2021年江西省赣州市中考数学模拟试卷（附答案）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A． ．
C． ．
2．抛物线的顶点为
A．（1，4） ．（1，-4） ．（-1，4） ．（-1，-4）
3．下列事件中，是必然事件的是
A．任意抛一枚硬币，正面朝上
B．随意翻开一本数学书，这页的页码是偶数
C．相等的圆心角所对的弧也相等
D．任意画一个圆内接四边形，其对角互补
4．已知⊙O的半径是一元二次方程的解，且点O到直线AB的距离为2，则⊙O与直线AB的位置关系为
A．相交 ．相切 ．相离 ．无法确定
5．如图，学校课外生物小组的试验园地是长20米，宽15米的长方形．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵等宽的小道（如图），要使种植面积为252平方米，则小道的宽为（ ）
A．5米 ．1米 ．2米 ．3米
6．若抛物线与轴交于A（a，0）、B（b，0）两点，且，则有
A． ． ． ．
二、填空题
7．已知点P(-3，2)关于原点的对称点是_______．
8．已知：如图，圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是__cm2．
9．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为_____．
10．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为_________________．
11．已知是方程的根，则式子的值为_____．
12．已知⊙O 的直径为 4，AB 是⊙O 的弦，∠AOB=120°，点 P 在⊙O 上，若点 P到直线 AB 的距离为 1，则∠PAB 的度数为_____．
三、解答题
13．计算：
（1）；
（2）．
14．在直角坐标系中，O为原点，A点的坐标为(3，4)，连接线段OA，将线段OA绕点O逆时针旋转90°，A的对应点为A′．
（1）请在图中画出线段OA和线段OA′，则A′的坐标为_______．
（2）求线段OA在旋转过程中所扫过的面积．
15．如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，CO相交于点E．
（1）求证：；
（2）若AD=16，CE=4，求⊙O的半径．
16．今年我县为创评“全国文明城市”称号，周末团委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在四张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．
（1）该班男生“小刚被抽中”是_______事件（填“不可能”“必然”“随机”）；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为_______．
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，求出“小惠被抽中”的概率．
17．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D是AC弧的中点，在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出△ABC中AC边上的中线；
（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的中线．
18．大润发超市进了一批成本为8元/个的文具盒．调查发现：这种文具盒每个星期
的销售量y（个）与它的定价x（元/个）的关系如图所示：
（1）求这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系式（不必写出自变
量x的取值范围）；
（2）每个文具盒定价是多少元时，超市每星期销售这种文具盒（不考虑其他因素）可获得的利润最高？
最高利润是多少？
19．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，OB=OA，且∠AOB=120°．
（1）求直线AB的解析式；
（2）经过A、O、B三点的抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小?若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD＝AB，AD、BC的延长线相交于点E．
（1）求证：AD是半圆O的切线；（2）连结CD，求证：∠A＝2∠CDE．
21．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
22．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转．
（1）当△DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．
①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为 ；
②当∠B=∠E=α时，此时旋转角的大小为 (用含a的式子表示)．
（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．
23．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点．
（1）求m的值及C点坐标；
（2）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q．
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．
参
1．C
【分析】
根据轴对称与中心对称图形的概念逐项判断即可；
【详解】
A．是中心对称图形但不是轴对称图形；
B．是中心对称图形但不是轴对称图形；
C．是轴对称图形也是中心对称图形；
D．是轴对称图形但不是中心对称图形．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的判定，准确分析是解题的关键．
2．B
【分析】
根据顶点式直接判断即可．
【详解】
解：抛物线的顶点为：（1，-4），
故选：B．
【点睛】
本题考查了求二次函数的顶点坐标，解题关键是知道二次函数顶点式的顶点坐标为．
3．D
【分析】
根据必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件判断即可．
【详解】
解：A、任意抛一枚硬币，正面朝上属于随机事件，故不符合题意；
B、随意翻开一本数学书，这页的页码是偶数属于随机事件，故不符合题意；
C、相等的圆心角所对的弧也相等属于随机事件，故不符合题意；
D、任意画一个圆内接四边形，其对角互补是必然事件，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了随机事件与确定事件，关键是理解必然事件就是一定发生的事件．
4．A
【分析】
解方程确定圆的半径为3，圆心距d=2,比较半径与圆心距的大小，根据法则判断即可.
【详解】
∵，
∴，
∴圆的半径为3，
∵点O到直线AB的距离为2，即d=2，
∴d＜R，
∴直线与圆相交，
故选A.
【点睛】
本题考查了用半径、圆心距判定直线和圆的位置关系，熟练解方程，熟记d，R法则是解题的关键.
5．B
【分析】
设小道的宽为米，则种植区域可看成长为米、宽为米的长方形，根据长方形的面积公式结合种植面积为252平方米，即可得出关于的一元二次方程，解方程并检验即可得出结论．
【详解】
解：设小道的宽为米，
根据题意得：，
整理得：，
或
解得：，
经检验不合题意，舍去，取．
答：小道的宽为1米．
故选：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决图形面积问题是解题的关键．
6．C
【分析】
由-1＜0即可得出抛物线开口向下，再根据抛物线与x轴的两交点横坐标分别在1的两侧即可得出当x=1时，y=-1+p+q＞0，移项后即可得出p+q＞1．
【详解】
解：∵抛物线中二次项系数为-1＜0，
∴抛物线开口向下．
∵抛物线与x轴交于A（a，0），B（b，0）两点，且a＜1＜b，
∴当x=1时，y=-1+p+q＞0，
∴p+q＞1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数图象与系数的关系，根据a＜1＜b找出“当x=1时，y=-1+p+q＞0”是解题的关键．
7．(3，-2)
【分析】
根据关于原点对称点的坐标变化规律求解即可．
【详解】
解：关于原点对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，
所以P(-3，2)关于原点的对称点是(3，-2)，
故答案为：(3，-2)．
【点睛】
本题考查了关于原点对称坐标变化，熟记点在坐标系中的几何变换的坐标变化规律是解题关键．
8．65π
【解析】
∵圆锥底面直径为10cm，
∴圆锥底面半径为5cm.
又∵圆锥高为12cm，
∴圆锥母线长为：（cm）.
∴圆锥侧面展开图的面积为：（cm2）.
点睛：当圆锥的底面半径为,圆锥高为，母线长为时，（1）；（2）圆锥侧面积为：S测=，S全=.
9．110°
【解析】
试题分析：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°，∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC，∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°，∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，故答案为110°．
考点：圆周角定理．
10．y=x2+4x+1．
【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】
解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3），所以平移后的抛物线解析式为y=(x+2)2-3 =x2+4x+1．
故答案为y=x2+4x+1．
考点：二次函数图象与几何变换．
11．4
【分析】
由是方程的根，可得，，再将式子变形为，即可求出答案．
【详解】
解：∵是方程的根，
∴，即，
，
∴，
∴原式＝1＋3＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系并与代数式变形相结合解题是解题的关键．
12．15°或 30°或 105°
【分析】
作 OP1⊥AB 交⊙O 于 P1 交 AB 于 H，过点 O 作直线 P2P3∥AB 交⊙O 于 P2，P3．由垂径定理可得∠AOH=60°，进而可得∠OAH=30°，即可求出OH=1，进而可知P1，P2，P3 是满足条件的点，根据圆周角定理求出∠P1AB、∠P3AB、∠P2AB的度数即可.
【详解】
如图作 OP1⊥AB 交⊙O 于 P1 交 AB 于 H，过点 O 作直线 P2P3∥AB 交⊙O 于 P2，P3．
∵∠AOB=120°，OA=OB，OH⊥AB，
∴∠AOH=∠AOB=60°，∠AHO=90°，
∴∠OAH=30°，
∵⊙O 的直径为 4，
∴OH=OA= 1，
∴HP1=1，
∴直线 AB 与直线 P2P3 之间的结论距离为 1，
∴P1，P2，P3 是满足条件的点，
∴∠P1AB=∠BOP1=30°，∠P3AB=∠BOP3=15°，
∵P2P3是⊙O的直径，
∴∠P2AP3=90°，
∴∠P2AB=∠P2AP3+∠P3AB=90°+15°=105°，
故答案为15°或 30°或 105°．
【点睛】
本题考查垂径定理及圆心角定理，垂直弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；确定P1，P2，P3 是满足条件的点是解题关键.
13．(1)x1=3，x2=-2；(2)x1=5，x2=7．
【分析】
(1)直接使用十字相乘法进行因式分解即可求解；
(2)先移项，提取公因式(x-5)后再用因式分解即可求解．
【详解】
解：(1)原方程可化为：(x-3)(x+2)=0，
即：x-3=0或x+2=0，
解得：x1=3，x2=-2，
故答案为：x1=3，x2=-2；
(2)移项：(x-5)2-2(x-5)=0，
即：(x-5)(x-5-2)=0
得到：x-5=0或x-5-2=0
解得x1=5，x2=7，
故答案为：x1=5，x2=7．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题，运算过程中细心即可．
14．（1）画图见解析；(-4，3)；（2）S．
【分析】
（1）作出图形，然后根据平面直角坐标系写出点A′的坐标即可；
（2）根据扇形面积公式计算即可．
【详解】
（1）如图所示，A′的坐标为(-4，3)；
（2）∵，
∴线段OA在旋转过程中所扫过的面积．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化－旋转以及扇形的面积公式，熟知旋转的性质与扇形的面积公式是解答此题的关键．
15．(1)证明见解析；(2)⊙O的半径为10．
【分析】
(1)由AB是直径，得到∠D=90°，由OC∥BD得到∠AEO=90°，进而得到OC⊥AD，再由垂径定理即可证明；
(2)由AD=16可以得到AE=ED=8，设圆的半径为r，则EO=r-4，在Rt△AEO中由勾股定理即可求出圆的半径．
【详解】
解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90°
∴OC⊥AD，
由垂径定理可知：；
(2)由(1)可知OC⊥AD，
又∵AD=16，
设⊙O的半径为r， ∵CE=4，
∴OE=r-4，
在Rt△AEO中，由勾股定理得 ，
解得：r=10，
∴⊙O的半径为10．
【点睛】
本题考查了圆的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理等相关知识点，属于中档题，熟练掌握圆内的各定理是解决本题的关键．
16．（1）不可能；；（2）．
【分析】
（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式解答可得；
（2）列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【详解】
解：（1）根据题意可知，该班男生小刚，并不在小悦、小惠、小艳和小倩之中，所以“小刚被抽中”是不可能事件，只有四个人，第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为；
（2）画树状图如下：
由树状图可知共12种等可能结果，其中“小惠被抽中”有6种，
所以“小惠被抽中”的概率是：．
【点睛】
此题主要考查了树状图法求概率，熟悉相关性质是解题的关键．
17．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据中线的画法解答即可；
（2）由（1）作出AC边的中线BE，过AO的直线交BC于M，设AM与BE交于点G，过CG的直线交AB于点F，则CF就是AB边上的中线．
【详解】
（1）如图1所示，BE即为所求；
（2）如图2所示，CF即为所求．
【点睛】
本题考查了应用与设计作图，需仔细分析题意，结合图形，利用中线的画法即可解决问题．
18．（1）y＝－10x＋300（2）当x＝19，即定价19元/个时超市可获得的利润最高，最高利润为1210元
【分析】
（1）根据图象可以得到函数经过点（10，20）和（14，160），利用待定系数法即可求得函数的解析式．
（2）超市每星期的利润可以表示成x的函数关系式，然后根据函数的性质即可确定．
【详解】
解：（1）设y＝kx＋b ，
由题意得：，
解得：k＝－10；b＝300．
∴y＝－10x＋300．
（2）由（1）知超市每星期的利润：
W＝(x－8)·y＝(x－8)(－10x＋300)
＝－10(x－8)(x－30)
＝－10(x2－38x＋240)
＝－10(x－19)2＋1210
∴当x＝19，即定价19元/个时超市可获得的利润最高，最高利润为1210元．
19．（1）；（2）存在，点C的坐标是(-1，)．
【分析】
（1）过点B作BD⊥x轴于点D，可知∠BOD=60°，求出B点坐标，再用待定系数法求解析式即可；
（2）确定抛物线的对称轴，连接AB，与对称轴交于点C，此时，△BOC的周长最小，再用AB解析式求C点坐标即可．
【详解】
(1)过点B作BD⊥x轴于点D，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60°，在Rt△OBD中，∠ODB=90°，
∴OD=1，DB=，
∴点B的坐标是(1，)．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则有：，
解得：，
∴直线AB的解析式为
（2）∵抛物线经过A，O，B三点，且点A、O在x轴上，由抛物线的对称性可得对称轴为x=-1
∵点C在对称轴x=-1上，△BOC的周长=OB+BC+CO，
∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，
∵点O与点A关于直线x=-1对称，有CO=CA，△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA
∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，
BC+CA最小，此时△BOC的周长最小．
∴当x=-1时，代入直线AB的解析式得y=，
∴点C的坐标是(-1，)．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数对称轴、最短路径问题，解题关键是根据已知条件确定点的坐标和两点一线求最短的轴对称做法．
20．证明见解析
【解析】
（1）如图，连接OD，BD，
∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，
∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，
∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO，∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，
∴∠ADO=∠ABO=90°，∴AD是半圆O的切线．
（2）由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，
∴∠A=360°–∠ADO–∠ABO–∠BOD=180°–∠BOD=∠DOC，
∵AD是半圆O的切线，∴∠ODE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，
∵BC是⊙O的直径，∴∠ODC+∠BDO=90°，∴∠BDO=∠CDE，
∵∠BDO=∠OBD，∴∠DOC=2∠BDO，∴∠DOC=2∠CDE，
∴∠A=2∠CDE．
21．(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．
【解析】
试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；
（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．
试题解析：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
考点：一元二次方程的应用．
22．（1）①60°；②2α；（2）小杨同学猜想是正确的．证明见解析．
【分析】
（1）①证明△ADC是等边三角形即可．
②如图2中，作CH⊥AD于H．想办法证明∠ACD=2∠B即可解决问题．
（2）小扬同学猜想是正确的．过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，想办法证明△CBN≌△CEM（AAS）即可解决问题．
【详解】
解：（1）①∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠CAD=90°﹣30°=60°．
∵CA=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴旋转角为60°．
故答案为：60°．
②如图2中，作CH⊥AD于H．
∵CA=CD，CH⊥AD，
∴∠ACH=∠DCH．
∵∠ACH+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，
∴∠ACH=∠B，
∴∠ACD=2∠ACH=2∠B=2α，
∴旋转角为2α．
故答案为：2α．
（2）小杨同学猜想是正确的．证明如下：
过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3．
∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，
∴∠BNC=∠EMC=90°．
∵△ACB≌△DCE，
∴BC=EC，
在△CBN和△CEM中，
∠BNC=∠EMC，∠1=∠3，BC=EC，
∴△CBN≌△CEM(AAS)，
∴BN=EM．
∵S△BDC•CD•BN，S△ACE•AC•EM．
∵CD=AC，
∴S△BDC=S△ACE．
【点睛】
本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（1）m=4；C（0，4）；（2）①P（1+，1+）或P（1-，1-）；②当t=2时，S四边形PBQC最大=16；理由见解析．
【分析】
（1）把B（4，0）代入可求解析式，再用解析式C点坐标；
（2）根据菱形对角线互相垂直平分，求直线PQ解析式，与抛物线解析式联立方程组即可；
（3）过点P作y轴的平行线l交BC于点D，交x轴于点E；过点C作l的垂线交l于点F，设点P（t，-t2+3t+4），表示出S△PCB的面积，再乘以2，得到S四边形PBQC的函数解析式，根据解析式求最大值．
【详解】
（1）将B（4，0）代入y=-x2+3x+m，解得m=4，
∴二次函数解析式为y=-x2+3x+4，
令x=0，得y=4，
∴C（0，4）
（2）①如图，∵点P在抛物线上，
∴设P（a，-a2+3a+4），
当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，
∵B（4，0），C（0，4）
∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x，
∴a=-a2+3a+4，
∴
∴P（1+，1+）或P（1-，1-）
②如图，设点P（t，-t2+3t+4），
过点P作y轴的平行线l交BC于点D，交x轴于点E；过点C作l的垂线交l于点F，
∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC解析式为y=-x+4，
∵点D在直线BC上，
∴D（t，-t+4），
∵PD=-t2+3t+4-（-t+4）=-t2+4t， BE+CF=4，
∴S四边形PBQC=2S△PCB=2（S△PCD+S△PBD）=
∵0 【点睛】 此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、菱形的判定和性质、直线与抛物线交点和二次函数最值问题，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．下载本文
