一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分，下列各题都有代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个结论是正确的．

1．下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

2．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）

A．开口向下    B．对称轴是x=﹣1

C．顶点坐标是（1，2）    D．与x轴有两个交点

3．如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠BAC的度数是（　　）

A．30°    B．45°    C．60°    D．90°

4．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM长的取值范围是（　　）

A．3≤OM≤5    B．4≤OM≤5    C．3＜OM＜5    D．4＜OM＜5

5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=（　　）

A．100°    B．110°    C．120°    D．140°

6．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（3，4），点P的坐标是（6，8），你认为点P的位置为（　　）

A．在⊙A内    B．在⊙A上    C．在⊙A外    D．不能确定

7．如图所示，P是等边△ABC内的一点，连结PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连结PQ，若PA2+PB2=PC2，则∠APB等于（　　）

A．150°    B．145°    C．140°    D．135°

8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，AB=5cm，△ABC的内心与顶点C的距离为（　　）

A．1cm    B． cm    C． cm    D．3cm

9．同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（　　）

A．    B．    C．    D．

10．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：下列结论：①abc＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；④当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0；⑤4m（am+b）﹣6b＜9a．其中正确说法的序号是（　　） 

二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分．

11．若将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=（x﹣h）2+k的形式，则y=　　．

12．点A（a﹣1，﹣5）与点B（﹣3，1﹣b）关于原点对称，则（a+b）2017的值为　　．

13．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，连接OA，OB，BD，若∠AOB=100°，则∠ABD=　　度．

14．如图，△ABC和△AB′C′成中心对称，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=，则BB′的长为　　．

15．如图，点A、B是⊙O上两点，AB=16，点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF=　　．

16．如图，⊙O的半径为2，点P是⊙O外的一点，PO=5，点A是⊙O上的一个动点，连接PA，直线l垂直平分PA，当直线l与⊙O相切时，PA的长度为　　．

三、解答题：本题有9个小题，共72分．

17．已知某抛物线的图象与y轴交于（0，6），与x轴有两个交点，其中一个交点为（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，求该抛物线的解析式．

18．如图：抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=kx+b交于A（﹣3，0）、C（0，﹣3）两点，抛物线与x轴交于另一点B（1，0）．利用图象填空：

（1）方程ax2+bx+c=0的根为　　；

（2）方程ax2+bx+c=﹣3的根为　　；

（3）若y1＜y2，则x的取值范围为　　．

19．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．

（1）请直接写出与点B关于坐标原点O的对称点B1的坐标；

（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出对应的△A′B′C′图形；

（3）请直接写出点A′、B′、C′的坐标．

20．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转至△ABF的位置．

（1）旋转中心是点　　，旋转角度是　　度；

（2）若连结EF，则△AEF是　　三角形；并证明；

（3）若四边形AECF的面积为36，DE=2，求EF的长．

21．如图，已知圆内接四边形ABCD，AD是⊙O的直径，OC⊥BD于E．

（1）请你直接写出三个不同类型的正确结论；

（2）若AB=8，BE=3，求CE的长．

22．已知抛物线y=x2+（1﹣2k）x﹣2k．

（1）求证：不论k为任何实数时，该抛物线与x轴总有交点；

（2）若抛物线y=x2+（1﹣2k）x﹣2k与x轴两个交点坐标分别为A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2且AB=3，求k的值．

23．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是20元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是500件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具．

（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞30），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：

（3）在第（1）问的条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于32元，且商场要完成不少于400件的销售任务，求：商场销售该品牌玩具获得最大利润是多少？

24．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P．

（1）请你判断△ABD的形状，并证明你的结论；

（2）求证：DP∥AB；

（3）若AC=5，BC=12，求线段BD、CD的长．

25．已知二次函数图象的顶点坐标为C（﹣1，0），直线y=﹣x+m与该二次函数y=ax2+bx+c的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，4），B点在y轴上，P为直线AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，D为直线AB与这个二次函数图象的对称轴的交点．

（1）求m的值及这个二次函数的解析式；

（2）在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）抛物线上是否存在点E，使S△EAB=3，若存在，请直接写出此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．

2016-2017学年湖北省十堰市丹江口市九年级（上）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分，下列各题都有代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个结论是正确的．

1．下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，知：

A：是轴对称图形，而不是中心对称图形；

B、C：两者都不是；

D：既是中心对称图形，又是轴对称图形．

故选D．

2．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）

A．开口向下    B．对称轴是x=﹣1

C．顶点坐标是（1，2）    D．与x轴有两个交点

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．

【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．

故选：C．

3．如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠BAC的度数是（　　）

A．30°    B．45°    C．60°    D．90°

【考点】圆周角定理．

【分析】根据直径得出∠ACB=90°，然后根据直角三角形两锐角互余即可求得．

【解答】解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ABC中，∠ABC=30°，

∴∠BAC=60°．

故选C．

4．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM长的取值范围是（　　）

A．3≤OM≤5    B．4≤OM≤5    C．3＜OM＜5    D．4＜OM＜5

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．

【解答】解：由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，即OM===3；

当OM是半径时最长，OM=5．

所以OM长的取值范围是3≤OM≤5．

故选A．

5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=（　　）

A．100°    B．110°    C．120°    D．140°

【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系．

【分析】由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠A=∠DCE=70°，由圆周角定理知，∠BOD=2∠A=140°．

【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠A=∠DCE=70°，

∴∠BOD=2∠A=140°．

故选D．

6．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（3，4），点P的坐标是（6，8），你认为点P的位置为（　　）

A．在⊙A内    B．在⊙A上    C．在⊙A外    D．不能确定

【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质．

【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．

【解答】解：AP==5=r，

点P的位置为在⊙A上，

故选：B．

7．如图所示，P是等边△ABC内的一点，连结PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连结PQ，若PA2+PB2=PC2，则∠APB等于（　　）

A．150°    B．145°    C．140°    D．135°

【考点】旋转的性质；等边三角形的性质；勾股定理．

【分析】按原题作图：以B为中心，按60度旋转△BAP，使得A点旋转至C点，P点至Q．可以很容易证明：CQ=PA、PQ=PB，注意到PQ2+CQ2=PC2是直角三角形，即可解决问题．

【解答】解：∵将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，

∴CQ=PA，BP=BQ，∠APB=∠BQC，

∵∠PBQ=60°，

∴△PBQ是等边三角形，

∴PQ=PB，∠PQB=60°

∵PA2+PB2=PC2，

∴PQ2+QC2=PC2，

∴∠PQC=90°，

∴∠BQC=∠APB=∠PQB+∠PQC=60°+90°=150°，

∴∠BQC=150°．

故选A．

8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，AB=5cm，△ABC的内心与顶点C的距离为（　　）

A．1cm    B． cm    C． cm    D．3cm

【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理．

【分析】如图，⊙O为△ABC的内切圆，作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，OF⊥AB于F，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，先得到四边形ODCE为正方形，则CD=CE=r，根据切线长定理得到AD=AF=4﹣r，BE=BF=3﹣r，则4﹣r+3﹣r=5，解得r=1，然后根据正方形的性质求出OC即可．

【解答】解：如图，⊙O为△ABC的内切圆，作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，OF⊥AB于F，

设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，

易得四边形ODCE为正方形，

∴CD=CE=r，

∴AD=AF=4﹣r，BE=BF=3﹣r，

而AF+BF=AB，

∴4﹣r+3﹣r=5，解得r=1，

∴OC=OD=，

即△ABC的内心与顶点C的距离为．

故选B．

9．同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．

【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，1），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．

【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；

当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．

故选C．

10．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：下列结论：①abc＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；④当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0；⑤4m（am+b）﹣6b＜9a．其中正确说法的序号是（　　） 

【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．

【分析】待定系数法求得二次函数的解析式，即可得a、b、c的值，可判断①；根据二次函数的顶点式，结合二次函数的性质可判断②；将a、b、c的值代入方程，解方程求得方程的根，可判断③；将a、b、c的值代入不等式，解不等式可判断④；根据二次函数的最值可判断⑤．

【解答】解：将x=﹣1、y=﹣1，x=0、y=3，x=1、y=5代入y=ax2+bx+c，

得，

解得：，

∴y=﹣x2+3x+3=﹣（x﹣）2+，

∴abc=﹣9＜0，故①正确；

当x＞时，y随x的增大而减小，故②错误；

方程ax2+（b﹣1）x+c=0可整理为方程﹣x2+2x+3=0，

解得：x=﹣1或x=3，

∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，故③正确；

不等式ax2+（b﹣1）x+c＞0可变形为﹣x2+2x+3＞0，

解得：﹣1＜x＜3，故④正确；

由y=﹣x2+3x+3=﹣（x﹣）2+可知当x=时，y取得最大值，

即当x=m时，am2+bm+c≤a+b+c，

变形可得4m（am+b）﹣6b≤9a，故⑤错误；

综上，正确的结论有①③④，

故选：A．

二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分．

11．若将二次函数y=x2﹣2x+3配方为y=（x﹣h）2+k的形式，则y=　（x﹣1）2+2　．

【考点】二次函数的三种形式．

【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．

【解答】解：y=x2﹣2x+3=（x2﹣2x+1）+2=（x﹣1）2+2

故本题答案为：y=（x﹣1）2+2．

12．点A（a﹣1，﹣5）与点B（﹣3，1﹣b）关于原点对称，则（a+b）2017的值为　0　．

【考点】关于原点对称的点的坐标．

【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

【解答】解：∵点A（a﹣1，﹣5）与点B（﹣3，1﹣b）关于原点对称，

∴a﹣1=3，1﹣b=5，

解得a=4，b=﹣4，

所以，（a+b）2017=（4﹣4）2017=0．

故答案为：0．

13．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，连接OA，OB，BD，若∠AOB=100°，则∠ABD=　25　度．

【考点】圆周角定理；垂径定理．

【分析】根据CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD得到：∠AOD=∠BOD=∠AOB=50°，即可求∠ABD=∠AOD=25°．

【解答】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，

∴∠AOD=∠BOD=∠AOB=50°，

∴∠ABD=∠AOD=25°．

14．如图，△ABC和△AB′C′成中心对称，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=，则BB′的长为　4　．

【考点】中心对称；含30度角的直角三角形．

【分析】在直角△ABC中求得AB，而BB′=2AB，据此即可求解．

【解答】解：在直角△ABC中，∠B=30°，BC=，

∴AB=2AC=2

∴BB′=2AB=4．

故答案为：4；

15．如图，点A、B是⊙O上两点，AB=16，点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）连接AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF=　8　．

【考点】垂径定理；三角形中位线定理．

【分析】先根据垂径定理得出AE=PE，PF=BF，故可得出EF是△APB的中位线，再根据中位线定理即可得出EF∥AB，EF=AB即可．

【解答】解：∵OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，

∴AE=PE，PF=BF，

∴EF是△APB的中位线，

∴EF∥AB，EF=AB=8；

故答案为：8．

16．如图，⊙O的半径为2，点P是⊙O外的一点，PO=5，点A是⊙O上的一个动点，连接PA，直线l垂直平分PA，当直线l与⊙O相切时，PA的长度为　　．

【考点】切线的性质；线段垂直平分线的性质．

【分析】连接OA、OC（C为切点），过点O作OB⊥AP．根据题意可知四边形BOCD为矩形，从而可知：BP=4+x，设AB的长为x，在Rt△AOB和Rt△OBP中，由勾股定理列出关于x的方程解得x的长，从而可计算出PA的长度．

【解答】解：如图所示．连接OA、OC（C为切点），过点O作OB⊥AP．

设AB的长为x，在Rt△AOB中，OB2=OA2﹣AB2=4﹣x2，

∵l与圆相切，

∴OC⊥l．

∵∠OBD=∠OCD=∠CDB=90°，

∴四边形BOCD为矩形．

∴BD=OC=2．

∵直线l垂直平分PA，

∴PD=BD+AB=2+x．

∴PB=4+x．

在Rt△OBP中，OP2=OB2+PB2，即4﹣x2+（4+x）2=52，解得x=．

PA=2AD=2×（+2）=．

故答案为．

三、解答题：本题有9个小题，共72分．

17．已知某抛物线的图象与y轴交于（0，6），与x轴有两个交点，其中一个交点为（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，求该抛物线的解析式．

【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．

【分析】对称轴为直线x=﹣1，则可以设函数的解析式是y=a（x+1）2+k，然后把（0，6）和（﹣3，0）代入函数解析式即可求得a、k的值，求得函数解析式．

【解答】解：设y=a（x+1）2+k，

∵抛物线的图象过（0，6），（﹣3，0）两点，

∴．

解得，

∴函数的解析式是y=﹣2（x+1）2+8．

18．如图：抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=kx+b交于A（﹣3，0）、C（0，﹣3）两点，抛物线与x轴交于另一点B（1，0）．利用图象填空：

（1）方程ax2+bx+c=0的根为　x=﹣3或1　；

（2）方程ax2+bx+c=﹣3的根为　x=﹣2或0　；

（3）若y1＜y2，则x的取值范围为　﹣3＜x＜0　．

【考点】二次函数与不等式（组）；抛物线与x轴的交点．

【分析】（1）由抛物线与x轴交于另一点B（1，0），A（﹣3，0），可知方程ax2+bx+c=0的根为x=﹣3或1．

（2）由图象y1=ax2+bx+c与直线y=﹣3的交点为（0，﹣3）或（﹣2，﹣3），可知方程ax2+bx+c=﹣3的根为x=﹣2或0．

（3）观察图象，函数y1的图象在y2的下方，即可解决问题．

【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于另一点B（1，0），A（﹣3，0），

∴方程ax2+bx+c=0的根为x=﹣3或1．

故答案为：x=﹣3或1．

（2）∵由图象可知y1=ax2+bx+c与直线y=﹣3的交点为（0，﹣3）或（﹣2，﹣3），

∴方程ax2+bx+c=﹣3的根为x=﹣2或0．

故答案为x=﹣2或0．

（3）由图象可知，y1＜y2，则x的取值范围﹣3＜x＜0．

故答案为﹣3＜x＜0．

19．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．

（1）请直接写出与点B关于坐标原点O的对称点B1的坐标；

（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出对应的△A′B′C′图形；

（3）请直接写出点A′、B′、C′的坐标．

【考点】作图-旋转变换．

【分析】（1）根据关于原点对称的性质可知B′坐标．

（2）分别画出A、B、C三点绕坐标原点O逆时针旋转90°后的对应点A′、B′、C′即可．

（3）利用图象写出坐标即可．

【解答】解：（1）由图象可知，B1（6，0）．

（2）△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，对应的△A′B′C′如图所示，

△A′B′C′即为所求．

（3）由图象可知A′（﹣3，﹣2），B′（0，﹣6），C′（0，﹣1）．

20．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转至△ABF的位置．

（1）旋转中心是点　A　，旋转角度是　90　度；

（2）若连结EF，则△AEF是　等腰直角　三角形；并证明；

（3）若四边形AECF的面积为36，DE=2，求EF的长．

【考点】旋转的性质；正方形的性质．

【分析】（1）根据题意，即可确定旋转中心，旋转角．

（2）结论：△AEF是等腰直三角形．：由△ABF≌△ADE，推出AF=AE，∠FAB=∠DAE，推出∠FAE=∠DAB=90°即可证明．

（3）理由（2）的结论EF=AE，求出AE即可解决问题．

【解答】解：（1）由题意旋转中心为点A，旋转角为90°；  

故答案为A，90．

（2）结论：△AEF是等腰直三角形．

理由：∵△ABF≌△ADE，

∴AF=AE，∠FAB=∠DAE，

∴∠FAE=∠DAB=90°．

∴△AEF是等腰直角三角形，

故答案为等腰直角．

（3）∵正方形ABCD的面积为36，

∴AD=BC=CD=AB=6，

在Rt△ADE中，∵AD=6，DE=2，

∴AE=AF==2，

∵△AEF是等腰直角三角形，

∴EF=AE=4．

21．如图，已知圆内接四边形ABCD，AD是⊙O的直径，OC⊥BD于E．

（1）请你直接写出三个不同类型的正确结论；

（2）若AB=8，BE=3，求CE的长．

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】（1）根据吹径定理即可得到结论；

（2）由吹径定理得到BD=2BE=6，∠ABD=90°，根据勾股定理得到AD==10，OE==4，于是得到结论．

【解答】解：（1）∵AD是⊙O的直径，OC⊥BD于E．

∴BE=DE，，BC=CD；

（2）∵AD是⊙O的直径，OC⊥BD于E

∴BD=2BE=6，∠ABD=90°，

∴DE=BE=3，BD=2BE=6，

∴AD==10，

∴OD=5，

∴OE==4，

∴CE=1．

22．已知抛物线y=x2+（1﹣2k）x﹣2k．

（1）求证：不论k为任何实数时，该抛物线与x轴总有交点；

（2）若抛物线y=x2+（1﹣2k）x﹣2k与x轴两个交点坐标分别为A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2且AB=3，求k的值．

【考点】抛物线与x轴的交点．

【分析】（1）只要证明判别式△≥即可证得；

（2）利用一元二次方程根据的判别式，则|x1﹣x2|=3，据此列方程求解即可．

【解答】解：（1）令y=0，则x2+（1﹣2k）x﹣2k=0，

△=（1﹣2k）2﹣4×1×（﹣2k）=4k2+4k+1=（2k+1）2≥0，

∴不论k为任何实数时，该抛物线与x轴总有交点；

（2）令y=0，则x2+（1﹣2k）x﹣2k=0，x1+x2=2k﹣1，x1•x2=﹣2k，

∵AB=|x1﹣x2|=3，

∴（x1﹣x2）2=9，

∴（x1+x2）2﹣4x1x2=9，

∴（2k﹣1）2+8k=9，

解得k1=1，k2=﹣2．

则当k1=1，k2=﹣2时，△＞0，符合题意，

∴k1=1，k2=﹣2．

23．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是20元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是500件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具．

（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞30），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：

（3）在第（1）问的条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于32元，且商场要完成不少于400件的销售任务，求：商场销售该品牌玩具获得最大利润是多少？

【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．

【分析】（1）根据题意可以用含x的代数式分别表示出y和w，本题得以解决；

（2）根据（1）中w与x的关系式可以求得相应的x的值；

（3）根据题意可以列出相应的不等式和将w的关系式化为顶点式，本题得以解决．

【解答】解：（1）由题意可得，

y=500﹣10（x﹣30）=﹣10x+800，

w=（x﹣20）（﹣10x+800）=﹣10x2+1000x﹣16000，

即y=﹣10x+800，w=﹣10x2+1000x﹣16000，

故答案为：y=﹣10x+800，w=﹣10x2+1000x﹣16000；

（2）由题意可得，

﹣10x2+1000x﹣16000=8750，

解得，x1=45，x2=55，

即该玩具销售单价x应定为45元或55元；

（3）由题意可得，

，

解得，32≤x≤40，

∵w=﹣10x2+1000x﹣1600=﹣10（x﹣50）2+9000，

∴当x=40时，w取得最大值，此时w=﹣10（40﹣50）2+9000=8000，

即商场销售该品牌玩具获得最大利润是8000元．

24．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P．

（1）请你判断△ABD的形状，并证明你的结论；

（2）求证：DP∥AB；

（3）若AC=5，BC=12，求线段BD、CD的长．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）先由直径所对的圆周角是直角得出是直角三角形，再由角平分线得出AD=BD即可得出结论；

（2）先由等腰直角三角形的性质得出OD⊥AB，再有切线得出OD⊥DP即可得出结论，

（3）利用勾股定理先求出AB，再由等腰直角三角形的性质即可得出BD，再构造直角三角形即可求出CF进而得出CD．

【解答】解：（1）△ABD是等腰直角三角形，

理由：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴△ABD是直角三角形，

∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，

∴∠BCD=∠ACD，

∴BD=AD，

∴直角三角形ABD是等腰直角三角形．

（2）如图，连接OD．由（1）知，△ABD是等腰直角三角形，OA=OB，

∴OD⊥AB，

∵DP是⊙O的切线，

∴∠ODP=90°，

∴OD⊥DP，

∴DP∥AB；

（3）如图2，∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∵AC=5，BC=12，

∴AB==13，

在Rt△ABD中，BD=AD，AB=13，

∴BD=AB=，

∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，

∴∠BCD=45°，过点D作DF⊥BC，

∴CF=DF，∵BC=BF+CF=12，

∴BF=12﹣CF，

在Rt△BDF中，BD=，

∴BD2=BF2+DF2，

∴=（12﹣CF）2+CF2，

∴CF=或CF=，

∴CD=CF=或．

25．已知二次函数图象的顶点坐标为C（﹣1，0），直线y=﹣x+m与该二次函数y=ax2+bx+c的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，4），B点在y轴上，P为直线AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，D为直线AB与这个二次函数图象的对称轴的交点．

（1）求m的值及这个二次函数的解析式；

（2）在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）抛物线上是否存在点E，使S△EAB=3，若存在，请直接写出此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）根据顶点坐标（﹣1，0）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2，把点A（﹣3，4）分别代入二次函数和一次函数的解析式中可得结论；

（2）先求AB的解析式，根据解析式表示出P、E两点的坐标：设P（x，﹣x+1），E（x，x2+2x+1），由平行四边形的性质：CD=PE列式可求得x的值，计算点P的坐标；

（3）分两种情况：如图2，点E在AB的下方时，根据三角形面积=铅直高×水平宽，此时的水平宽是3，铅直高是EF，根据解析式表示，由面积=2，代入可求得结论；

如图3，点E在AB的上方时，

由图2可知，与AB平行且向上平移2个单位的直线EF的解析式为：y=﹣x+3，该直线与抛物线的交点即是点E，列方程组求出即可．

【解答】解：（1）把A（﹣3，4）代入y=﹣x+m得：3+m=4，

m=1，

设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2，

把A（﹣3，4）代入y=a（x+1）2中得：a（﹣3+1）2=4，

a=1，

∴这个二次函数的解析式为：y=（x+1）2=x2+2x+1；

（2）如图1，当x=0时，y=1，

∴B（0，1），

设直线AB的解析式为：y=kx+b，

把A（﹣3，4），B（0，1）代入得：，

解得：，

∴直线AB的解析式为：y=﹣x+1，

当x=﹣1时，y=1+1=2，

∴D（﹣1，2），

∴CD=2，

设P（x，﹣x+1），E（x，x2+2x+1），

∵四边形DCEP是平行四边形，

∴CD=PE，CD∥PE，

∴PE=（﹣x+1）﹣（x2+2x+1）=﹣x2﹣3x=2，

x2+3x+2=0，

（x+1）（x+2）=0，

x1=﹣1（舍），x2=﹣2，

当x=﹣2时，y=2+1=3，

∴P（﹣2，3）；

（3）存在，

过E作EF∥CD，交AB于F

设F（x，﹣x+1），E（x，x2+2x+1），

∵S△ABE=×3EF=3

∴EF=2

如图2，点E在AB的下方时，

EF=（﹣x+1）﹣（x2+2x+1）=﹣x2﹣3x=2，

x1=﹣1，x2=﹣2，

当x=﹣1时，y=0，

当x=﹣2时，y=1，

此时点E（﹣1，0）、（﹣2，1）；

如图3，点E在AB的上方时，

由图2可知，与AB平行且向上平移2个单位的直线EF的解析式为：y=﹣x+3，

则，

解得： ，

∴E（，）或（，）；

综上所述，点E的坐标为：（﹣1，0）或（﹣2，1）或（，）或（，）．

2017年2月10日下载本文