一、选择题（共8小题）.
1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，∠CAB＝∠DBA，再添加一个条件，不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC＝BD B．AD＝BC C．∠DAB＝∠CBA D．∠C＝∠D
3．如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AD＝BD B．AE＝AC C．ED+EB＝DB D．AE+CB＝AB
4．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝1.5 b＝2 c＝2.5 B．a：b：c＝5：12：13
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
5．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．每个直角三角形的两条直角边的长分别是3cm和6cm，则中间小正方形的面积是（ ）
A．9cm2 B．36cm2 C．27cm2 D．45cm2
6．如图，长为12cm的橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B然后把中点C竖直向上拉升4.5cm至点D处，则拉长后橡皮筋的长为（ ）
A．20cm B．18cm C．16cm D．15cm
7．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（ ）
A．20° B．35° C．40° D．70°
8．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝120°，则∠MAB的度数为（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
二、填空题（共8小题）.
9．如图，以△ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3，如果S1+S2＝S3，那么△ABC的形状是 三角形．
10．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是 ．
11．一个等腰三角形的两边长分别是2和4，它的周长是 ．
12．如图，已知直线AB∥CD，且线段AD＝CD，若∠1＝65°，则∠2的度数是 ．
13．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是 ．
14．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC的中点，连按DE，则△CDE的面积为 ．
15．如图是由9个小等边三角形构成的图形，其中已有两个被涂黑，若再涂黑一个，则整个被涂黑的图案构成轴对称图形的方法有 种．
16．在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝42°，则∠EPF的度数为 ．
三、解答题（共有9小题，共72分．）
17．如图，在Rt△ABC中．
（1）利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离（PD的长）等于PC的长；
（2）利用尺规作图，作出（1）中的线段PD．
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
18．如图，AB∥CD，AB＝CD，E，F为BC上的两点，CE＝BF．证明DF＝AE．
19．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．
20．如图，∠C＝∠D＝90°，AD＝BC．判断△ABE的形状，并证明你的结论．
21．如图，教学楼走廊左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜在右墙时，顶端距离地面2米，求教学楼走廊的宽度．
22．任意剪一张直角三角形纸片，如图（1），先后经过两次折叠得到图（2）和（3）的形状，可以发现两次折痕与斜边交于同一点，于是得到直角三角形的重要性质： （填空），试证明这一性质．
23．A，B两个小镇在河流l的同侧，它们到河流的距离AC＝4千米，BD＝8千米，且CD＝5千米，现要在河边修建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．
（1）请你在河岸上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）最低费用为多少？
24．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，求BE的长．
25．如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明你的猜想．
（3）当∠BAC变为钝角时，如图②，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由．
参
一、选择题（共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
2．如图，∠CAB＝∠DBA，再添加一个条件，不能判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．AC＝BD B．AD＝BC C．∠DAB＝∠CBA D．∠C＝∠D
解：A、∵AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，利用SAS能判定△ABC≌△BAD，不符合题意；
B、∵AD＝BC，∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，利用SSA不能判定△ABC≌△BAD，符合题意；
C、∵∠DAB＝∠CBA，AB＝BA，∠CAB＝∠DBA，利用ASA能判定△ABC≌△BAD，不符合题意；
D、∵∠C＝∠D，∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，利用AAS能判定△ABC≌△BAD，不符合题意；
故选：B．
3．如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AD＝BD B．AE＝AC C．ED+EB＝DB D．AE+CB＝AB
解：∵△BDE由△BDC翻折而成，
∴BE＝BC．
∵AE+BE＝AB，
∴AE+CB＝AB，
故D正确，
故选：D．
4．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝1.5 b＝2 c＝2.5 B．a：b：c＝5：12：13
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
解：A、因为1.52+22＝2.52符合勾股定理的逆定理，故△ABC为直角三角形；
B、因为a：b：c＝5：12：13，所以可设a＝5x，b＝12x，c＝13x，则（5x）2+（12x）2＝（13x）2，故△ABC为直角三角形；
C、因为∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，故△ABC为直角三角形；
D、因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，故3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，3x＝15×3＝45°，4x＝15×4＝60°，5x＝15×5＝75°，故此三角形是锐角三角形．
故选：D．
5．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．每个直角三角形的两条直角边的长分别是3cm和6cm，则中间小正方形的面积是（ ）
A．9cm2 B．36cm2 C．27cm2 D．45cm2
解：根据题意得：
小正方形的面积＝（6﹣3）2＝9（cm2），
故选：A．
6．如图，长为12cm的橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B然后把中点C竖直向上拉升4.5cm至点D处，则拉长后橡皮筋的长为（ ）
A．20cm B．18cm C．16cm D．15cm
解：Rt△ACD中，AC＝AB＝6cm，CD＝4.5cm；
根据勾股定理，得：AD＝＝7.5（cm）；
∴AD+BD＝2AD＝15cm；
故选：D．
7．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（ ）
A．20° B．35° C．40° D．70°
解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°，
∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°．
故选：B．
8．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝120°，则∠MAB的度数为（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
解：作MN⊥AD于N，如图，
∵∠B＝∠C＝90°，∠ADC＝120°，
∴∠DAB＝60°，
∵DM平分∠ADC，MC⊥CD，MN⊥AD，
∴MC＝MN，
∵M点为BC的中点，
∴MC＝MB，
∴MN＝MB，
∴AM平分∠DAB，
∴∠MAB＝∠DAB＝×60°＝30°．
故选：A．
二、填空题（共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．如图，以△ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3，如果S1+S2＝S3，那么△ABC的形状是 直角 三角形．
解：∵S1+S2＝S3且S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，
∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形．
10．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是 SSS ．
解：由作法①知，OM＝ON，
由作法②知，CM＝CN，
∵OC＝OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
故答案为：SSS．
11．一个等腰三角形的两边长分别是2和4，它的周长是 10 ．
解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长＝2+4+4＝10，
综上所述，它的周长是10．
故答案为：10．
12．如图，已知直线AB∥CD，且线段AD＝CD，若∠1＝65°，则∠2的度数是 50° ．
解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ACD＝65°，
∵AD＝CD，
∴∠DCA＝∠CAD＝65°，
∴∠2的度数是：180°﹣65°﹣65°＝50°．
故答案为：50°．
13．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是 16 ．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵AC＝10，BC＝6，
∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝10+6＝16．
故答案为：16
14．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC的中点，连按DE，则△CDE的面积为 ．
解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，
由勾股定理得，AD＝＝4，
∴△ABC的面积＝×BC×AD＝6，
∵AD是△ABC的中线，
∴△ADC的面积＝×△ABC的面积＝3，
∵DE是△ADC的中线，
∴△CDE的面积＝×△ADC的面积＝，
故答案为：．
15．如图是由9个小等边三角形构成的图形，其中已有两个被涂黑，若再涂黑一个，则整个被涂黑的图案构成轴对称图形的方法有 3 种．
解：如图所示：将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有3种．
故答案为：3．
16．在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝42°，则∠EPF的度数为 98° ．
解：∵CE⊥BA，∠B＝42°，
∴∠BCE＝49°，
∵AF⊥BC，CE⊥BA，P为AC的中点，
∴PF＝AC＝PC，PE＝AC＝PC，
∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE，
∴∠EPF＝2∠PCF+2∠PCE＝2∠BCE＝98°，
故答案为：98°．
三、解答题（共有9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图，在Rt△ABC中．
（1）利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离（PD的长）等于PC的长；
（2）利用尺规作图，作出（1）中的线段PD．
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
解：（1）如图，点P即为所求；
（2）如图，线段PD即为所求．
18．如图，AB∥CD，AB＝CD，E，F为BC上的两点，CE＝BF．证明DF＝AE．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵CE＝BF，
∴CE﹣EF＝BF﹣EF，
即CF＝BE，
在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴DF＝AE．
19．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．
【解答】证明：（1）∵AC＝AD+DC，DF＝DC+CF，且AD＝CF
∴AC＝DF
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）由（1）可知，∠F＝∠ACB
∵∠A＝55°，∠B＝88°
∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（55°+88°）＝37°
∴∠F＝∠ACB＝37°
20．如图，∠C＝∠D＝90°，AD＝BC．判断△ABE的形状，并证明你的结论．
解：△ABE是等腰三角形．理由：
∵∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ADB和Rt△BCA中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△BCA（HL），
∴∠BAE＝∠ABE，
∴AE＝BE，即△ABE是等腰三角形．
21．如图，教学楼走廊左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜在右墙时，顶端距离地面2米，求教学楼走廊的宽度．
解：在Rt△ACB中，
∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，
∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，
∴BD2+22＝6.25，
∴BD2＝2.25，
∵BD＞0，
∴BD＝1.5米，
∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米）．
答：教学楼走廊的宽度是2.2米．
22．任意剪一张直角三角形纸片，如图（1），先后经过两次折叠得到图（2）和（3）的形状，可以发现两次折痕与斜边交于同一点，于是得到直角三角形的重要性质： 直角三角形的斜边的中线是斜边的一半 （填空），试证明这一性质．
解：如图所示：
由折叠可得：AE＝CE，BE＝CE，
∴BE＝AE＝CE，
∴直角三角形的性质是直角三角形的斜边的中线是斜边的一半；
故答案为：直角三角形的斜边的中线是斜边的一半．
23．A，B两个小镇在河流l的同侧，它们到河流的距离AC＝4千米，BD＝8千米，且CD＝5千米，现要在河边修建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．
（1）请你在河岸上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）最低费用为多少？
解：（1）根据分析，水厂的位置M为：
（2）如图2，过点E作EF⊥BD交BD的延长线于F．
，
在直角三角形BEF中，EF＝CD＝5（千米），BF＝BD+DF＝4+8＝12（千米），
∴BE＝＝＝13（千米），
∴铺设水管长度的最小值为13千米，
∴铺设水管所需费用的最小值为：
13×3＝39（万元）．
答：最低费用为39万元．
24．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，求BE的长．
解：当∠B′EC＝90°时，
如图，
∴∠BEB′＝90°，
∵矩形ABCD沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠BEA＝∠B′EA＝45°，
∴BE＝AB＝3；
当∠EB′C＝90°时，
如图，
在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，
∵矩形ABCD沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠B＝∠AB′E＝90°，EB＝EB′，AB′＝AB＝3，
∴点A、B′、C共线，即点B′在AC上，CB′＝AC﹣AB′＝5﹣3＝2，
设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x，
在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2＝CE2，
∴x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，
即BE＝，
综上所述，BE的长为3或．
25．如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明你的猜想．
（3）当∠BAC变为钝角时，如图②，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由．
【解答】（1）证明：如图（1），连接DM，ME，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM＝BC，ME＝BC，
∴DM＝ME，
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）
＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）
＝360°﹣2（180°﹣∠A）
＝2∠A，
∴∠DME＝180°﹣2∠A；
（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，
理由如下：连结DM，ME，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC
＝2（180°﹣∠BAC）
＝360°﹣2∠BAC，
∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC）
＝2∠BAC﹣180°．
