本讲知识点汇总：
一．整除
1．整除的定义
如果整数a除以整数b ，所得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作．
如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b不整除a．
2．整除判定
（1）尾数判断法
能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除；
能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除；
能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除．
（2）截断求和法
能被9、99、999及其约数整除的数的特征．
（3）截断求差法
能被11、101、1001及其约数整除的数的特征．
（4）分解判定：一些复杂整数的整除性，例如63、72等，可以把它们分拆成互质的整数，分别验证整除性．
3．常用整除性质
（1）已知、，则以及．（b＞c）
（2）已知，则．
（3）已知且，则．
（4）已知且，则．
4．整除的一些基本方法：
（1）分解法：
①分解得到的数有整除特性；
②两两互质.
（2）数字谜法：
①被除数的末位已知；
②除数变为乘法数字谜的第一个乘数.
（3）试除法：
①除数比较大；
②被除数的首位已知.
（4）同除法：
①被除数与除数同时除以相同的数；
②简化后的除数有整除特性.
二、质数与合数
1．质数与合数的定义
质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数．
2．分解质因数
分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式．如：，．
典型题型
一．整除
1．基本整除问题：对各种整除的判别法要非常熟悉，尤其是9和11这种常见数字；
（1）9的考点：乱切法；
（2）11的考点：① 奇位和减偶位和；② 两位截断求和；③ 三位截断，奇段和减偶段和．
2．整除性质的使用；
3．整除与位值原理；
4．整除方法在数字谜中的应用．
二．质数合数
1．质数合数填数字：注意2和5的特殊性；
2．判断大数是否为质数：逐一试除法；
3．末尾0的个数问题：层除法．
例1．（1）五位数没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数可能是多少？（2）如果六位数能被624整除，则三个方格中的数是多少？
（3）末三位是999的自然数能被29整除，这个数最小是多少？
「分析」（1）75可以分解为3和25；（2）试除法解答这道题目；（3）试着把这道题目改为数字谜的形式进行解答．
练习1、（1）六位数没有重复数字，如它能被36整除，那么这个六位数是多少？
（2）如果六位数能被324整除，则三个方格中的数是多少？
（3）末三位是999的自然数能被23整除，这个数最小是多少？
例2．将自然数1，2，3，…，依次写下去组成一个数：，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被36整除，那么这个自然数N是多少？
「分析」36可以分解为4和9，然后分别满足N能被4和9整除，接下来就要用到整除特性了，尤其是9的整除特性如何运用是关键．
练习2、将自然数1，2，3，…，依次写下去组成一个数：，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被45整除，那么这个自然数N是多少？
例3．已知是495的倍数，其中a，b，c分别代表不同的数字．请问：三位数是多少？
「分析」分解495=5×9×11，可知只要两个三位数分别满足是5、9、11的倍数即可，分情况讨论即可确定两个三位数分别是多少？
练习3、已知是396的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字．请问：三位数是多少？
例4．一个各位数字互不相同的五位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除，这个五位数的最小值等于多少？最大值呢？
「分析」根据“去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除”及最大值或最小值可确定五位数的前三位，然后根据9的整除特性确定其余数字．
练习4、一个各位数字互不相同的四位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的两位数可以被29整除，这个四位数的最大值等于多少？最小值呢？
例5．72乘以一个三位数后，正好得到一个立方数.这个三位数最大是多少？
「分析」立方数需满足所含质因数个数均为3的倍数，分解72可以确定质因数的种类，满足上述条件基础上试数即可得出这个三位数．
例6．在数列1、4、7、10、13、16、19、……中，如果前n个数的乘积的末尾0的个数比前个数的乘积的末尾0的个数少3个，那么n最小是多少？
「分析」末尾0的个数决定于2和5的对数，有一对2、5就可以确定一个0，而题目数列中2的个数一定多于5的个数，所以只要使数列中数字满足有三个质因数5即可．
数学王国里的一颗明珠——梅森素数
早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究的先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果是素数，则是完美数（Perfect number）．
10年6月，费马在给马林·梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质．我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”．这封信讨论了形如的数（其中p为素数）．
梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对作了大量的计算、验证工作，并于14年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数；而对于其他所有小于257的数时，是合数．前面的7个数（即2，3，5，7，13，17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31，67，127和257）属于被猜测的部分．不过，人们对其断言仍深信不疑．
虽然梅森的断言中包含着若干错误，但他的工作极大地激发了人们研究型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位．梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑．由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地研究型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”；并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），即．如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即型素数）．
2300多年来，人类仅发现47个梅森素数．由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”．自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数；因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程．
作业
1.五位数没有重复数字，如它能被225整除，那么这个五位数是多少？
2.（1）已知六位数是99的倍数，那么这个六位数是多少？
（2）已知六位数是72的倍数，那么这个六位数是多少？
3.的末尾有多少个连续的0？75
4.两个连续自然数的乘积是1190，这两个数中较小的是多少？34
5.太上老君炼仙丹，第一次炼一丹，第二次炼三丹，第三次炼五丹，第四次炼七丹，……，颗颗炼成不老长生丹．然后装入金葫芦，每个葫芦六十丹，恰装满葫芦若干．已知丹数不足千，问共炼多少颗仙丹？
第十五讲 数论综合提高一
例7．答案：（1）30675、38625、39675；（2）504；（3）26999
详解：（1）据分解法可知，75能分成25与3，满足是25的倍数，末两位要是25的倍数，即后一个空填2或7，填2时，没有重复数字又是3的倍数，所以只能是38625，填7时，满足条件是30675或39675，所以答案是30675、38625、39675．
（2）将六位数补成387999，387999除以624余495，所以387999减去495的差387504一定是624的倍数，所以答案是504．
（3）改成竖式的数字谜，29乘以某某某答案后三位是999，填完整就是29乘以931等于26999．
例8．答案：36
详解：要是36的倍数，只要是4和9的倍数即可．9的整除特性是乱切法就可以，所以一位数的时候我们截成一位，两位数就截成两位，几位数就截成几位，所以有1+2+3+…+N是9的倍数，即是9的倍数，即N或是9的倍数，所以满足条件的N是8、9、17、18、26、27、35、36，写到36时，第一次满足是4的倍数，所以N最小是36．
例9．答案：865
详解：，即只要满足是5、9、11的倍数即可．对，不论a取哪一个一位数都不可能是11和5的倍数，所以一定是11和5的倍数，即是605．于是是9的倍数，所以a是8，所以a、b、c组成的三位数是865．
例10．答案：13806、94365
详解：最小且数字不同，则前三位只能是138，再根据9的整除特性，所以最小是13806；最大且数字不同，则前三位只能是943，再根据9的整除特性，所以最大是94365．
例11．答案：8
例12．答案：83
详解：这是一个首项为1，公差为3的等差数列，由题意知第个数应为125的倍数，即，可知k取2时符合要求，此时n为83．
练习：
练习1、答案：（1）105372；（2）220、544或868；（3）20999
练习2、答案：35
练习3、答案：548或908
简答：即要分别被4、9和11整除，由与整除特性且a、b、c代表不同数字可知与分别要被（4、9）与11整除，所以可求得是548或908．
练习4、答案：最小值是2907；最大是8793
作业
6.答案： 38025
简答：能被225整除，即能分别被9和25整除，所以可得该五位数为38025．
7.答案：（1）260172；（2）197496
简答：（1）设该六位数为，其为99的倍数，即能被99整除，又a、b为个位数，所以易知，所以该六位数为260172；（2）能被72整除，即能分别被8和9整除，所以可得该六位数为197496．
8.答案：75
简答：500！所含0的个数减去200！所含0的个数即可，答案为75．
9.答案：34
简答：易知，所以可估算出所求的数为34．
10.答案：900
简答：前n次共炼制n2颗仙丹，且n2是60的倍数，所以n含有质因数2、3和5，于是当时，为所求答案．下载本文
