知识点拨

一、基本概念

①周长:封闭图形一周的长度就是这个图形的周长．

②面积:物体的表面或封闭图形的大小,叫做它们的面积．

二、基本公式:

①长方形的周长(长宽),面积长宽．

②正方形的周长边长,正方形的面积边长边长．

三、常用方法:

（1）对于基本的长方形和正方形图形,可以直接用公式求出它们的周长和面积,对于一些不规则的比较复杂的几何图形,我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形,利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解．

（2）转化是一种重要的数学思想方法,在转化过程中要抓住“变”与“不变”两个部分．转化后的图形虽然形状变了,但其周长和面积不应该改变,所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长度或某部分图形的面积．转化的目标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图形．

（3）寻求正确有效的解题思路,意味着寻找一条摆脱困境、绕过障碍的途径．因此,我们在解决数学问题时,思考的着重点就是要把所需解决的问题转化为已经能够解决的问题．也就是说,在直接求解不容易或很难找到解题途径的问题时,我们往往转化问题的形式,从侧面或反面寻找突破口,知道最终把它转化成一个或若干个能解决的问题．这种解决问题的思想在数学中叫“化归”,它是数学思维中重要的思想和方法．

（4）在几何中,有许多图形是由一些基本图形组合、拼凑而成的．这样的图形我们称为不规则图形．不规则图形的面积往往无法直接应用公式计算．那么,不规则图形的面积怎样去计算呢？对称、旋转、平移这几种几何变换就是解决这类面积问题的手段．

四、几个重要的解题思想

（1）平移

在平面图形的计算中,常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算．其中,将图形沿一个固定方向的移动叫做平移,一个图形经过平行移动不改变其形状与大小,所以图形面积是保持不变的．利用图形的平移,可以使面积计算问题的解法简捷明快,颇有新意．

（2）割补

割补法在我国古代叫“出入相补原理”,我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中就明确地提出“出入相补,各从其类”的出入相补原理．这个原理的内容是几何图形经过分、合、移、补所拼凑成的新图形,它的面积不变．

（3）旋转

在平面图形的割补中,有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置,产生一种新的图形结构,图形在转动过程中形状大小不发生改变．利用这种新的图形结构可以帮我们解决面积的计算问题．

（4）对称

平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形．轴对称图形沿对称轴折叠,轴两侧可以完全重合．也就是说,如果一个图形是轴对称图形,那么对称轴平分这个图形的面积．熟悉轴对称图形这个性质,对面积计算会有很大帮助．

（5）代换

在几何计算中,对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧．

小结:本讲主要通过求一些不规则图形的周长,体会一种转化思想,重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法,包括平移、旋转、割补、差不变原理,通过这些方法的学习,让学生体会求周长的技巧,提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．

例题精讲

模块一、图形的周长和面积——割补法

【例 1】求图中所有线段的总长(单位:厘米)

【例 2】如图所示,点是线段的中点,由、、、四个点所构成的所有线段的长度均为整数,若这些线段的长度之积为10500,则线段AB的长度是             。

【例 3】三只猴子走得一样快,所走的路线如下图。哪只猴子先吃到桃子,就在它旁边的(  )里画勾。

【例 4】在一个长方形的面积为169平方厘米。在这个长方形内任取一点P,则点P到长方形四边的距离之和最小值为_______厘米。

【例 5】边长是厘米的个正方形拼成一个长方形,这个长方形的周长是多少？

【巩固】用一块长分米,宽分米的长方形纸板与两块边长分米的正方形纸板拼成一个正方形．拼成的正方形的周长是多少分米？

【例 6】用7个长4厘米,宽3厘米的长方形拼成一个大长方形,在所有可能的拼法中,大长方形周长的最小值是　　　　厘米。

【巩固】用6张边长为2厘米的正方形纸片拼成一个长方形,这个长方形的周长是________厘米．

【巩固】用6张边长为3厘米的正方形纸片拼成一个长方形,这个长方形的周长是_______厘米。

【例 7】用若干个边长都是厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形,已知大平行四边形的周长是厘米,那么平行四边形和三角形各有多少个？

【巩固】用若干个边长都是厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形,已知大平行四边形的周长是厘米,那么平行四边形和三角形各有多少个？

【例 8】将一个边长为4厘米的正方形对折,再沿折线剪开,得到两个长方形．请问:这两个长方形的周长之和比原来正方形的周长多几厘米？

【巩固】把一个边长为a的正方形分成两个完全相同的长方形,则这两个长方形的周长的和是            。

【巩固】如图,两个长方形拼成了一个正方形。如果正方形的周长比两个长方形的周长的和少6厘米,则正方形面积是________平方厘米。

【巩固】两个大小相同的正方形拼成了一个长方形,长方形的周长比原来的两个正方形周长的和减少了厘米,原来一个正方形的周长是多少厘米？

【例 9】长方形长为l0厘米,宽为4厘米．是中点,四边形的周长比三角形的周长多（     ）厘米．

【例 10】（第六届走美四年级初赛第15题）E是正方形ABCD的边CD上的三等分点(如图),BE把正方形分成一个梯形和一个三角形．梯形的周长比三角形的周长大8厘米．正方形ABCD的面积是    ．

【例 11】如图所示,一个大长方形被三条线段分成了四个小长方形,各条线段长度见图(单位:厘米)．求:图中所有长方形的周长之和．

【例 12】如图,从长方形纸片ABCD上剪去正方形ADFE,剩下的长方形EFCB的周长是100厘米,则AB的长是       厘米。

【例 13】如图,正方形ABCD的边长是6厘米,过正方形内的任意两点画直线,可把正方形分成9个小长方形。这9个小长方形的周长之和是           厘米。

【巩固】如图,正方形的边长为,被分割成如下个小长方形,求这个小长方形的所有周长之和．

【巩固】有一个长方形纸片,长比宽多厘米,周长是厘米,用剪刀剪下（如图）,这个长方形的周长之和是        。

【例 14】如图,一个正方形被分割成个互不重叠的小长方形,这个小长方形的周长总和为,原正方形的面积是         。

【例 15】如图,有一张长为12厘米,宽为10厘米的长方形纸片,按照虚线将这个纸片剪为两部分,这两部分的周长之和是_____________厘米．

【例 16】将若干个边长为的正六边形(即单位六边形)拼接起来,得到一个拼接图形,如图:

那么,要拼接成周长等于的拼接图形,需要多少个单位六边形？画出对应的一种图形．

模块二、图形的周长和面积——平移

【例 17】一个周长是20厘米的正方形,剪下一个周长是6厘米的正方形,剩下的图形的周长是______（写出所有可能的结果）

【巩固】如图3所示,这是三个边长为10厘米的正方形纸片。从（1）和（2）中各剪去一个面积是4平方厘米的小正方形,从（3）中剪去一个面积是4平方厘米的长方形。比较（1）,（2）,（3）,剩下部分周长最小的是_________（填图形编号）,它的周长是_________厘米。

【例 18】一个长为厘米,宽为厘米的长方形,挖去一个边长为厘米的正方形补在另一边上（如图）。所得图形的周长为        厘米。

【巩固】一个周长是20厘米的正方形,剪下一个周长是6厘米的正方形,剩下的图形的周长是            ．  (写出所有可能的结果)

【例 19】下边这个图形的周长等于_________厘米。

【巩固】下图中标出的数表示每边长,单位是厘米．它的周长是多少厘米？ 

【巩固】求右图所示图形的周长(单位:分米) 

【巩固】如下图是某校的平面图,已知线段a＝120米,b＝130米,c＝70米,d＝60米,l＝250米．杨老师每天早晨绕学校跑3圈,问每天跑多少米？

【例 20】下图表示一块地,四周都用篱笆围起来,转弯处都是直角．已知西边篱笆长米,南边篱笆长米．四周篱笆长多少米？

【巩固】右图的周长是          分米．

【巩固】计算右边图形的周长(单位:厘米)。

【巩固】下图是一个锯齿状的零件,每一个锯齿的两条线段都长2厘米,求这个零件的周长．

【例 21】将边长为10厘米的五张正方形纸片如图那样放置,每张小正方形纸片被盖住的部分是一个较小的正方形,它的边长是原正方形边长的一半,则图中的图形外轮廓（图中粗线条）的周长为___________厘米。

【例 22】下图是一面砖墙的平面图,每块砖长20厘米,高8厘米,像图中那样一层、二层…一共摆十层,求摆好后这十层砖墙的周长是多少？

【巩固】 “走美商场”开业了！每口如图有规律地放了一些同样的礼品盒供顾客免费领取。每一礼品盒宽厘米,长厘米（取“永久发达”的吉祥寓意）。摆好后其上面四层的正面图如下图所示,共摆十层,则一共有        个礼品盒,整个图形周长为        厘米。

【例 23】下图由25个边长为3厘米的小正方形拼成,它的周长为    厘米。

【例 24】如图,每个小方格是一个正方形,如果该图总面积是52个平方单位,试求这个图形的外沿周长是多少个长度单位？ 

【例 25】把长2厘米、宽1厘米的长方形砖块摆成如图的形状,求该图形的周长？

【例 26】两只小蚂蚁同时从图中的点出发开始爬向点,红蚂蚁沿图中的实线爬行,黑蚂蚁沿图中虚线爬行,如果两只蚂蚁的爬行速度相同,则最先到达点的是          ．

【巩固】如下图,正方形操场边长100米,一只蚂蚁沿甲地走了一圈,另一只蚂蚁沿乙地走了一圈,谁走的路长？ 它们各走了多少米？

【例 27】求下图的周长．

【巩固】求右图的周长． 

【巩固】右图是由七个长5厘米、宽3厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形．求这个图形的周长？

【例 28】下图的小正方形边长为1厘米．这个图形的外沿的周长是多少厘米？

【例 29】(第七届”小机灵杯”数学竞赛初赛)下面两张图中,周长较大的是        ．(在横线上填写表示图名的字母)

【例 30】如图是一个机器零件的侧面图,图中每一条最短线段长5厘米,这个零件高30厘米,求这个零件侧面的周长是多少厘米？

【例 31】图中是由周长都是20厘米的小正方形组成的,它的周长是多少厘米？

【巩固】下图是由边长为1厘米的11个正方形堆成的“土”字图形．试求出其周长．

【例 32】右图是由个同样大小的正方形组成的,如果这个图形的面积是平方厘米,那么它的周长是多少厘米？

【例 33】图⑴、图⑵都是由完全相同的正方形拼成的,并且图⑴的周长是厘米,那么图⑵的周长是多少厘米？

【例 34】图有16条线段,每两条相邻的线段都是互相垂直的．为了计算出这个图形的周长,最少要量出多少条线段的长度?

【例 35】如图,每个小格的边长都是1个单位长度,一只甲虫在水平方向上每爬行1个单位长度需要5秒,在竖直方向上每爬行1个单位长度需要6秒,每拐弯一次需要1秒。它从A点爬到B点,最少需要        秒。

【例 36】右图中的每个拐弯处的角都是直角,且它的边的边长分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米。这个图形的面积最大是_____________平方厘米；最小是__________平方厘米．

【例 37】如图,一个长方形被分成A、B、C三块,其中B和C都是长方形,A的边的边长分别是l、2、3、4、5、6、7、8厘米。那么B和C的面积和最多是     平方厘米。(示意图不成比例)

模块三、整体看问题

【例 38】下图中的阴影部分是正方形,线段长厘米,线段长厘米,则长方形的周长是       厘米．

【巩固】如图,在长方形中,是正方形．已知,,求长方形的周长．

【巩固】如图,长方形ABCD中有一个正方形EFGH,且AF=16厘米,HC=13厘米,长方形ABCD的周长为        厘米。

【例 39】如右图所示,在一个正方形内画中、小两个正方形,使三个正方形具有公共顶点,这样大正方形被分割成了正方形区域甲,和形区域乙和丙．甲的边长为厘米,乙的边长是甲的周长的倍,丙的周长是乙的周长的倍,那么丙的周长为多少厘米？长多少厘米？

【例 40】图内9个相同的小长方形构成大长方形,大长方形周长为90,则每个小长方形周长为      。

【例 41】有个小长方形,它们的长和宽分别相等,用这个小长方形拼成的大长方形(如图)的面积是平方厘米,求这个大长方形的周长．

【例 42】右图的长方形被分割成个正方形,已知原长方形的面积为平方厘米,求原长方形的长与宽．

【例 43】小明骑车到A、B和C三个景点旅游,如果从A地出发经过B地到C地,共行10千米；如果从B地出发经过C地到A地,共行13千米；如果从C地出发经过A地到B地,共行11千米,则距离最短的两个景点之间相距               千米。下载本文