【北师大版】
【考点1 菱形的性质】
【方法点拨】菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线都平分一组对角。
【例1】（2019春•卧龙区期末）如图，已知菱形的周长为24，对角线、交于点，且，则该菱形的面积等于
A．6 B．8 C．14 D．28
【变式1-1】（2019春•定远县期末）如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则的度数是
A． B． C． D．
【变式1-2】（2019春•宝应县期末）如图，四边形是菱形，，，于，则等于
A． B．4 C． D．5
【变式1-3】（2018秋•巴南区期末）如图，菱形中，，于，交于，于．若的周长为4，则菱形的面积为
A． B． C．16 D．
【考点2 矩形的性质】
【方法点拨】矩形具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。
【例2】（2019春•庐阳区期末）如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是
A． B． C． D．
【变式2-1】（2019春•黄冈期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，垂直平分，若，则
A． B． C． D．
【变式2-2】（2019•红河州二模）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为
A．12 B．24 C．27 D．54
【变式2-3】（2019春•侯马市期末）如图，矩形对角线、相交于点0，点是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，若，，则的值为
A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4
【考点3 正方形的性质】
【方法点拨】正方形是最特殊的四边形，它具有矩形的性质，也具有菱形的性质。
【例3】（2019春•蚌埠期末）如图，在正方形中，点为上一点，与交于点，若，则
A． B． C． D．
【变式3-1】（2019春•诸暨市期末）已知：如图，是正方形内的一点，且，则的度数为
A． B． C． D．
【变式3-2】（2019春•越城区期末）如图，在正方形中，，点分别在，上，，，相交于点．若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为
A．7 B． C．8 D．
【变式3-3】（2019春•沧州期末）正方形的边长为2，在其的对角线上取一点，使得，以为边作正方形，如图所示，若以为原点建立平面直角坐标系，点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，则点的坐标为
A．， B．， C．， D．，
【考点4 菱形的判定】
【方法点拨】菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形。
【例4】（2019春•兰陵县期末）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：．
（2）求证：四边形是菱形．
【变式4-1】（2019春•泰山区期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连接、．求证：四边形是菱形．
【变式4-2】（2019春•沙坪坝区校级月考）如图，在中，点是边上一点，，连接．点是中点，连接并延长交于点，连接．过点作交于点，连接．求证：四边形是菱形．
【变式4-3】（2019春•霍林郭勒市期末）如图，在中，，过点的直线，
为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、．
（1）求证：；
（2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由．
【考点5 矩形的判定】
【方法点拨】矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。
【例5】（2019春•雨花区校级期末）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接．
（1）求证：△；
（2）当线段与线段满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．
【变式5-1】（2019春•郁南县期末）如图，是的中线，，交于点，且．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）当、之间满足什么条件时，四边形是矩形．
【变式5-2】（2019春•滨海县期中）如图，点、分别是不等边三角形（即的边、的中点．点是内的动点，连接、，点、分别是、的中点，顺次连接点、、、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由．
【变式5-3】（2019春•鱼台县期末）如图，在中，是上的一个动点（不与点、重合），过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点．
（1）试说明：；
（2）当点运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．
【考点6 正方形的判定】
【方法点拨】解正方形的判定：有一个角是直角（对角线相等）的菱形是正方形；邻边相等（对角线互相
垂直）的矩形是正方形.
【例6】（2019•防城港模拟）如图，在平行四边形中，点，，，分别在边，，，上，，，且平分．
（1）求证：．
（2）若．求证：四边形是正方形．
【变式6-1】（2019•崂山区二模）已知：四边形为平行四边形，延长至点，使，连接交于点，连接
（1）求证：．
（2）若，当 时，四边形为正方形请说明理由．
【变式6-2】（2019春•白山期末）如图，中，是边上一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接．
（1）求证：是的中点．
（2）当满足什么条件时，四边形是正方形，并说明理由．
【变式6-3】（2019春•泉州期末）如图，中，点是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点．
（1）判断与的大小关系？并说明理由；
（2）当点运动到何处时，四边形是矩形？并说出你的理由；
（3）在（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形会是正方形．
【考点7 中点四边形】
【例7】（2019春•邹城市期末）已知：四边形，，，，是各边的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）假如四边形是一个矩形，猜想四边形是什么图形？并证明你的猜想．
【变式7-1】（2019春•密山市期末）已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．
（1）四边形的形状是 ，证明你的结论．
（2）如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足 条件时，四边形是矩形；证明你的结论．
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？说明理由．
【变式7-2】（2018春•洪山区期末）给出下列定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形中，点，，，分别为边，，的中点，则中点四边形形状是 ．
（2）如图2，点是四边形内一点，且满足，，，点，，，分别为边，，，的中点，求证：中点四边形是正方形．
【变式7-3】（2019春•广东期中）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．
（1）四边形的形状是 ，证明你的结论；
（2）当四边形的对角线满足 条件时，四边形是矩形；你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？
（3）当四边形的对角线满足 条件时，四边形是菱形；你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？ ．
【考点8 四边形中的最值问题】
【例8】（2019春•睢宁县期中）正方形的边长为12，点在上，且，点是对角线上的一个动点，则的最小值是 ．
【变式8-1】（2019春•泸县期末）如图，在菱形中，，，点，分别是边，的中点是上的动点，那么的最小值是 ．
【变式8-2】（2019春•鄂城区期末）点是菱形的对角线上的一个动点，已知，，点，分别是，边上的中点，则的周长最小值是 ．
【变式8-3】（2019春•锦州期末）如图，在中，，，，点，，，分别在各边上，且，，则四边形周长的最小值为 ．
【考点9 四边形中的折叠问题】
【例9】（2019春•汉阳区期末）如图，将矩形纸片折叠，使点刚好落在线段上，且
折痕分别与边，相交于点，，设折叠后点，的对应点分别为点，．
（1）判断四边形的形状，并证明你的结论；
（2）若，且四边形的面积是20，求线段的长．
【变式9-1】（2019春•濮阳期末）如图，矩形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且．
（1）求证：；
（2）求的长度．
【变式9-2】（2019•萧山区模拟）如图，在矩形中，，点和点为边上两点，将矩形沿着和折叠，点和点恰好重合于矩形内部的点处，
（1）当时，求的度数；
（2）若，，求的长．
【变式9-3】（2019春•廉江市期末）如图，在四边形纸片中，，点，分别在边，上，将，分别沿，折叠，点，恰好都和点重合，．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）求证：三角形的周长是四边形周长的一半；
（3）若，求的长度．
【考点10 四边形中的旋转问题】
【例10】已知，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点、，于点，如图，，求的长．
【变式10-1】（2019春•徐州期末）如图，正方形的对角线和相交于点，正方形的边交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）如果正方形的边长为，那么正方形绕点转动的过程中，与正方形重叠部分的面积始终等于 （用含的代数式表示）
【变式10-2】（2019春•无棣县期末）如图，在正方形中，、是对角线上两点，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，，且使得．
（1）求证：；
（2）求证：．
【变式10-3】（2019春•宁津县期末）如图1，已知四边形是正方形，对角线、相交于点，以点为顶点作正方形．
（1）如图1，点、分别在和上，连接、，和有何数量关系，并说明理由；
（2）将正方形绕点顺时针方向旋转，如图2，判断和的数量关系，并说明理由．下载本文
