

∴∠ABC＝∠DEF，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（ASA），

∴BC＝EF，

∴BE＝CF

20．（1）先化简，再求值：（3a+1）（3a﹣1）﹣9a（a﹣1），其中a＝2．

（2）解方程：（2x+4）（3x﹣4）＝6（x﹣2）2．

【分析】（1）先利用平方差公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后合并同类项进行化简，最后代入求值；

（2）先根据完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则计算乘方和乘法，然后按照去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤解方程．

解：（1）原式＝9a2﹣1﹣9a2+9a

＝9a﹣1，

当a＝2时，

原式＝9×2﹣1

＝18﹣1

＝17；

（2）（2x+4）（3x﹣4）＝6（x﹣2）2，

6x2﹣8x+12x﹣16＝6（x2﹣4x+4），

6x2﹣8x+12x﹣16＝6x2﹣24x+24，

6x2﹣8x+12x﹣6x2+24x＝16+24，

28x＝40，

x＝．

21．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AD＝4，BD平分∠ABC，若△ABD的面积为9，求AB的长．

【分析】作DE⊥AB于E，可得DE＝CE＝2，进而根据三角形面积公式求得AB．

解：如图，

作DE⊥AB于E，

∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，

∴DE＝CD＝AC﹣AD＝6﹣4＝2，

∵S△ABD＝＝9，

∴＝9，

∴AB＝9．

22．利用判定两个三角形全等的方法，证明命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

【分析】利用SAS定理证明△PCA≌△PCB，根据全等三角形的性质证明结论．

解：已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．

求证：PA＝PB．

证明：∵MN⊥AB，

∴∠PCA＝∠PCB＝90°，

在△PCA和△PCB中，

，

∴△PCA≌△PCB（SAS），

∴PA＝PB．

即线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

23．如图，已知锐角∠APB，点M是边PB上一点，设∠APB＝α．

（1）尺规作图：在边PA上作点N，使得∠ANM＝2α；（提示：利用三角形的外角，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若边PA上存在点Q，使得∠QMB＝3α，

①求∠PQM的大小（用α表示）；

②直接写出α的取值范围．

【分析】（1）根据题意作出线段PM的垂直平分线即可；

（2）①利用等腰三角形的性质求解即可；

②构建不等式，可得结论．

解：（1）如图，∠ANM即为所求．

（2）①∵NP＝NM，

∴∠NPM＝∠NMP＝α，

∴∠ANM＝∠NPM+∠NMP＝2α，

∵MN＝MQ，

∴∠MNQ＝∠MQN＝2α，

∴∠PQM＝2α．

②当点Q与点P重合时，α＝60°，

∵∠QMB＝3α，

∴0°＜3α≤180°，

∴0°＜α≤60°

∴α的取值范围是0°＜α≤60°．

24．如图，已知CF是△ABC的外角∠ACE的角平分线，D为CF上一点，且DA＝DB．

（1）利用尺规作图找到点D，连接AD、BD；

（2）求证：∠ACB＝∠ADB；

（3）求证：AC+BC＜2BD．

【分析】（1）作线段AB的垂直平分线与CF的交点即为D点，即可解答；

（2）过点D分别作AC，CE的垂线，垂足分别为M，N，证明Rt△DAM≌Rt△DBN，得出∠DAM＝∠DBN，则结论得证；

（3）证明Rt△DMC≌Rt△DNC，可得CM＝CN，得出AC+BC＝2BN，又BN＜BD，则结论得证．

【解答】（1）解：如图所示：分别以A，B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两者交于M，N，连接MN并延长与CF交于D，连接AD，BD，即为所求：

（2）证明：如图所示，过点D作DG⊥BE于G，DH⊥AC于H，设AC与BD交点为O，

∴∠AHD＝∠BGD＝90°，

∵CF是∠ACE的角平分线，DG⊥BE，DH⊥AC，

∴DH＝DG，

在Rt△DHA与Rt△DGB中，

，

∴Rt△DHA≌Rt△DGB（HL），

∴∠DAH＝∠DBG，

∵∠AOD＝∠BOC，

∴∠ACB＝∠ADB；

（3）由（1）知DH＝DG，

在Rt△DHC和Rt△DGC中，

，

∴Rt△DHC≌Rt△DGC（HL），

∴CH＝CG，

∴AC+BC＝AH+CH+BC＝AH+CG+BC＝AH+BG，

又∵AH＝BG，

∴AC+BC＝2BG，

∵BG＜BD，

∴AC+BC＜2BD．

25．如图①所示是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．

（1）图②中的阴影部分的正方形的边长等于 　m﹣n　．（用m、n表示）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积．

方法①　（m﹣n）2　；方法②　（m+n）2﹣4mn　．

观察图②，请写出（m+n）2、（m﹣n）2、mn这三个代数式之间的等量关系：　（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn　．

（2）若a+b＝6，ab＝5，则求a﹣b的值．

【类比探究】利用面积关系，研究方程

提出问题：怎样图解一元二次方程x2+2x﹣35＝0（x＞0）？

几何建模：

1．将原方程变形为：x（x+2）＝35．

2．如图，画四个长为x+2，宽为x的长方形．

3．分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2）2或四个长x+2，宽x的长方形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积．

即（x+x+2）2＝4x（x+2）+22

∵x（x+2）＝35

∴（x+x+2）2＝4×35+22

∴（2x+2）2＝144

∵x＞0

∴x＝5

（3）求关于x的一元一次方程x（x+b）＝c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤．（画图，并注明相关线段的长）

【分析】（1）根据拼图，得出各条边之间的关系即可；

（2）由（1）的结论，代入计算即可；

（3）根据题目中提供的方法画出相应的图形，表示各个部分的面积进而得出答案．

解：（1）每个小长方形的长为m，宽为n，由图②拼图可知，

阴影部分是边长为（m﹣n）的正方形，

用两种方法表示阴影部分的面积为：

方法①，是边长为（m﹣n）的正方形，因此面积为（m﹣n）2；

方法②，边长为（m+n）的正方形面积减去4个长为m、宽为n的长方形面积，即（m+n）2﹣4mn；

由上述两种方法表示阴影部分的面积可得，（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；

故答案为：m﹣n；（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn；（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；

（2）∵a+b＝6，ab＝5，

∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab

＝36﹣20

＝16，

∴a﹣b＝4或a﹣b＝﹣4；

答：a﹣b的值为±4；

（3）如图，画4个长为（x+b），宽为b的长方形，拼成如图所示的大正方形，

图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+b）2或四个长x+b，宽x的长方形面积之和，加上中间边长为b的小正方形面积，即（x+x+b）2＝4x（x+b）+b2，

又∵x（x+b）＝c，

∴（2x+b）2＝4c+b2，

∴2x+b＝±，

又∵x＞0，b＞0，c＞0，

∴x＝，

答：关于x的一元一次方程x（x+b）＝c（x＞0，b＞0，c＞0）的解为x＝．下载本文