一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）()

A ．2-

B ．12-

C ．12

D ．2 2．（3分）2022年5月，四川省发展和改革委员会下达了保障性安居工程2022年第一批预算内投资计划，泸州市获得75500000元预算内资金支持，将75500000用科学记数法表示为()

A ．67.5510⨯

B ．675.510⨯

C ．77.5510⨯

D ．775.510⨯

3．（3分）如图是一个由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是()

A ．

B ．

C ．

D ．

4．（3分）如图，直线//a b ，直线c 分别交a ，b 于点A ，C ，点B 在直线b 上，AB AC ⊥，若1130∠=︒，则2∠的度数是()

A ．30︒

B ．40︒

C ．50︒

D ．70︒

5．（3分）下列运算正确的是()

A ．236a a a ⋅=

B ．321a a -=

C ．236(2)8a a -=-

D ．623a a a ÷=

6．（3分）费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年

轻的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）:29，32，33，35，35，40，则这组数据的众数和中位数分别是()

A ．35，35

B ．34，33

C ．34，35

D ．35，34

7．（3分）与2()

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

8．（3分）抛物线2112

y x x =-++经平移后，不可能得到的抛物线是() A ．212y x x =-+B ．2142

y x =-- C ．21202120222

y x x =-+-D ．21y x x =-++ 9．（3分）已知关于x 的方程22(21)0x m x m --+=的两实数根为1x ，2x ，

若12(1)(1)3x x ++=，则m 的值为()

A ．3-

B ．1-

C ．3-或1

D ．1-或3

10．（3分）如图，AB 是O 的直径，OD 垂直于弦AC 于点D ，

DO 的延长线交O 于点E ．若

AC =，4DE =，则BC 的长是()

A ．1

B ．2D ．4

11．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(10,4)，四边形ABEF 是菱形，且4tan 3

ABE ∠=．若直线l 把矩形OABC 和菱形ABEF 组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l 的解析式为()

B ．31542

y x =-+C ．211y x =-+D ．212y x =-+ 12．（3分）如图，在边长为3的正方形ABCD 中，点E 是边AB 上的点，且2BE AE =，过点E 作DE 的垂线交正方形外角CBG ∠的平分线于点F ，交边BC 于点M ，连接DF 交边BC 于点N ，则MN 的长为()

A ．23

B ．56

C ．67

D ．1 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）．

13．（3分）点(2,3)-关于原点的对称点的坐标为．

14．（3分）若2(2)|3|0a b -++=，则ab =．

15．（3分）若方程

33122x x x

-+=--的解使关于x 的不等式(2)30a x -->成立，则实数a 的取值范围是．

16．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，BC =，半径为1的O 在Rt ABC ∆内平移(O 可以与该三角形的边相切），则点A 到O 上的点的距离的最大值为．

三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．

17．（6分）计算：011245||2

-+︒--． 18．（6分）如图，E ，F 分别是ABCD 的边AB ，CD 上的点，

已知AE CF =．求证：DE BF =．

19．（6分）化简：22311(1)m m m m m

-+-+÷． 四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．

20．（7分）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m 名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：

（1）m =，a =；

（2）若该校学生有0人，试估计劳动时间在23t 剟

范围的学生有多少人？ （3）劳动时间在2.53t 剟

范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．

21．（7分）某经销商计划购进A ，B 两种农产品．已知购进A 种农产品2件，B 种农产品3件，共需690元；购进A 种农产品1件，B 种农产品4件，共需720元．

（1）A ，B 两种农产品每件的价格分别是多少元？

（2）该经销商计划用不超过5400元购进A ，B 两种农产品共40件，且A 种农产品的件数不超过B 种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A 种每件160元，B 种每件200元的价格全部售出，那么购进A ，B 两种农产品各多少件时获利最多？

五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．

3

2

y x b

=-+与反比例函数

12

y

x

=的图象相交于点A，B，已知点A

的纵坐标为6．

（1）求b的值；

（2）若点C是x轴上一点，且ABC

∆的面积为3，求点C的坐标．

23．（8分）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30︒方向，且A，D相距10n mile．该渔船自西向东航行一段时间后到达

点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距mile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．

六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．

24．（12分）如图，点C在以AB为直径的O上，CD平分ACB

∠交O于点D，交AB于点E，过点D作O的切线交CO的延长线于点F．

（1）求证：//

FD AB；

（2）若AC=BC=FD的长．

25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax x c =++经过(2,0)A -，(0,4)B 两点，直线3x =与x 轴交于点C ．

（1）求a ，c 的值；

（2）经过点O 的直线分别与线段AB ，直线3x =交于点D ，E ，且B D O ∆与OCE ∆的面积相等，求直线DE 的解析式；

（3）P 是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC 和直线3x =上是否分别存在点F ，G ，使B ，F ，G ，P 为顶点的四边形是以BF 为一边的矩形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

2022年四川省泸州市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）()

A ．2-

B ．12-

C ．12

D ．2 【分析】根据算术平方根的定义判断即可．

【解答】解：2-． 故选：A ．

2．（3分）2022年5月，四川省发展和改革委员会下达了保障性安居工程2022年第一批预算内投资计划，泸州市获得75500000元预算内资金支持，将75500000用科学记数法表示为()

A ．67.5510⨯

B ．675.510⨯

C ．77.5510⨯

D ．775.510⨯

【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <…，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当

原数绝对值10…

时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数． 【解答】解：7755000007.5510=⨯， 故选：C ．

3．（3分）如图是一个由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是()

A ．

B ．

C ．

D ．

【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据俯视图是从上面看到的图形判定则可．

【解答】解：从物体上面看，底层有一个正方形，上层有四个正方形． 故选：C ．

4．（3分）如图，直线//a b ，直线c 分别交a ，b 于点A ，C ，点B 在直线b 上，AB AC ⊥，若1130∠=︒，则2∠的度数是()

A ．30︒

B ．40︒

C ．50︒

D ．70︒

【分析】首先利用平行线的性质得到1DAC ∠=∠，然后利用AB AC ⊥得到90BAC ∠=︒，最后利用角的和差关系求解． 【解答】解：如图所示， 直线//a b ， 1DAC ∴∠=∠，

1130∠=︒， 130DAC ∴∠=︒，

又AB AC ⊥，

90BAC ∴∠=︒，

21309040DAC BAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．

故选：B ．

5．（3分）下列运算正确的是()

A ．236a a a ⋅=

B ．321a a -=

C ．236(2)8a a -=-

D ．623a a a ÷=

【分析】选项A 根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；选项B 根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；选项C 根据积的乘方运算法则判断即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；选项D 根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． 【解答】解：A ．235a a a ⋅=，故本选项不合题意； B ．32a a a -=，故本选项不合题意；

C ．236(2)8a a -=-，故本选项符合题意；

D ．624a a a ÷=，故本选项不合题意；

故选：C ．

6．（3分）费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）:29，32，33，35，35，40，则这组数据的众数和中位数分别是() A ．35，35B ．34，33C ．34，35D ．35，34 【分析】根据中位数和众数的定义求解可得． 【解答】解：35出现的次数最多， ∴这组数据的众数是35，

把这些数从小到大排列，排在中间的两个数分别为33、35，故中位数为3335

342

+=， 故选：D ．

7．（3分）与2() A ．4B ．5C ．6D ．7

【分析】 【解答】解：3154<<，而1591615->-，

∴更接近4，

2∴更接近6，

故选：C ．

8．（3分）抛物线21

12y x x =-++经平移后，不可能得到的抛物线是()

A ．212y x x =-+

B ．21

42

y x =--

C ．21

202120222

y x x =-+-D ．21y x x =-++

【分析】根据抛物线的平移规律，可得答案．

【解答】解：将抛物线21

12y x x =-++经过平移后开口方向不变，开口大小也不变，

∴抛物线21

12

y x x =-++经过平移后不可能得到的抛物线是21y x x =-++．

故选：D ．

9．（3分）已知关于x 的方程22(21)0x m x m --+=的两实数根为1x ，2x ，若12(1)(1)3x x ++=，则m 的值为()

A ．3-

B ．1-

C ．3-或1

D ．1-或3

【分析】根据方程22(21)10x m x m --+-=的两实数根为1x ，2x ，得出12x x +与12x x 的值，

再根据22123x x +=，即可求出m 的值．

【解答】解：方程22(21)0x m x m --+=的两实数根为1x ，2x ， 1221x x m ∴+=-，212x x m =， 121212(1)(1)13x x x x x x ++=+++=，

22113m m ∴+-+=，

解得：11m =，23m =-， 方程有两实数根，

∴△22(21)40m m =--…

， 即1

4

m …

， 21m ∴=（不合题意，舍去）， 3m ∴=-；

故选：A ．

10．（3分）如图，AB 是O 的直径，OD 垂直于弦AC 于点D ，DO 的延长线交O 于点E ．若

AC =，4DE =，则BC 的长是()

A ．1

B ．2D ．4

【分析】由垂径定理可知，点D 是AC 的中点，则OD 是ABC ∆的中位线，所以1

2

OD BC =

，设OD x =，则2BC x =，则4OE x =-，282AB OE x ==-，在Rt ABC ∆中，由勾股定理可

得222AB AC BC =+，即222(82)(2)x x -=+，求出x 的值即可得出结论． 【解答】解：AB 是O 的直径，

90C ∴∠=︒， OD AC ⊥， ∴点D 是AC 的中点，

OD ∴是ABC ∆的中位线， //OD BC ∴，且1

2

OD BC =

， 设OD x =，则2BC x =， 4DE =， 4OE x ∴=-， 282AB OE x ∴==-，

在Rt ABC ∆中，由勾股定理可得，222AB AC BC =+，

222(82)(2)x x ∴-=+，

解得1x =． 22BC x ∴==．

故选：C ．

11．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(10,4)，四边形ABEF 是菱形，且4

tan 3

ABE ∠=

．若直线l 把矩形OABC 和菱形ABEF 组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l 的解析式为()

A ．3y x =

B ．315

42

y x =-+C ．211y x =-+D ．212y x =-+

【分析】分别求出矩形OABC 和菱形ABEF 的中心的坐标，利用待定系数法求经过两中心的直线即可得出结论．

【解答】解：连接OB ，AC ，它们交于点M ，连接AE ，BF ，它们交于点N ，

则直线MN 为符合条件的直线l ，如图，

四边形OABC 是矩形， OM BM ∴=．

B 的坐标为(10,4)，

(5,2)M ∴，10AB =，4BC =．

四边形ABEF 为菱形， 10BE AB ==．

过点E 作EG AB ⊥于点G ， 在Rt BEG ∆中， 4tan 3

ABE ∠=， ∴

4

3

EG BG =， 设4EG k =，则3BG k =，

5BE k ∴==，

510k ∴=， 2k ∴=，

8EG ∴=，6BG =，

4AG ∴=．

(4,12)E ∴．

B 的坐标为(10,4)，//AB x 轴，

(0,4)A ∴．

点N 为AE 的中点， (2,8)N ∴．

设直线l 的解析式为y ax b =+，

∴5228a b a b +=⎧⎨+=⎩

， 解得：212a b =-⎧⎨=⎩

， ∴直线l 的解析式为212y x =-+，

故选：D ．

12．（3分）如图，在边长为3的正方形ABCD 中，点E 是边AB 上的点，且2BE AE =，过点E 作DE 的垂线交正方形外角CBG ∠的平分线于点F ，交边BC 于点M ，连接DF 交边BC 于点N ，则MN 的长为()

A ．23

B ．56

C ．67

D ．1 【分析】根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质，可以求得CN 和BN 的长，然后根据3BC =，即可求得MN 的长．

【解答】解：作FH BG ⊥交于点H ，作FK BC ⊥于点K ， BF 平分CBG ∠，90KBH ∠=︒，

∴正方形BHFK 是正方形，

DE EF ⊥，90EHF ∠=︒，

90DEA FEH ∴∠+∠=︒，90EFH FEH ∠+∠=︒，

DEA EFH ∴∠=∠，

90A EHF ∠=∠=︒，

DAE EHF ∴∆∆∽， ∴AD AE HE HF

=， 正方形ABCD 的边长为3，2BE AE =，

1AE ∴=，2BE =，

设FH a =，则BH a =，

31

2a a

=

+

，

解得1

a=；

FM CB

⊥，DC CB

⊥，DCN FKN

∴∆∆

∽，

∴

DC CN

FM KN

=，

3

BC=，1

BK=，

2

CK

∴=，

设CN b

=，则2

NK b

=-，

∴3

12

b

b

=

-

，

解得

3

2

b=，

即

3

2

CN=，A EBM

∠=∠，AED BME

∠=∠，ADE BEM

∴∆∆

∽，

∴AD AE BE BM

=，

∴31

2BM =，

解得

2

3

BM=，

325

3

236

MN BC CN BM

∴=--=--=，

故选：B．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）．

13．（3分）点(2,3)

-关于原点的对称点的坐标为(2,3)

-．

【分析】平面直角坐标系中任意一点(,)

P x y，关于原点的对称点是(,)

x y

--，即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．

【解答】解：点(2,3)M -关于原点对称，

∴点(2,3)M -关于原点对称的点的坐标为(2,3)-．

故答案为(2,3)-．

14．（3分）若2(2)|3|0a b -++=，则ab =6-．

【分析】根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

【解答】解：由题意得，20a -=，30b +=，

解得2a =，3b =-，

所以，2(3)6ab =⨯-=-．

故答案为：6-．

15．（3分）若方程33122x x x

-+=--的解使关于x 的不等式(2)30a x -->成立，则实数a 的取值范围是1a <-．

【分析】先解分式方程，再将x 代入不等式中即可求解．

【解答】解：33122x x x

-+=--， 323222

x x x x x ---+=---， 2202

x x -=-， 解得：1x =，

20x -≠，20x -≠，

1x ∴=是分式方程的解，

将1x =代入不等式(2)30a x -->，得：

230a -->，

解得：1a <-，

∴实数a 的取值范围是1a <-，

故答案为：1a <-．

16．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，BC =，半径为1的O 在Rt ABC ∆

内平移(O 可以与该三角形的边相切），则点A 到O 上的点的距离的最大值为1．

【分析】连接OE 、OF ，根据正切的定义求出ABC ∠，根据切线长定理得到30OBF ∠=︒，根据含30︒角的直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．

【解答】解：当O 与BC 、BA 都相切时，连接AO 并延长交O 于点D ，则AD 为点A 到O 上的点的距离的最大值，

设O 与BC 、BA 的切点分别为E 、F ，连接OE 、OF ，

则OE BC ⊥，OF AB ⊥，

6AC =，BC =

tan AC ABC BC

∴∠==AB == 60ABC ∴∠=︒，

30OBF ∴∠=︒，

tan OF BF OBF

∴=∠

AF AB BF ∴=-=

OA ∴=

1AD ∴=，

故答案为：1．

三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．

17．（6分）计算：011245||2

-+︒--． 【分析】根据实数的运算法则，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值直

接计算即可．

【解答】

解：原式11122

=+

- 111122=++- 11=+

2=．

18．（6分）如图，E ，F 分别是ABCD 的边AB ，CD 上的点，

已知AE CF =．求证：DE BF =．

【分析】根据平行四边形的性质，可以得到A C ∠=∠，AD CB =，再根据AE CF =，利用SAS 可以证明ADE ∆和CBF ∆全等，然后即可证明结论成立．

【解答】证明：四边形ABCD 是平行四边形，

A C ∴∠=∠，AD C

B =，

在ADE ∆和CBF ∆中，

AD CB A C AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

()ADE CBF SAS ∴∆≅∆，

DE BF ∴=．

19．（6分）化简：22311(1)m m m m m

-+-+÷． 【分析】先把括号部分通分并计算加法，再根据分式的乘除法法则化简即可．

【解答】解：原式22311m m m m m m

-++-=÷ 22211

m m m m m -+=⋅- 2(1)(1)(1)

m m m m m -=⋅+- 11

m m -=+． 四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．

20．（7分）劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确

的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m 名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：

（1）m =80，a =；

（2）若该校学生有0人，试估计劳动时间在23t 剟

范围的学生有多少人？ （3）劳动时间在2.53t 剟

范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．

【分析】（1）用A 组人数除以它所占的百分比得到m 的值，然后m 分别减去A 、C 、D 、E 组的人数得到a 的值；

（2）用0乘以D 、E 组的人数所占的百分比的和即可；

（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）1215%80m =÷=，

801228120a =----=；

故答案为：80；20；

（2）1016080

+⨯=（人)， 所以估计劳动时间在23t 剟

范围的学生有160人； （3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， 所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率82123

==． 21．（7分）某经销商计划购进A ，B 两种农产品．已知购进A 种农产品2件，B 种农产品3件，共需690元；购进A 种农产品1件，B 种农产品4件，共需720元．

（1）A ，B 两种农产品每件的价格分别是多少元？

（2）该经销商计划用不超过5400元购进A ，B 两种农产品共40件，且A 种农产品的件数不超过B 种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A 种每件160元，B 种每件200元的价格全部售出，那么购进A ，B 两种农产品各多少件时获利最多？

【分析】（1）设每件A 种农产品的价格是x 元，每件B 种农产品的价格是y 元，根据“购进A 种农产品2件，B 种农产品3件，共需690元；购进A 种农产品1件，B 种农产品4件，共需720元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设该经销商购进m 件A 种农产品，则购进(40)m -件B 种农产品，利用总价=单价⨯数量，结合购进A 种农产品的件数不超过B 种农产品件数的3倍且总价不超过5400元，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，设两种农产品全部售出后获得的总利润为w 元，利用总利润=每件的销售利润⨯销售数量，即可得出w 关于m 的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．

【解答】解：（1）设每件A 种农产品的价格是x 元，每件B 种农产品的价格是y 元，

依题意得：236904720

x y x y +=⎧⎨+=⎩，

解得：120150x y =⎧⎨=⎩

． 答：每件A 种农产品的价格是120元，每件B 种农产品的价格是150元．

（2）设该经销商购进m 件A 种农产品，则购进(40)m -件B 种农产品，

依题意得：3(40)120150(40)5400m m m m -⎧⎨+-⎩

……， 解得：2030m 剟

．

设两种农产品全部售出后获得的总利润为w 元，则

(160120)(200150)(40)102000w m m m =-+--=-+．

100-<， w ∴随m 的增大而减小，

∴当20m =时，w 取得最大值，此时40402020m -=-=．

答：当购进20件A 种农产品，20件B 种农产品时获利最多．

五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．

22．（8分）如图，直线32y x b =-+与反比例函数12y x

=的图象相交于点A ，B ，已知点A 的纵坐标为6．

（1）求b 的值；

（2）若点C 是x 轴上一点，且ABC ∆的面积为3，求点C 的坐标．

【分析】（1）先求出点A 坐标，代入解析式可求解；

（2）先求出点D 坐标，由面积的和差关系可求2CD =，即可求解．

【解答】解：（1）点A 在反比例函数12y x

=

上，且A 的纵坐标为6， ∴点(2,6)A ， 直线32

y x b =-+经过点A ， 3622

b ∴=-⨯+， 9b ∴=；

（2）如图，设直线AB 与x 轴的交点为D ，

设点(,0)C a ，

直线AB 与x 轴的交点为D ，

∴点(6,0)D ， 由题意可得：39212y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

， ∴1126x y =⎧⎨=⎩，22

43x y =⎧⎨=⎩， ∴点(4,3)B ，

ACB ACD BCD S S S ∆∆∆=-，

13(63)2

CD ∴=⨯⨯-， 2CD ∴=，

∴点(4,0)C 或(8,0)．

23．（8分）如图，海中有两小岛C ，D ，某渔船在海中的A 处测得小岛C 位于东北方向，小岛D 位于南偏东30︒方向，且A ，D 相距10n mile ．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B ，此时测得小岛C 位于西北方向且与点B

相距mile ．求B ，D 间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．

【分析】由勾股定理求出AB 过D 作DH AB ⊥于H ，分别在Rt ADH ∆中和Rt BDH ∆中，解直角三角形即可求出BD ．

【解答】解：由题意得，45CAB ABC ∠=∠=︒，BC =mile ． 90C ∴∠=︒，

8

AB ∴==16(n )mile ，

过D 作DH AB ⊥于H ，

则90AHD BHD ∠=∠=︒， 在Rt ADH ∆中，30ADH ∠=︒，10AD n =mile ，cos DH ADH AD ∠=，

1

52

AH AD n ∴==mile ，10cos3010DH =⋅︒== 11BH AB AH n ∴=-=mile ，

在Rt BDH ∆中，

14(BD n )mile ， 答：B ，D 间的距离是14n mile ．

六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．

24．（12分）如图，点C 在以AB 为直径的O 上，CD 平分ACB ∠交O 于点D ，交AB 于点E ，过点D 作O 的切线交CO 的延长线于点F ．

（1）求证：//FD AB ；

（2）若AC =BC =FD 的长．

【分析】（1）连接OD ，证明DF OD ⊥，AB OD ⊥，可得结论；

（2）过点C 作CH AB ⊥于点H ．利用勾股定理求出AB ，利用面积法求出CH ，证明CHO ODF ∆∆∽，推出CH OH OD DF

=，由此求出DF 即可． 【解答】（1）证明：连接OD ． DF 是O 的切线，

OD DF ∴⊥， CD 平分ACB ∠，

∴AD DB =，

OD AB ∴⊥，

//AB DF ∴；

（2）解：过点C 作CH AB ⊥于点H ． AB 是直径，

90ACB ∴∠=︒，

5BC =AC =

5AB ∴==， 1122

ABC S AC BC AB CH ∆=⋅⋅=⋅⋅，

2CH ∴==，

1BH ∴=，

53122

OH OB BH ∴=-=-=，

//DF AB ，

COH F ∴∠=∠，

90CHO ODF ∠=∠=︒，

CHO ODF ∴∆∆∽，

∴， ∴3

2252

DF

=， 158

DF ∴=．

25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax x c =++经过(2,0)A -，(0,4)B 两点，直线3x =与x 轴交于点C ．

（1）求a ，c 的值；

（2）经过点O 的直线分别与线段AB ，直线3x =交于点D ，E ，且B D O ∆与OCE ∆的面积相等，求直线DE 的解析式；

（3）P 是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC 和直线3x =上是否分别存在点F ，G ，使B ，F ，G ，P 为顶点的四边形是以BF 为一边的矩形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把(2,0)A -，(0,4)B 两点代入抛物线2y ax x c =++中列方程组解出即可；

（2）利用待定系数可得直线AB 的解析式，再设直线DE 的解析式为：y mx =，点D 是直线DE 和AB 的交点，列方程可得点D 的横坐标，根据BDO ∆与OCE ∆的面积相等列等式可解答；

（3）设21(,4)2

P t t t -++，分两种情况：作辅助线构建相似三角形，证明三角形相似或利用等角的三角函数列等式可解答．

【解答】解：（1）把(2,0)A -，(0,4)B 两点代入抛物线2y ax x c =++中得：4204a c c -+=⎧⎨=⎩

解得：124

a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩；

（2）由（2）知：抛物线解析式为：2142

y x x =-++， 设直线AB 的解析式为：y kx b =+，

则204k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：24k b =⎧⎨=⎩

， AB ∴的解析式为：24y x =+，

设直线DE 的解析式为：y mx =，

24x mx ∴+=，

42

x m ∴=-， 当3x =时，3y m =，

(3,3)E m ∴，

BDO ∆与OCE ∆的面积相等，CE OC ⊥， ∴1143(3)4222m m

⋅⋅-=⋅⋅-， 2918160m m ∴--=，

(32)(38)0m m ∴+-=，

123m ∴=-，283

m =（舍)， ∴直线DE 的解析式为：23

y x =-； （3）存在，

B ，F ，G ，P 为顶点的四边形是以BF 为一边的矩形有两种情况： 设21(,4)2

P t t t -++， ①如图1，过点P 作PH y ⊥轴于H ，

四边形BPGF 是矩形，

BP FG ∴=，90PBF BFG ∠=∠=︒，

90CFG BFO BFO OBF CFG CGF OBF PBH ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒， PBH OFB CGF ∴∠=∠=∠，

90PHB FCG ∠=∠=︒，

()PHB FCG AAS ∴∆≅∆，

PH CF ∴=，

CF PH t ∴==，3OF t =-，

PBH OFB ∠=∠， ∴PH OB BH OF =，即2413442

t t

t t =--++-， 解得：10t =（舍)，21t =，

(2,0)F ∴；

②如图2，过点G 作GN y ⊥轴于N ，过点P 作PM x ⊥轴于M ，

同①可得：3NG FM ==，3OF t =-， OFB FPM ∠=∠， tan tan OFB FPM ∴∠=∠， ∴OB FM OF PM =，即2431342

t t t =--++，

解得：1t =2t =)，

F ∴，0)；

综上，点F 的坐标为(2,0)或0)．下载本文