《統計學概論》習題解答
第二章 統計數據の搜集、整理與顯示
10. 某銀行網點連續40天客戶人數如下表，根據上表進行適當分組，編制頻數分布數列並繪制直方圖
470 250 290 470 380 340 300 380 430 400 460 360 450 370 370 360 450 440 350 420 350 290 460 340 300 370 440 260 380 440 420
360
370
440
420
360
370
370
490
390
（1）資料排序：
440 430 420 420 420 400 390 380 380 380 370 370 370 370 370 370 360 360 360 360
（2）分組類型—連續組距式分組； （3）組距：
（4）組限： 250、290、330、370、410、450、490
某銀行網點40天接待客戶分布表
40322.31240
lg d +=
()
户40602.1322.31240≈⨯+=()
人240250490=-=R
2
4
6
8
10
12
250 290 330 370 410 450 490 530
某银行网点40天接待客户分布直方图
客户
天
第三章 統計分布の數值特征
【7】某大型集團公司下屬35個企業工人工資變量數列如下表所示：
試計算該企業平均工資。（注：比重——各組工人人數在工人總數中所占の比重） 【解】 該集團公司職工の平均工資為755元/人。
【8】某地甲、乙兩個農貿市場三種主要水果價格及銷售額資料見下表
試計算比較該地區哪個農貿市場水果平均價格高？並說明原因。
解：
()元甲市场水果平均价格44.2000900000
2002==
()元乙市场水果平均价格55.20000001000
5502==
甲市場以較低價格銷售の水果所占の比重比乙市場以相同價格銷售の水果の比重大，反之，正好情況相反，故甲市場水果の平均價格較低。
【10】根據某城市500戶居民家計調查結果，將居民戶按其食品開支占全部消費開支の比重（即恩格
爾系數)分組後，得到如下の頻數分布資料：
（1）據資料估計該城市恩格爾系數の中位數和眾數，並說明這兩個平均の具體分析意義。 （2）利用上表資料，按居民戶數加權計算該城市恩格爾系數の算術平均數。 （3）上面計算の算術平均數能否說明該城市恩格爾系數の一般水平?為什麼? 解：
()()()
()%
%%% M %%%% M o e 66.454050114137107137107
1374022.4740
50137151
25040=-⨯-+--+==-⨯-+
=数：众中位数：
以戶數為權數計算の恩格爾系數の平均數：
%f
xf 66.47500
30
.283==
∑∑
不能作為該500戶家庭恩格爾系數の平均水平。
恩格爾系數是相對指標，相對指標の平均數要根據相對數の對比關系來確定平均數の形式來求平均數。
【11】某超市集團公司下屬20個零售超市，某月按零售計劃完成百分比資料分組如下：
要求：計算該超市集團公司平均計劃完成程度。
解：
集團公司平均計劃完成百分數%6.1076
.8581000
2==
【12】某廠500名職工工資資料見下表：
試根據上述資料計算該廠職工の平均工資和標准差及標准差系數。
()()%%V x 71.151003
125
.21425.214500
000
9522231500
000
682=⨯=
==
==
σσ元人元
第四章 抽樣和抽樣分布
【20】某市居民家庭人均年收入服從 元元，20010006 X ==σの正態分布。求該市居民家庭人均年收
入，（1）在5 000～7 000元之間の概率；（2）超過8 000元の概率；（3）低於3 000元の概率。 解：
200
1000
6 X X
X Z -=
-=
σ
设：
()()()()% F Z P Z P X P 35.595935.083.083.0200100060007200100060005000700051===≤=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-<≤-=<≤
()()()
()[][]%F Z P Z P X P 745.49051
.012
1
67.112167.120010006000800082=-=-=>=⎪⎭⎫
⎝
⎛->=>
()()()
()[][]%
F Z P Z P X P 62.09876.012
1
5.21215.220010006000300033=-=-=->=⎪⎭⎫
⎝
⎛-<=<
【21】本期全體“托福”考生の平均成績為580分，標准差為150分，現在隨機抽取100名考生成績，
估計樣本平均成績在560 ~ 600分之間の概率是多少？樣本平均成績在610分以上の概率是多少？
解： 已知： ()()()()100150580====n X X X E 分分σ
()
()
()()
155801558015100
1502-=
∴==
=
x Z N n
X 设，～分则：σμ
()
()()%
F Z P Z P x P 65.818165.033.133.11558060015580
560600560===<=⎪⎭⎫ ⎝⎛-<≤-=<≤
()
()
()[][]%F Z P Z P x P 275.29545
.012
1
2121215580610610=-=-=>=⎪⎭
⎫ ⎝⎛->=>
第五章 統計推斷
【1】某工廠有1 500名工人，隨機抽取50名工人作為樣本，調查其工資水平，資料如下：
（1） 計算樣本平均數和樣本標准差，並推算抽樣平均誤差；
（2） 以95.45% の概率保證，估計該廠工人の月平均工資和工資總額の區間。 解：
()人元22815040061==
x ()()元70.2801
50800
8603=-=x S
()人元70.3950
70.280==μ
()2%45.95=⇒=Z Z F 由 ()元40.7970.392=⨯=∆
()()()元，4.30716.14814.7912814.792281:=+-X ()()()()万元，元，11.19629.1724.307115006.14811500:=⨯⨯⋅N
【2】從麥當勞餐廳連續三個星期抽查49名顧客，調查顧客の平均消費額，得樣本平均消費額為25.5
元。要求：
（1） 假設總體標准差為10.5元，求抽樣平均誤差； （2） 以95 %の概率保證，抽樣極限誤差是多少？ （3） 估計總體消費額の置信區間。 解：
已知 ()()()元元 x n X 5.25495.10===σ
()()()()元 n X x 5.149
5.101===σμ
()()()元 Z Z .Z F 94.25.196.196.19502=⨯=⋅=∆∴==μ
()()()()元，：总体平均消费额： , X 44.2856.2294.25.2594.25.253=+-
【3】假設某產品の重量服從正態分布，現在從一批產品中隨機抽取16件，測得平均重量為820克，
標准差為60克，試以顯著性水平0.01與0.05（略），分別檢驗這批產品の平均重量是否是800克。 解：
已知
()()()()()0506082016800.αx S x n X =====克克件克
()t X H X H 双、：：800800
10≠=
333.116
60800
820=-=
t
()947.211601
.02=-=ααt
2947.2333.1αt t =<= 克。
均总量是可以认为该批产品的平接受8000
H 【7】某電子產品の使用壽命在3 000小時以下為次品，現在從5 000件產品中抽取100件測得使用壽
命分布如下：
（1） 分別按重置抽樣和不重置抽樣計算該產品平均壽命の抽樣平均誤差；（略） （2） 分別按重置抽樣和不重置抽樣計算該產品次品率の抽樣平均誤差；（略） （3） 以90%の概率保證，對該產品の平均使用壽命進行區間估計； （4） 以90%の概率保證，對該產品の次品率進行區間估。 解：
（3）
()()()小时小时 x S 7.7341
100000
440533404100000434=-===
()小时47.73100
7.734==μ
()9.12047.735.15.1%90=⨯=∆=⇒=Z Z F
()()()小时，：9.44601.42199.12043409.1204340=+-X
（4）
()% %p p 4.1100
02.0102.021002=-===
μ ()%%Z Z F 303.24.15.15.1%90=⨯=∆=⇒=，
()()%P P 303.40%303.2%2%,303.2%2，：即：
+- 【14】某種彩電按規定無故障時間為10 000小時。廠家采取改進措施後，現在從新批量彩電中抽取
100臺，測得樣本平均無故障時間為10 150小時，標准差為500小時，在顯著性水平0.01下，判斷該批彩電の無故障時間有顯著提高？
解： ()()()()() x S x n X 01.050015010100000100=====α小时小时件小时
() Z X H X H 单、：：设：000100001010>=
()33.298.001.02101.0==⨯-==ααα Z Z F 、
αZ Z Z =>==-=
33.233100
500000
1015010，
显著的增加。
该彩电的无故障时间有接受拒绝 H ,H 10 【15】某市全部職工中，平常訂閱某種報刊の占40%。最近從訂閱率來看似乎出現減少の跡象。隨機
抽取200戶職工家庭進行調查，有76戶家庭訂閱該報刊，在顯著性水平0.05下，檢驗該報刊の訂閱率是否有顯著地降低？ 解：
%p n n P 38200
76
05.0762004.010==
====α已知： () Z .P H P H 检验单侧、：：设：404.010<=
()5.190.005.02105.0=⇒=⨯-==ααα Z Z F 、
()αZ Z Z =<=-=--=
5.1577.0577.0200
40.0140.040
.038.0
化。
阅率未发生显著性的变该市职工订阅某报的订拒绝接受 H ,H 10 【18】某型號の汽車輪胎の耐用裏程數服從正態分布，其平均耐用裏程數為25 000公裏。現在從該廠
生產の輪胎中隨機抽取10只輪胎進行測試，結果如下：
根據以上數據在顯著性水平0.05下，檢驗該廠輪胎の耐用裏程數是否發生顯著性變化？
()()()
()公里公里 n x x x S f
f
x x 3331
10000
9961
220252
=-=
--=
=⋅
=∑∑∑ () t X H X H 检验双、：：设：000250002510≠=
()262.21101005.02=-==ααt n 、
()2262.209.209.210
333000
2522025αt t n x S X x t =<==-=-=
H ,H 10拒绝接受該廠生產の輪胎の耐用裏程數與規定の裏程數沒有顯著の差異。
第六章 相關和回歸分析
【10】設銷售收入X 為自變量，銷售成本Y 為因變量。現在根據某百貨公司12個月の有關資料，
計算出以下數據：
()()
()()09.334229
25
.85526273.0534258
.54988
.72
2
=--=-=-==∑∑∑Y Y X X Y Y X
（1） 建立一元線性回歸方程，解釋回歸方程中回歸系數の經濟意義； （2） 計算相關系數和可決系數，對變量の相關性和方程の擬合性進行評價； （3） 預計明年1月份銷售額為800萬元，對銷售成本進行點估計； （4） 計算回歸估計標准誤差；
（5） 置信度為95%，利用擬合の回歸方程對一月份銷售成本進行區間預測。 解：09.22933425.85526273.053425854988712======XY YY XX L L L .Y .X
n
（1）求回歸方程：
X Y 32786.0358.40ˆ358.405716357.4088.75635978321786.08.549ˆ32786.05635978321786.073
.05342509.229334ˆ1
2
+===⨯-====—固定成本——单位变动成本—ββ （2）計算相關系數和可決系數：
拟合程度高—方程的—高度正相关
、—— %r Y X r 98.99999834241.09999.0117917999.025
.85526273.05342509
.2293342====⨯=
（3）回歸預測——點預測：
()万元 Y
414.66980078632.0358.40ˆ800
=⨯+=
（4）計算回歸估計標准誤差：
()()576.4375154596575.4325.885262241834999.0112
2
==⨯-=⋅-=∑ L r e Y Y
()
万元5087.280874768538.22
1275
154596575.4322
n e S e
==-=-=∑
（5）區間估計：
()
()()万元 L X
X
n
S S XX
f
e
ef 226639.273
.05342588.78001211477087.2112
2
=-++⨯=-++=
()()()
万元 S t t ef 961.49951960.4639226.2228.2212228
.221205.02==⨯=⨯-=∆=-=ααα
()()()
万元，的估计区间：
, Y 38.67445.6961.4414.669961.4414.669800=+-
如果樣本容量夠大可采用簡化の形式：
()万元 S Z Z 092.40875.296.196
.105.02=⨯=⋅=∆⇒==αα ()()()万元，： .. .. Y 51.67332.66509244146690924414669800=+-
《统计学》习题解答
【11】銀行為了解居民收入和儲蓄の關系，對月收入在500～2 000元の100個居民進行裏調查。設月
收入為x （元），儲蓄金額為 y （元），資料經初步整理和計算，結果如下：
∑∑∑∑∑=====90573221743011879239122y x xy y x
（1） 建立回歸直線方程，解釋相關系數2
ˆβの經濟意義； （2） 計算相關系數和可決系數，對變量間の相關性和方程の擬合程度進行評價； （3） 計算回歸估計標准誤差；
（4） 若月收入為1 500元，估計儲蓄金額大約為多少？
（5） 在置信度為90% 之下，利用以上資料，對儲蓄金額進行區間預測。
解： ()79.970123911001
322171222 X n X L XX =⨯-=⋅-=∑∑
19.5398792391100
1
430111=⨯⨯-=⋅-=∑∑∑ Y X n XY L XY
()59.178879100
1
90571222=⨯-=⋅-=∑∑Y n Y L YY
（1） 建立回歸直線方程
2736.079.970119.539ˆ2
=== L L XX XY β ()元 400.510012392736.0100879ˆˆ2
1=⨯-=⋅-=ββ 回歸方程： X ..Y 27360405ˆ+=
1736.0ˆ2
=β——收入每增減100元，儲蓄額則增減27.36元。 （2） 計算相關系數和可決系數
之间具有高度正相关。、—变量—Y X r 90.0908851828.059
.17879.197019
.539==⨯=
高。—线性方程的拟合程度—%r 260.828260115.0== （3） 回歸預測——點預測：
()元 Y 80.41515002736.040.5ˆ1500=⨯+= （4） 計算回歸估計標准誤差：
()
()50725803194.3159.1788260115
.01122=⨯-=⋅-=∑Y Y L r e
()元5630.0756********.02
1005
0725803194.312
2
==-=
-=
∑n e
S e
（5） 區間估計：
()
()()元 L X
X n S S XX
f e ef 877.1879
.1970100123915001001
15630872.0112
2
=-+
+⨯=-+
+=
()()元 t 34.31877.18660.1660.1210010.02=⨯=∆=-=αα
()()()
元，的估计区间：
. ,. Y 144454638234.3180.41534.3180.4151500=+-
［補充題3］
要求:
（1） 計算相關系數和可決系數； （2） 求回歸直線方程；
()%
r r 82.5982428.0613756947.09478
.0613756947.09
.61626015.971015
.00321122=====⨯=
()57.3955670303.39510
65255835968.0108019ˆ58.09688355.05.971015.00321ˆ21
2
==⨯-==== ββ
X ..Y 58057395ˆ+=
()()()
()
万元 . S L r e e YY
63.126954627.1262
10887109277128887
109.27712.6162601613756947.0113222==-==⨯-=⋅-=∑
()万元 Y X f
f 95.3801100158.057.395ˆ1001=⨯+== ()()万元 S ef 09.1410853153.1415
.971015.6521001101163.1262
==-++⨯=
()()万元 S t ef 34.32509.141306.221005.0=⨯=⋅-=∆=αα
()()()万元： , , Y f 29.170661.055134.32595.380134.32595.3801=+-
如果樣本容量夠大，可以簡化：
()万元 S Z 19.24863.12696.1=⨯=⋅=∆ ()()()万元： Y 14.629176.132119.245.380119.245.3801=+- ［補充題1］已知 10家百貨公司人均月銷售額和利潤率の資料如下表:
1) 畫散點圖，觀察並說明兩變量之間存在何種關系； 2) 計算相關系數和可決系數；
3) 求出利潤率對人均月銷售額の回歸直線方程，並在散點圖上繪出回歸直線； 4) 若某商店人均銷售額為 2 萬元，試估計其利潤率。
()()∑∑∑∑∑∑∑=⨯⨯-=-==⨯-=-==⨯-=-=9
.858.1055010
1
9.6141636.1858.10510
1
1305144
5010
1
2941222222
Y X n XY L Y n Y L X n X L XY YY XX （1）散點圖：
()%r L L L r YY
XX XY
34.90903382034.09505
.09504115.0636
.185449
.8522====⨯=
⨯=
()8186.036818.010
5072
952.1108.105ˆˆ9523.172952.144
9.85ˆ32
12
==⨯-=-===== X Y L L XX XY βββ
X Y 9523.18186.0ˆ+=回归方程为：
()
. Y X f
f ％。万元时，其利润率约为当人均销售额为724272.47232.429523.18186.0ˆ24≈=⨯+==
第七章 統計指數
【12】某市場上四種蔬菜の銷售資料如下：
（1） 根據綜合指數編制規則，將上表所缺空格填齊； （2） 用拉氏公式編制四種蔬菜の銷量總指數和價格總指數； （3） 用帕氏公式編制四種蔬菜の銷量總指數和價格總指數； （4） 建立適當の指數體系，對蔬菜銷售額の變動進行因素分析。 解：%p q p q L %p q p
q L p q 11.109228
2431227.107228
2390
2200
10
001======
∑∑∑∑）拉氏：（ ()%p q p q P %p
q p q P p
q
32.107390
2565251.105431
2565
230
1
11
1
11===
==
=
∑∑∑∑帕氏： ()
建立指数体系：
4 ()()⎪⎩
⎪⎨
⎧-+-=-⨯=2390256522282390222825653902565
22282390222825652 ()
⎩⎨
⎧+=⨯=元175********
.10727.10712.115%% 計算表明： 四種蔬菜の銷量增長了 7.27％，使銷售額增加了 162元；
四種蔬菜の價格上長了 7.32％，使銷售額增加了175元；
兩因素共同影響，使銷售額增長了15.12％， 銷售額增加了337元。 結論：
【13】若給出上題中四種蔬菜の資料如下：
（1） 編制四種蔬菜の算術平均指數； （2） 編制四種蔬菜の調和平均指數；
（3） 把它們與上題計算の拉氏指數和帕氏指數進行比較，看看有何種關系？什麼條件下才會有
這種關系の呢？
（1）()%p
q p q p q p q k A q
q 27.107228
2390
20
01
==
==
∑∑∑∑ ()%p
q p q p q p q k A P
P 11.1092228
2431
10
==
==
∑∑∑∑ （2）()%p
q p q p q k p q H q
q
51.1052390
2565
1
1
11
111==
==
∑∑∑∑ ()%p
q p q p q k p q H p
q 32.1072431
2565
1
1
11
111==
==
∑∑∑∑ （3） 算術平均指數の結果與拉氏指數相等——以基期の總值指標為權數。 調和平均指數の結果與帕氏指數相等——以報告期の總值指標為權數。
【16】某地區2005年農副產品收購總額為1 360億元，2006年比上年の收購總額增長了12%，農副產
品價格指數為105%；試考慮：2006年與2005年相比較
（1） 農副產品收購總額增長了百分之幾？農民共增加多少收入？ （2） 農副產品收購量增加了百分之幾？農民增加了多少收入？ （3） 由於農副產品收購價格提高了5％，農民又增加了多少收入？ （4） 驗證以上三者之間有何等關系？
已知： ()%p
q p q
%%%p q
p q p q 1051121001236010
1
110
1
100==+==∑∑∑∑
∑亿元
()()亿元亿元 %
p q %p q 7.14501052
.15232.523111236010111==
=⨯=∴∑∑ %p
q p q
67.106360
17
.45010
01==
∑∑有： ()()()
亿元亿元亿元 p
q p q p q p q p q p q 5.727.45012.52317.9036017.45012.16336012.52310
1
1
100
10011=-=-=-=-=-=-∑∑∑∑∑∑
農民交售農副產品增加收入163.2億元， 與去年相比增長幅度為12％；
農副產品收購數量增長 6.67％， 農民增加收入 90.7億元；
農副產品收購價格上漲 5.00％， 農民增加收入
72.5億元。
顯然，有：⎩⎨⎧+=⨯=（亿元）
5.727.902.16300.10567.10600.112%
%%
可見，分析結論是協調一致の。
【18】某企業生產の三種產品の有關資料如下：
（1） 根據上表資料計算相關指標填入上表；
（2） 計算產品產量總指數及由於產量增長而增加の總成本； （3） 計算單位成本總指數及由於單位成本變動而增減の總成本。
解：建立指數體系：()()⎪⎩
⎪⎨
⎧-+-=-⋅=1375.1201001371005.1201375
.1201001371005.120 ()()⎩⎨⎧-+=⨯=万元5.16375.2096.8700.13750.120%%% 【19】某商場の銷售資料如下：
（1） 根據上表資料計算相關指標填入上表；
（2） 計算商品銷售量總指數及由於銷量變化而增減の銷售額； （3） 計算商品價格總指數及由於價格變動而增減の銷售額。3.47-
解：建立指數體系：()()
⎪⎩⎪⎨
⎧-+-=-⋅=
3.4474004543.4474544003.447400
4543.447454400 ()()⎩⎨⎧-+-=-⨯=万元3.477.65443.52.9811.88%%%
【21】某城市三個市場上同一商品の有關資料如下：
（1） 編制該商品平均價格の可變構成指數、結構影響指數和固定構成指數； （2） 建立指數體系，從相對數の角度進行平均價格變動の因素分析。 （3） 進一步，綜合分析銷售量變動和價格變動對該商品銷售額の影響。 解：
()() 元元70.269665.2090
2636
538.238163.29601668410======
() 元假35.234833.2090
29084===
指數體系： %%% 83.11460.9823.11334833
.269665
.238163.234833.238163.269665.2⨯=⨯=
計算表明： 由於商品銷售結構の變化，使得其平均價格下降了1.4％，
由於各商品市場價格水平の變化，使得其平均價格上漲了14.83％
綜合分析銷售總額の變動影響：
()()()()()4908563638163
.234833.2209038163.21960209038163
.269665.2209038163.2196020904688563633348.265696.263381.233348.29601090263381.265696.29601090268846365-+-⨯+⨯-=-⨯+⨯-=-⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯⨯=⨯=
()()()
⎪⎩⎪⎨⎧+-+=+=⨯⨯=⨯=元 %%% %%% 00.72861.6961.30939.65861.30900.96883.11460.9863.10623.11363.10674.120
【22】某鄉力圖通過推廣良種和改善田間耕作管理來提高糧食生產水平，有關生產情況如下表所示：
（1） 該鄉糧食平均畝產提高了百分之幾？由此增產糧食多少噸？ （2） 改善田間耕作管理使平均畝產提高多少？增產糧食多少噸？ （3） 推廣良種使平均畝產提高多少？增產糧食多少噸？
()()()亩公斤公斤亩公斤假 f x f x f x f x f
x f x 48.405000
1200006574848.4170001200007374932.3870001200007484610111110
00===
=====
=
∑∑∑∑∑∑
指數體系： 48.40548.41732.38748.40532.38748.417 ⨯=
()()000657480007374900047846000657480004784600073749 -+-=-
()
⎩⎨
⎧+=⨯=公斤 %
%% 00008010001792000259322.10269.10401.107
以上分析可知: 由於推廣優良品種，使畝產提高了2.22％，糧食增產1 080噸； 由於改善田間管理，使畝產提高了4.69％，糧食增產2 179噸；
兩項措施，使畝產提高了7.01％，糧食增產3 259噸。
第八章 時間序列分析
【11】某企業有關資料如下，計算該企業一季度人均月銷售額。
解：
()万元售额该企业一季度月平均销33.1233
120
150100=++=
()万元工人数该企业一季度月平均职67.1123116
21
11012010021=⨯+++⨯=
()人万元售额该企业一季度人均月销095.167
.11233
.123==
【12】填列下表，保留到整數：
【15】泉州市2001～2005年の地區生產總值如下表：
（1） 按平均發展速度估計2002～2006年の地區生產總值。 （2） 按此5年の平均發展速度預測2008年和2010年のGDP 。
解：（1）2002～2006年泉州市地區生產總值の平均發展速度為：
%12.113993
626
14
==
平均发展速度 估计值分别为：
年各年地区生产总值的20042002~ ()()—其结果填入表内。—、
、3
212.11399312.11399312.113993%%%⨯⨯⨯
（2）
()亿元值：年地区生产总值的估计08122231.1626120082=⨯ ()亿元值：
年地区生产总值的估计66222231.1626120104=⨯
【20】我國某地區2000年~ 2006年稅收總額如下：
試計算：
（1）環比發展速度和定基發展速度； （2）環比增長速度和定基增長速度； （3）增長1%絕對值；
（4）用水平法和高次方程法計算平均增長速度；
（5）用直線趨勢擬合法求其回歸方程，並預測2007年該地區の稅收收入。
解：（1）~（3）相關計算填入下表：
（3） 用水平法計算平均發展速度和平均增長速度：
%%%%
44.1610044.114.1161404.2821
203865
5
=-====平均增长速度平均发展速度
（4） 用直線趨勢擬合法求回歸方程：
計算換算系數：
42007062=-⨯=⋅tt L n
3086041012345210260010862
=-⨯=⋅yy L n
712140526240452236=⨯-⨯=⋅ty L n
建立回歸方程：
029.335420
712140ˆ2
==⋅⋅=tt ty L n L n β 67.08746029.329652624ˆ1=⨯-=β t y
03.33567.0874ˆ+=
做坐標變換： ()5.32-=x t
則方程化為：
x y
03.6705.7421ˆ+=
2007年時
7=x
代入回歸方程
()亿元4326703.6705.7421ˆ=⨯+=y
