数 学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P（A＋B）＝P（A）＋P（B） S＝4πR2
如果事件A、B相互，那么 其中R表示球的半径
P（A·B）＝P（A）·P（B） 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V＝πR3
n次重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
Pn（k）＝CP （1一P）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．化简的结果是
A．2＋i
B．－2＋i
C．2－i
D．－2－i
2．
A．等于0
B．等于l
C．等于3
D．不存在
3．若tan（一α）＝3，则cot α等于
A．－2
B．－
C．
D．2
4．已知（＋）n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则n等于
A．4
B．5
C．6
D．7
5．若0＜x＜，则下列命题中正确的是
A．sin x＜
B．sin x＞
C．sin x＜
D．sin x＞
6．若集合M＝{0，l，2}，N＝{（x，y）|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0，x，y ∈M}，则N中元素的个数为
A．9
B．6
C．4
D．2
7．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．则以下命题中，错误的命题是
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH垂直平面CB1D1
C．AH的延长线经过点C1
D．直线AH和BB1所成角为45°
8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是
A．h2＞h1＞h4
B．h1＞h2＞h3
C．h3＞h2＞h4
D．h2＞h4＞h1
9．设椭圆的离心率为e＝，右焦点为F（c，0），方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）
A．必在圆x2＋y2＝2内
B．必在圆x2＋y2＝2上
C．必在圆x2＋y2＝2外
D．以上三种情形都有可能
10．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为
A．
B．
C．
D．
11．设函数f（x）是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f（x）在x＝5处的切线的斜率为
A．－
B．0
C．
D．5
12．设p：f（x）＝ex＋ln x＋2x2＋mx＋l在（0，＋∞）内单调递增，q：m≥－5，则p是q的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
第Ⅱ卷
注意事项：
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上。
13．设函数y＝4＋log2（x－1）（x≥3），则其反函数的定义域为 。
14．已知数列{an}对于任意p，q ∈N*，有ap+aq=ap+q，若a1=，则a36＝ 。
15．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为 。
16．设有一组圆Ck：（x－k＋1）2＋（y－3k）2＝2k4 （k∈N*）下列四个命题：
A．存在一条定直线与所有的圆均相切
B．存在一条定直线与所有的圆均相交
C．存在一条定直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数在区间（0，1）内连续，且。
（1）求实数k和c的值；
（2）解不等式
18．（本小题满分12分）
如图，函数y＝2cos（ωx＋θ）（x∈R，0≤θ≤）的图象与y轴交于点（0，），且在该点处切线的斜率为一2。
（1）求θ和ω的值；
（2）已知点A（，0），点P是该函数图象上一点，点Q（x0，y0）是PA的中点，当y0＝，x0∈[，π]时，求x0的值。
19．（本小题满分12分）
某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5， 0.6， 0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75。
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望。
20．（本小题满分12分）
图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠AlBlC1＝90°，AAl＝4，BBl＝2，CCl＝3。
（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；
（2）求二面角B—AC—A1的大小；
（3）求此几何体的体积。
21．（本小题满分12分）
设动点P到点A（－l，0）和B（1，0）的距离分别为d1和d2，∠APB＝2θ，且存在常数λ（0＜λ＜1），使得d1d2 sin2θ＝λ。
（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
（2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定λ的范围，使·＝0，其中点O为坐标原点。
22．（本小题满分14分）
设正整数数列{an}满足：a2＝4，且对于任何n∈N*，有。
（1）求a1，a3；
（2）求数列{ an }的通项an 。
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
数 学（理科）
参
一、选择题
1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C
7．D 8．A 9．A 10．B 11．B 12．B
二、填空题
13．[5，∞）
14．4
15．2
16．B，D
三、解答题
17．解：
（1）因为0 又因为在处连续， 所以，即k=1 （2）由（1）得： 由得，当时，解得 当时，解得， 所以的解集为 18．解： （1）将x=0，代入函数得， 因为，所以 又因为，，，所以， 因此 （2）因为点，是的中点，， 所以点的坐标为 又因为点在的图象上，所以 因为，所以， 从而得或 即或 19．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A1，A2，A3 （1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 （2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p=0.3， 所以， 故 解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A、B、C，则 P（A）=P（B）=P（C）=0.3， 所以， ， ， 于是， 20．解法一： （1）证明：作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D 则OD∥BB1∥CC1 因为O是AB的中点， 所以 则ODCC1是平行四边形，因此有OC∥C1D 平面C1B1A1且平面C1B1A1， 则OC∥面A1B1C1 （2）如图，过B作截面BA2C2∥面A1B1C1，分别交AA1，CC1于A2，C2 作BH⊥A2C2于H，连CH 因为面，所以，则平面 又因为，， 所以BC⊥AC，根据三垂线定理知CH⊥AC，所以∠BCH就是所求二面角的平面角 因为，所以，故∠BCH=30°， 即：所求二面角的大小为 （3）因为，所以 所求几何体体积为 解法二： （1）如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），因为是的中点，所以， 易知，是平面A1B1C1的一个法向量 因为，平面，所以平面． （2），， 设是平面的一个法向量，则 则，得： 取， 显然，为平面的一个法向量 则，结合图形可知所求二面角为锐角 所以二面角的大小是 （3）同解法一 21．解法一： （1）在△PAB中，，即， ，即（常数）， 点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线 方程为： （2）设， ①当垂直于x轴时，MN的方程为x=1，M（1，1），N（1，-1）在双曲线上． 即，因为，所以． ②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x-1） 由得：， 由题意知：， 所以， 于是： 因为，且M，N在双曲线右支上，所以 由①②知， 解法二：（1）同解法一 （2）设，，MN的中点为 ①当x1=x2=1时，， 因为，所以； ②当时， 又所以； 由得， 由第二定义得 所以 于是由得 因为，所以，又， 解得：．由①②知 22．解：（1）据条件得 ① 当时，由，即有， 解得因为为正整数，故 当时，由， 解得，所以 （2）方法一：由，，，猜想： 下面用数学归纳法证明 1当n=1，时，由（1）知均成立； 2假设成立，则，则时 由①得 因为时，，所以 k-1≥1，所以 又，所以 故，即时，成立 由1，2知，对任意， （2）方法二： 由a1=1，a2=4，a3=9，猜想：an=n2 下面用数学归纳法证明 1当n=1，时，由（1）知均成立； 2假设n=k（k≥2）成立，则，则n=k+1时 由①得 即② 由②左式，得，即，因为两端为整数， 则于是③ 又由②右式， 则 因为两端为正整数，则， 所以 又因时，为正整数，则④ 据③④，即时，成立 由1，2知，对任意， 更多试卷下载请访问：http://www.peiren.com/ 下载本文
