一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分; 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 集合，集合，则中的元素的个数（ ）
A． 0 个 B．无数个 C． 4个 D． 6个
【答案】D
2．函数的最小正周期是
A． B． C． D．
【答案】A
3．一束光线从点发出并经轴反射，到达圆上一点的最短路程是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 原问题可转化为：点关于轴的对称点
到达圆的最短路程，画图可知其值为 ．
4. 函数的图象大致是( )
A B C D
【答案】A
【解析】考察函数增长模型以及零点存在性判定。易知时， 但是，当时， 而当时，， 即除2以外存在函数的第二个零点，因此选A.
5. 设等比数列的公比，前n项和为，则（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】C
6. 将边长为2的正△沿高折成直二面角, 则三棱锥的外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】D
法1 找球心. 如图, 易证AD⊥平面B1DC, DB1=DC=1, 且∠B1DC=90°, 作DB1EC为正方形,连AE, 则AE的中点为B－ADC的外接球球心, 而AE2= 12+12+()2= 5, AE= , r=, 外接球为表面积4πr2= 4π()2= 5π.
法2. 构造长方体, 把三棱锥B－ADC放入长方体中, 则长方体的对角线为三棱锥B－ADC的外接球的直径. AD=, BD=DC=1, 对角线长为, ∴ r=, 外接球为表面积4πr2= 4π()2= 5π.
7．已知A、B、C是不在同一直线上的三个点,O是平面ABC内一定点，P是平面ABC内一动点，若，则点P的轨迹必过ABC的 （ ）
A.外心 B. 重心 C. 内心 D.垂心
【答案】B
【解析】由 则点P的轨迹必过ABC的重心,故选B.
8.直线的方程满足:
，则此直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ,故选C.
9．已知直线与直线的交点位于第一象限，则实数 的取值范围（ ）
A. B.或 C. D.
【答案】A
【解析】 y=kx+2k+1恒过定点,直线y=x+2与x、y轴分别交于,,,. y
B
P
O A x
10.等差数列的前项和为,且.设,则当数列的前项和取得最大值时, 的值是 ( )
A.23 B.25 C.23或24 D. 23或25
【答案】D
【解析】由得,
于是且 所以最大,故选D.
11. 已知函数是定义在R上的奇函数,函数的图象与函数的图象关于直线对称,若则等于 ( )
A.-2 B. 4 C.-4 D. 2
【答案】B
【解析】由函数是奇函数,可知的图象关于点(0,0)对称,则函数的图象关于点(2,1)对称. 又因为函数的图象与函数的图象关于直线对称,所以函数的图象关于点(1,2)对称.由即则,即,故选B.
12. 如右图,在正方体中，给出下列四个命题
①点P在直线上运动时，三棱锥的体积不变；
②电P在直线上运动时，直线AP与平面所成角大小不变;
③点P在直线上运动时，二面角的大小不变；
④点M是平面上到点D和距离相等的点，则点M的轨迹是过点的直线.其中正确的编号是（ ）
A、①② B、②③ C、①③ D、①③④
【答案】C
【解析】设到平面的距离为∥平面不变. ①正确； 无论怎样运动，二面角的大小即二面角的大小，∴③正确。
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
13. 若偶函数满足,则 ___________ 解:
因为函数是偶函数，所以函数图像关轴对称。当 函数是单调增，且. 于是.
所以
14. 函数的图象恒过定点, 若点在直线上, 其中, 则的最小值为 。
解：4， ∵恒过(0,1)点, ∴ 恒过(1,1)点, 代入中, 有,∴， 当且仅当时取"=".
15. 已知向量，实数满足
的最大值为 ______________
解：16，
16.设,则的值为 .
解: ，设
则 两式相加,得
2
注意到每个中括号中被作用的两个量的和均为1,故先考虑一般情况:
由于
因此2,所以
三、解答题（本大题共6个小题，共70分, 17题满分10分，18至22题满分12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本题满分10分)
已知函数。
（1）求的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由。
解：（1）令，
则需要满足：，
所以函数的定义域是。
（2）因为函数的定义域是，且对任意，有
，
所以函数是偶函数。
18. 在中，三个内角满足
（1）求角的大小；
（2）若的面积为4，求周长的最小值。
解:
19. 在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线 相切。
（1）求圆的方程；
（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使、、成等比数列，求的取值范围。
解: （1）圆O的半径r等于原点到直线的距离即,则圆O的方程为 . ………….. 5分
(2)不妨设。由得
∵· ∴ ∴… …①
∵P是圆内点 ∴… …②，由①、②得：
,=,∴. ………… 12分
20. (本题满分12分)
证明：①连结
——4′
②连结,,连结交于
—————8′
③点到面的距离可以转化为点到面的距离，进而可以转化为点到面的距离的2倍。由第②题，过点作，垂足为。
因为，所以，又因为，所以
因为，所以
所以点到面的距离的距离为。 ——————12
21.(本题满分12分)
某饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5千美元～8千美元的地区销售公司A饮料的情况的调查中发现,人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售最多,然后向两边递减.
(1)下列几个模拟函数中（x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销量，单位：升），用哪个模拟函数来描述人均A饮料销量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由.①，②，③,④.
(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2升；若人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5升，把（1）中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销量最多是多少？
（3）因为A饮料在B国被检测出杀虫剂的含量超标，受此事件的影响，A饮料在人均GDP低于3千美元和高于6千美元的地区销量下降5%，其他地区的销量下降10%，根据(2)所求出的模拟函数，求出各个地区中，年人均A饮料的销量最多是多少？
解：（1）用函数来描述A饮料销量与地区的人均GDP的关系更合适.因为函数，，在其定义域内都是单调函数，不具备先递增后递减的特征。 ……………3分
（2）依题意知，函数过点（1，2）和（4，5）、则有
,解得
所以在各地区中，当时，年人均A饮料销量最多是升. ……7分
（3）依题意知，当或时，，
因为函数在上为增函数，所以，
因为函数在上是减函数，所以，
当时，，
因为<，所以在各地区中，当时，年人均A饮料销量最多
为升。 ………..12分
22. (本题满分12分)
已知各项均为正数的数列的前项和满足
且
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，并记为的前项和，求证：
解：（1）由解得当时， ……………………………… 2分
整理得：, 化简得：, …………4分
所以是公差为2，首项为1的等差数列, 即
………………………6分
（2）证法一：
由可解得
从而 ……8分
因此
令
则, 故 ………10分
特别地, 从而
即 ………12分
证法二：同证法一求得及.
由二项式定理知，当时，不等式成立。
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