2.4等比数列
测试题
知识点一： 等比数列的概念及等比中项的求解
1．下面有四个结论：
①由第1项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列；
②常数列b，…，b一定为等比数列；
③等比数列{an}中，若公比q＝1，则此数列各项相等；
④等比数列中，各项与公比都不能为零．
其中正确的结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2.＋1与－1，两数的等比中项是( )
A．1 B．－1 C．±1 D.
3.对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列
知识点二: 等比数列的通项公式及运算
4．已知一等比数列的前三项依次为x,2x＋2,3x＋3，那么－13是此数列的第________项( )
A．2 B．4 C．6 D．8
5．(2014·东营高二检测)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1， a3,2a2成等差数列，则＝( )
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
6．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是后面两项的和，则其公比是( )
A. B.
C. D.
7.若正项数列{an}满足lg an＋1＝1＋lg an，且a2 001＋a2 002＋a2 003＋…＋a2 010＝2 014，则a2 011＋a2 012＋a2 013＋…＋a2 020的值为( )
A．2 014×1010 B．2 014×1011
C．2 015×1010 D．2 015×1011
8．(2015·山西四校联考)等比数列{an}满足an＞0，n∈N*，且a3·a2n－3＝22n(n≥2)，则当n≥1时，log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1＝( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2 D．(n－1)2
9.在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________.
10．等比数列{an}中，a1＝，an＝，公比q＝，则n＝________.
11．数列{an}为等比数列，an＞0，若a1·a5＝16，a4＝8，则an＝________.
知识点三: 等比数列通项的简单应用
12．在6和768之间插入6个数，使它们组成共的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．
13.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.
14.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．
15．(2014·潍坊高二检测)在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)－是否为该数列的项？若是，为第几项？
16．等比数列{an}中，a2＝32，a8＝，an＞an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2an，求Tn的最大值．
知识点四：等比数列的判断与证明
17.已知等比数列{bn}与数列{an}满足bn＝3an(n∈N*)．
(1)判断{an}是何种数列，并给出证明；
(2)若a8＋a13＝m，求b1·b2·…·b20.
18．已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝an＋，n∈N*.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
19.数列{an}中，a1＝2，a2＝3，且{anan＋1}是以3为公比的等比数列，记bn＝a2n－1＋a2n(n∈N*)．
(1)求a3，a4，a5，a6的值；
(2)求证：{bn}是等比数列．
20．已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．
【参】
| 1 | C 【解析】 ①错误，当乘以的常数为零时，不是等比数列；②错误，b＝0时，不是等比数列；③④正确．故答案选C. |
| 2 | C 【解析】 设两数的等比中项为G，则G2＝(＋1)(－1)＝1， ∴G＝±1. |
| 3. | D 【解析】由等比数列的性质得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D. |
| 4 | B 【解析】 由x,2x＋2,3x＋3成等比数列，可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或－4，又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x＝－4， ∴该数列是首项为－4，公比为的等比数列，其通项an＝－4n－1，由－4n－1＝－13，得n＝4. |
| 5 | C 【解析】 由题意知a3＝a1＋2a2，从而q2＝1＋2q，∵q＞0，∴q＝1＋ ＝q2＝3＋2，故选C. |
| 6 | D 【解析】 由已知得an＝an＋1＋an＋2， 即a1qn－1＝a1qn＋a1qn＋1， ∴q2＋q＝1，解得q＝. 又q>0，∴q＝. |
| 7 | A 【解析】 由条件知lg an＋1－lg an＝lg＝1，即＝10，所以{an}是公比为10的等比数列．因为(a2 001＋…＋a2 010)·q10＝a2 011＋…＋a2 020，所以a2 011＋…＋a2 020＝2 014×1010，选A. |
| 8. | A 【解析】由等比数列的性质，得a3·a2n－3＝a＝22n，从而得an＝2n. 法一：log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1＝log2[(a1a2n－1)·(a2a2n－2)·…·(an－1an＋1)an]＝log22n(2n－1)＝n(2n－1)． 法二：取n＝1，log2a1＝log22＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B，D；取n＝2，log2a1＋log2a2＋log2a3＝log22＋log24＋log28＝6，而22＝4，排除C，选A. |
| 9. | 14 【解析】设数列{an}的公比为q， 由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12， 可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324， 因此q3n－6＝81＝34＝q36， 所以n＝14. |
| 10 | 4. 【解析】 由an＝a1qn－1，得＝n－1，即n－1＝.故n＝4. |
| 11 | 2n－1 【解析】 由a1·a5＝16，a4＝8，得aq4＝16，a1q3＝8，所以q2＝4，又an＞0，故q＝2，a1＝1，an＝2n－1. |
| 12 | 192 【解析】 由条件得，768＝6×q7，解得q＝2. ∴a6＝6×25＝192. |
| 13 | 50 【解析】因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5， 所以a10a11＝e5. 所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20) ＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)] ＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10ln e5＝50. |
| 14 | 4 【解析】设等比数列{an}的公比为q，q>0，则a8＝a6＋2a4即为a4q4＝a4q2＋2a4，解得q2＝2(负值舍去)，又a2＝1，所以a6＝a2q4=4. |
| 15 | 【解】 (1)∵2an＝3an＋1，∴＝，数列{an}是公比为的等比数列，又a2·a5＝，所以a5＝3，由于各项均为负，故a1＝－，an＝－n－2. (2)设an＝－，则－＝－n－2， n－2＝4，n＝6，所以－是该数列的项，为第6项． |
| 16 | 【解】(1)由a2＝a1q＝32，a8＝a1q7＝及an＞an＋1得，q＝，a1＝，所以an＝×n－1，即an＝n－7 (2)令bn＝log2an＝log2n－7＝7－n，则{bn}为等差数列，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝－2＋，因为n∈N*，n＝6或7时，Tn取得最大值，最大值为21. |
| 17 | 【解】 (1)设数列{bn}的公比为q，则q>0. ∵bn＝3an，∴b1＝3a1， ∴bn＝3a1·qn－1＝3an. 方程两边取以3为底的对数得 an＝log3(3a1·qn－1) ＝a1＋(n－1)log3q. ∴数列{an}是以log3q为公差的等差数列． (2)∵a1＋a20＝a8＋a13＝m， ∴a1＋a2＋…＋a20＝＝10m. ∴b1·b2·…·b20＝3a1·3a2·…·3a20 ＝3a1＋a2＋…＋a20＝310m. |
| 18 | 【解】 (1)证明：∵an＋1＝an＋， ∴an＋1－＝an＋－＝. ∴＝. ∴为首项为，公比为的等比数列． (2)∵an－＝×n－1， ∴an＝×n－1＋. |
| 19 | 解析： (1)∵{anan＋1}是公比为3的等比数列， ∴anan＋1＝a1a2·3n－1＝2·3n， ∴a3＝＝6，a4＝＝9， a5＝＝18，a6＝＝27. (2)∵{anan＋1}是公比为3的等比数列， ∴anan＋1＝3an－1an，即an＋1＝3an－1 ， ∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…，与a2，a4，a6，…，a2n，…，都是公比为3的等比数列． ∴a2n－1＝2·3n－1，a2n＝3·3n－1， bn＝a2n－1＋a2n＝5·3n－1， ∴＝＝3.故{bn}是以5为首项，3为公比的等比数列． |
| 20 | 解析：依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，于是bn＝3－n. 而＝＝－1＝2.(n≥2) ∴数列{bn}是公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3. |
