名师点金：在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或两条线之间的位置关系时，通常借助辅助线来帮助解答，如何作辅助线需根据已知条件确定．辅助线的添加既可以产生新的条件，又能与题目中原有的条件联系在一起．

加截线（连接两点或延长线段相交）

1．【中考·河北】如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝（　　）

A．120°　　　　　　　B．130°

C．140°              D．150°

（第1题）

过“拐点”作平行线

a．“”形图

2．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度数．

（第2题）

b．“”形图

3．（1）如图①，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°.求∠BCD的度数；

（2）如图①，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系吗？请说明理由；

（3）如图②，AB∥EF，根据（2）中的猜想，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．

（第3题）

c．“”形图

4．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？

（第4题）

d．“”形图

5．如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°，求∠ABC的度数．

（第5题）

e．“”形图

6．（1）如图，AB∥CD，若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的度数；

（2）如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系？试说明理由．

（第6题）

平行线间多折点角度问题探究

7．（1）在图①中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？

（2）在图②中，若AB∥CD，又能得到什么结论？

（第7题）

答案

1．C

2．解：方法一：过点P作射线PN∥AB，如图①.

∵PN∥AB，AB∥CD，∴PN∥CD.∴∠4＝∠2＝28°.

∵PN∥AB，∴∠3＝∠1.

又∵∠3＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°.∴∠1＝30°.

方法二：过点P作射线PM∥AB，如图②.

∵PM∥AB，AB∥CD，∴PM∥CD.

∴∠4＝180°－∠2＝180°－28°＝152°.

∵∠4＋∠BPC＋∠3＝360°，

∴∠3＝360°－∠BPC－∠4＝360°－58°－152°＝150°.

∵AB∥PM，∴∠1＝180°－∠3＝180°－150°＝30°.

(第2题)

3．解：(1)过点C向左作CF∥AB，则∠B＋∠BCF＝180°.又∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＋∠D＝180°，∴∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°，∴∠BCD＝360°－∠B－∠D＝360°－135°－145°＝80°.

(2)∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.理由如下：过点C向左作CF∥AB，则∠B＋∠BCF＝180°.又∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＋∠D＝180°，∴∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.

(3)∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°.

4．解：∠BCD＝∠B－∠D.理由如下：如图，过点C作CF∥AB.∵CF∥AB，∴∠B＝∠BCF(两直线平行，内错角相等)．∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE(平行于同一条直线的两条直线互相平行)．∴∠DCF＝∠D(两直线平行，内错角相等)．∴∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF.∵∠BCD＝∠BCF－∠DCF，∴∠BCD＝∠B－∠D.

点拨：已知图形中有平行线和折线时，常过折点作平行线，构造出同位角、内错角或同旁内角，这样就可利用角之间的关系求解了．

(第4题)

　　　　(第5题)

5．解：如图，过点C作CF∥AB.∵AB∥DE，CF∥AB，∴DE∥CF.∴∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－138°＝42°.∴∠BCF＝∠BCD＋∠DCF＝30°＋42°＝72°.又∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠BCF＝72°.

6．解：(1)过E点向左侧作EF∥AB，则∠B＋∠BEF＝180°，

∴∠BEF＝180°－∠B＝50°，又∵AB∥CD，且EF∥AB，

∴EF∥CD，∴∠FEC＝∠C＝30°，

∴∠BEC＝∠BEF＋∠FEC＝50°＋30°＝80°.

(2)∠B＋∠BEC－∠C＝180°.理由如下：过E点向左侧作EF∥AB，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC＝∠C，

又∵∠BEF＝∠BEC－∠FEC，∴∠BEF＝∠BEC－∠C.

∵AB∥EF，∴∠B＋∠BEF＝180°，

即∠B＋∠BEC－∠C＝180°.

(第7题)

7．解：(1)∠E＋∠G＝∠B＋∠F＋∠D.理由：过折点E，F，G分别作EM∥AB，FN∥AB，GH∥AB，如图所示，由AB∥CD，得AB∥EM∥FN∥GH∥CD，这样∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D.因此∠BEF＋∠FGD＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6＝∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.

(2)∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠En＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D. 下载本文