高2011级期末考试数学试卷

参及评分标准

命题人:邱旭  审题人:魏华

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

13.2;      14.{x|1三、解答题(本大题共6小题,共74分)

17.解:(1)由已知得f(x)=·=sinxcosx-cos2x  ……………………(2分)

                       ……………………………(4分)

                      =sin(2x). ………………………………(6分)

         所以函数f(x)的最小正周期T=π.………………………………(8分)

 (2)当x∈[0,]时,≤2x≤. …………………………(9分)

由函数y=sinx的单调性,可知≤sin(2x)≤1.………(11分)

所以f(x)的值域是[-1,].……………………………………(12分)

18.解:(1)由已知得=2,即=2. ……………(2分)

亦即2,于是tanα=-1.…………………………………(4分)

又因为α∈,所以α=.………………………………(6分)

(2)由题设条件及(1)得cos(β)=.

所以sin2β=sin[2(β)]=cos2(β) ………………(9分)

=2cos2(β)-1=2•-1=. ……………………………(12分)

或解:由cos(β)=得, (cosβ+sinβ)=. …………………(8分)

平方得(1+sin2β)=.………………………………………(10分)

解得sin2β=.…………………………………………………(12分)

19.解:由已知得, • =| |•| |cos120º=-2,所以||•||=4. ………(3分)

(1)由||=2得,| |=2.于是(-)•=•-•

=2•||cos120º-2•||cos120º=-||+||=0.

所以(-)⊥. …………………………………………………(6分)

(2)由++=得=-(+),所以

||2=2=(+)2=2+2+2•=||2+||2-4.………………(8分)

又因为||•||=4,所以||2+||2≥2||•||=8.

(当且仅当||=||=2时“等号”成立) ………………………(10分)

故||2≥4,即||的最小值为2. ………………………………(12分)

20.解:(1)由SΔABC=得absinC=2.………………………………………(2分)

由a2+b2=c2+4及余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得,abcosC=2.………(4分)

两式相除,得tanC=,从而C=60º.………………………………(6分)

(2)结合余弦定理c2=a2+b2-2abcosC及正弦定理得

sin2C=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC.………………………………(9分)

由C=60º得sin2A+sin2B-sinAsinB=. …………………………(12分)

或解:由C=60º得sin2A+sin2B-sinAsinB

=sin2A+sin2(120º-A)-sinAsin(120º-A)…………………………(8分)

=sin2A+(cosA+sinA)2-sinA(cosA+sinA) …………(10分)

= (sin2A+cos2A)=.……………………………………………(12分)

21.解:(1)由题意得≤0,即≤0.

整理得≤0,即≤0. …………(3分)

由于x2-x+1>0对x∈R恒成立，所以≤0.

于是原不等式的解集为{x|-1≤x≤1且x≠0}. …………………(6分)

(2)当k≥2时, < = - (k≥2,n∈N). ………………(8分)

所以当n≥2且n∈N时,f(1)+f()+f()+…+f()

=(1++…+)+(1+2+3+…+n)

<[1+(1-)+(-)+…+(-)]+(1+2+3+…+n)

=(2-)+…………………………………………………(10分)

<2+.

又当n=1时,2<3,不等式显然成立.

故f(1)+f()+f()+…+f()(n∈N*).…………(12分)

22.证明:(1)(ax2+by2)-(ax+by)2=a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy. ……………(2分)

由a+b=1得,上式=ab(x2+y2-2xy)=ab(x-y)2.……………………(4分)

由a>0,b>0得ab(x-y)2≥0.所以原不等式成立. ………………(6分)

     或证:因为a+b=1,所以

(ax2+by2)=(a+b)(ax2+by2)=a2x2+b2y2+ab(x2+y2). ………………(2分)

又因为x2+y2≥2xy,且a>0,b>0,所以ab(x2+y2)≥2abxy.………(4分)

故a2x2+b2y2+ab(x2+y2)≥a2x2+b2y2+2abxy=(ax+by)2.

          所以(ax2+by2)≥(ax+by)2.………………………………………(6分)

       (2) 

.

由a+b=m得,上式=. ……………………………(8分)

因为a>0,b>0,所以0又当m≥1时,函数在(0,+∞)内单调递增,所以

f(ab)≤f(),即≤.……(12分)

亦即≤.

所以原不等式成立. ……………………………………………(14分)下载本文