数 学（供文科考生使用）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要.
1.已知集合则
（A） （B） （C） （D）
2.复数的模为（A） （B） （C） （D）
3.已知点则与向量同方向的单位向量为
（A） （B） （C） （D）
4.下面是关于公差的等差数列的四个命题：
数列是递增数列； 数列是递增数列；
数列是递增数列； 数列是递增数列；
其中的真命题为
（A） （B） （C） （D）
5.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，
数据的分组一次为
若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是
（A） （B） （C） （D）
6.在，内角所对的边长分别为
且，则
A． B． C． D．
7.已知函数则
A． B． C． D．
8.执行如图所示的程序框图，若输入则输出的
A． B． C． D．
\\\9、已知点.若△ABC为直角三角形，则必有
A． B．
C． D．
10、已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上. 若
则球的半径为
A． B． C． D．
11、已知椭圆的左焦点为F， 与过原点的直线相交于A,B两点，
连接AF,BF.若|AB|=10，|BF|=8，则的离心率为
（A） （B） （C） （D）
12、已知函数设表示中的较大值，表示中的较小值，记得最小值为得最小值为,则
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .
14、已知等比数列是递增数列，是的前项和.若是方程的两个根，则 .
15、已知为双曲线的左焦点，P,Q为上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5,0）在线段PQ上，则△PQF的周长为 .
16、为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
设向量
（）若求的值； （）设函数求的最大值.
18．（本小题满分12分）
如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.
（）求证：平面
（）设Q为PA的中点。G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.
19．（本小题满分12分）
现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取3道题解答.试求：
（）所取的2道题都是甲类题的概率；
（）所取的2道题不是同一类题的概率.
20．（本小题满分12分）
如图，抛物线点在抛物线上，过M作的切线，切点为A,B(M为原点时，A,B重合于).
当时，切线MA的斜率为. （）求P的值；（）当M在上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程
（A,B重合于时，中点为）.
21．（本小题满分12分）
（）证明：当时，
（）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB为直径，直线CD与相切于E.AD垂直于CD于D,BC垂直于CD于C,EF垂直AB于F,连接AE,BE.
证明：（）（）
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆，直线的极坐标方程分别为.
（）求与交点的极坐标；
（）设P为的圆心，Q为与交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为
(为参数)，求的值.
2013高考数学辽宁卷（文科）解析参
一．选择题
1. [答案]B
2. [答案]B
3 . [答案]A
[解析]，所以，这样同方向的单位向量是
4 . [答案]D[解析]设，所以正确；如果则满足已知，但并非递增所以错；如果若，则满足已知，但，是递减数所以错；，所以是递增数列，正确
5 . [答案]B [解析]第一、第二小组的频率分别是、，所以低于60分的频率是0.3，设班级人数为，则，。
6 . [答案]A [解析]边换角后约去，得，所以，但B非最大角，所以。
7. [答案]D[解析]所以，因为，为相反数，所以所求值为2.
8 . [答案]A [解析]的意义在于是对求和。因为，同时注意，所以所求和为=
9 . [答案]C [解析]若A为直角，则根据A、B纵坐标相等，所以；若B为直角，则利用得，所以选C
10 . [答案]C [解析]由球心作面ABC的垂线，则垂足为BC中点M。计算AM=，由垂径定理，OM=6，所以半径R=
11 . [答案]B [解析]由余弦定理，AF=6，所以，又，所以
12 . [答案]C [解析]顶点坐标为，顶点坐标，并且与的顶点都在对方的图象上，
图象如图， A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以A-B=
[方法技巧]（1）本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口。（2）并不是A，B在同一个自变量取得。
二．填空题
13. [答案] [解析]直观图是圆柱中去除正四棱柱。
14 . [答案]63[解析]由递增，，所以，代入等比求和公式得
15 .[答案]44[解析]两式相加，所以并利用双曲线的定义得，所以周长为
16 .[答案]10
[解析]设五个班级的数据分别为。由平均数方差的公式得，，显然各个括号为整数。设分别为，，则。设=
=，由已知，由判别式得，所以，所以.
三．解答题
17．解：（Ⅰ）由，.
及，得，又，从而，所以.
（Ⅱ）,
当时，取最大值1，所以的最大值为.
18. 解：（Ⅰ）由AB是圆的直径，得，由平面ABC，平面ABC,得PA⊥BC,又PA∩AC=A,PA平面PAC, AC平面PAC,所以证平面PAC. （Ⅱ）连接OG并延长交AC于点M,连接QM,QO,由G为△AOC的重心，得M为AC中点.
由Q为PA中点，得QM∥PC,又O为AB中点，得OM∥BC.
因为QM∩MO=M,QM平面QMO,MO平面QMO,
BC∩PC=C,BC平面PBC,PC平面PBC,所以平面QMO∥平面PBC.
因为QG平面QMO,所以QG∥平面PBC.
19. 解：（Ⅰ）将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道一类题依次编号为5.6，任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的.
用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P（A）=
（Ⅱ）基本事件向（I），用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)=.
20. 解：（Ⅰ）因为抛物线上任意一点（x,y）的切线斜率为，且切线MA的斜率为，所以A点坐标为，故切线MA的方程为.
因为点在切线MA 抛物线C上，于是
①
②
由①②得=2.
（Ⅱ）设N(x,y), 由N为线段AB中点知
④
切线MA、MB的方程为
⑤
⑥
由⑤⑥得MA、MB的交点M（）的坐标为
，
因为点M（）在C上，即，
所以 ⑦
由③④⑦得
当时，A、B重合于原点0，AB重点N为0，坐标满足
因此AB中点N的轨迹方程为.
21．（Ⅰ）证明：记F（x）=
当时， 在上是增函数；
当时，在上是减函数.
又，所以当时，即.
记，则当时，
所以在上是减函数，则，即.
综上，
（Ⅱ）解法一:因为当时.
所以，当时，不等式对恒成立.
下面证明，当时，不等式对不恒成立.
因为当时，
所以存在（例如取和中的较小值）
满足，
即当时，不等式对不恒成立.
综上，实数的取值范围是
解法二:
记，则.
记，则.
当时，，因此.
于是(x)在[0,1]上试减函数，因此，当x∈(0,1)时， (x)＜(0)=a+2,故当a≤-2时， (x)<0，从而f(x)在[0,1]上试减函数，所以f(x)≤f(0)=0,即当a≤-2时，不等式对恒成立.
下面证明，当a>-2时，
不等式对不恒成立.
由于在上是减函数，且，
当时，，所以当时，，因此在上是增函数，故
当-2<<6sin1-2cos1-时， <0，又>0，故存在使，则当0<<时， >，所以f(x)在[0,]上是增函数，所以当时， >.
所以，当a>-2时，不等式.
综上，实数的取值范围是
22．证明：（Ⅰ）由直线CD与⊙O相切，得∠CEB∠EAB,由AB为⊙O的直径，得AE⊥AB,得∠EAB+∠EBF=；又EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=,从而∠FEB=∠EAB，故∠FEB=∠CEB.
（Ⅱ）由BC⊥CE,EF⊥AB, ∠FEB=∠CEB，BE是公共边，
得，所以.类似可证，得.
又在中，,故，所以.
23．解：（Ⅰ）圆C的直角坐标方程为
直线C的直角坐标方程为.
解
所以y与交点的极坐标为，
注：极坐标系下点的表示不唯一.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，P点与Q点的直角坐标分别为（0,2），（1,3）.
故直线PQ的直角坐标方程为.
由参数方程可得.
所以 解得,下载本文
