数学是一门演绎的学问，从一组公设，经过逻辑的推理，获得结论。

                                   ——陈省身

知识方法扫描

1. 全等三角形的基本判定方法有“边角边”，“角边角”，“边边边”三种。

    证明两个三角形全等的关键是证明它们满足判定方法中的三个条件，具体的分析步骤是：先找出这两个三角形中已知或容易证明的对应的角或边来，然后根据判定方法来确定还需要证明哪些角或边相等，再设法证明这些角或边相等。

    在证题的过程中，要注意防止“角角边”这种错误。但是直角三角形可以用“斜边，直角边”来判定全等。

2．根据全等三角形的性质，它们的对应边，对应角，对应线段（角平分线，中线，高）都对应相等。我们常用全等三角形来证明线段或角的相等，线段或角的和差倍分等问题，还可以用来证明直线的垂直或平行问题 

3．角平分线上的点，到角的两边距离相等；到角的两边距离相等的点，在角的平分线上。

4． 三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫做三角形的内心，三角形的内心到三角形三边的距离相等。

经典例题解析

例1 （1996年河南省初中数学竞赛试题，1994年南京市数学竞赛试题）如图所示，已知BD，CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB。求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ。

分析 要证明AP= AQ，可考虑用全等三角形对应边

相等来证，即考虑它们分别在哪两个三角形内，可

以看出它们分别在△AEQ和△ADP内，或在△ACQ

和△PBA内，而前者只有一个直角相等，后者有两

对边分别相等：CQ = AB，BP= AC．故只要寻求两

边所夹的角是否相等即可，

证明（1）因BD，CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，故∠ACQ=90º-∠BAC=∠PBA。

在△ACQ与△PBA中， AC=PB，∠ACQ=∠PBA，CQ=BA，于是△ACQ≌△PBA，从而AQ=AP。

（2）由△ACQ≌△PBA，知∠CAQ=∠BPA，于是∠QPA=∠CAQ+∠DAP=∠BPA+∠CAQ=90º，所以AP⊥AQ。

评注 证明线段互相垂直问题往往可转化为计算角的度数或证明角相等问题，从而利用全等三角形对应角相等证明．

例2．（2003年重庆市初中数学竞赛决赛试题）如图，AE是中外角的平分线，E为AE上不同于A的一点，则下列关系成立的是（　　　　）              

（A）AB+ACBE+EC

（C）AB+AC=BE+EC          （D）不能确定　

解  A    

在BA的延长线上截取AD=AC,连结DE,在△ADE与△ACE中，AD=AC，∠DAE=∠CAE，AE=AE，所以△ADE≌△ACE,  于是ED=EC,从而AB+AC=AB+AD评注 当题目的条件中出现了角平分线时，可在这个角的两边截取相等的线段，利用角平分线是公共边来构造一对全等三角形。这是一种十分常见的辅助线。 

例3．（1987年天津市初中数学竞赛试题）在ΔABC中，∠BAC=90°, AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，求证：CE=BD。

证明   延长CE与BA交于F。因∠BAC=90°, CE⊥BE，故∠FCA=90º-∠F

=∠DBA。

在△FCA和△BDA中，∠FAC=∠DAB=90º，AC=AB，∠FCA=∠DBA，故△FCA≌△BDA。于是BD=CE。

在△BEF和△BEC中，∠FEB=∠CEB=90º，BE=BE，∠FBE=∠CBE， 故△BEF≌△BEC，于是EC=EF。CF=2CE 

所以CE=CF=BD。

评注 1．证明一条线段是另一条线段的两倍，或证明一条线段是另外两条线段的和常用延长或截取的方法，将其转化为证明线段相等的问题来解决。

2．当题目条件中出现了角平分线的垂线时，常将其延长，与角的两边相交，这样可以得到一对全等的直角三角形。

    例4．（1987年天津市第一届《中华少年杯》初中数学邀请赛试题）证明:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.

已知： 在△ABC中，∠ACB=90º，CD是中线。

求证：CD=AB。

证明  延长CD到E，使得DE=CD ，连结BE。 

    在△ADC与△BDE中，AD=BD，∠ADC=∠BDE，DC=DE，故有△ADC ≌△BDE。

于是有AC=BE，∠A=∠DBE，故AC∥BE。 因∠ACB=90º，故∠EBC=90º。

在△ACB与△EBC中，AC=BE，∠ACB=∠EBC，BC=BC，故有△ACB≌△EBC，于是AB=CE=2CD，CD=AB。

评注 1．遇到与三角形的中线有关的问题，将三角形的中线延长一倍，是一种常用的辅助线。其目的是为了得到一对全等三角形，将分散的条件集中到一个三角形中去。

2．本例是平面几何的一个重要定理，今后可以直接引用此结论作为证题的根据。

    例5．（1983年云南省初中数学竞赛试题）如图，OA=OA’,OB=OB’,直线AB’与A’B相交于C。求证：OC为∠AOA’的平分线。

证明 在△AOB与△A’OB’中，OA=OA’, ∠AOB=∠A’OB’,  OB=OB’, 所以△AOB≌△A’OB’ ，于是∠B=∠B’.

在△A B’C与△A’BC中，AB’= OB’ - OA = OB - OA’=A’B, ∠B=∠B’, ∠B’CA=∠BCA’,所以在△A B’C≌△A’BC，

于是AC=A’C.

在△OA C与△OA’C中，OA=OA’, AC=A’C.,OC=OC,

所以△OA C≌△OA’C。于是∠AO C=∠A’OC，即OC为∠AOA’的平分线。

评注：本题在证明时需要防止错误的利用“边，边，角”来判定三角形全等。

例6 （2002年重庆市初中数学决赛试卷）如图，中，，的平分线CD和的平分线BE交于点G.　求证：GE=GD. 

证明   连结AG,过点G作GMAB,GNAC,GFBC.

∵ ∠A=60º, ∴∠ACB+∠ABC=120º

∵ CD,BE是角平分线， ∴∠BCG+∠CBG=120º÷2=60º,

∴∠CGB=∠EGD=120º

∵G 是∠ACB平分线上一点，∴GN=GF。 同理，GF=GM，

于是GN=GM，∴AG是∠CAB的平分线，∴∠GAM=∠GAN=30º。

∴∠NGM=∠NGA+∠AGM=60º+60º=120º。

在Rt△EGN 与Rt△DGM中，∵∠EGD=∠NGM=120º，∴∠EGN=∠DGM，

又 GN=GM， ∴△EGN≌△DGM，∴GE=GD。

评注 当题目条件中出现了角平分线时，常从角平分线上一点向角的两边作垂线，这样也可以得到一对全等的直角三角形。

例7．（1984年武汉市初中数学竞赛试题）(1) 已知△ABC和△A1B1C1中, AB=A1B1, BC=B1C1，∠BAC=∠B1A1C1=100º, 试证明△ABC≌△A1B1C1。

(2)前题中，若将条件改为AB=A1B1, BC=B1C1,∠BAC=∠B1A1C1=70º,结论是否成立？

解 （1）证明 作BD⊥CA，垂足为D，作B1D1⊥C1A1，垂足为D1。则有∠BAD=∠B1A1D1=80º，

在△BAD和△B1A1D1中，AB=A1B1，∠BAD=∠B1A1D1，∠D=∠D1=90º，于是△BAD≌△B1A1D1，BD=B1D1。

    在Rt△BCD 与Rt△B1C1D1中，BD=B1D1，BC=B1C1, 于是Rt△BCD≌ Rt△B1C1D1。∠C=∠C1。

    在△ABC和△A1 B1C1中，∠BAD=∠B1A1D1，∠C=∠C1，BC=B1C1, 于是△ABC≌△A1B1C1。

（2）结论不成立，请看反例：在下图中，A1与A重合，B1与B重合，满足AB=A1B1, BC=B1C1,∠BAC=∠B1A1C1=70º, 但显然△ABC和△A1 B1C1不全等。

例8．（19年河北省初中数学竞赛试题）在四边形ABCD中，已知AB=a,AD=b,且BC=DC，对角线AC平分∠DAB，问a与b的大小符合什么条件时，有∠D+∠B=180º，请画图并证明你的结论。

解．(1) 当a与b满足a≠b时，有∠D+∠B=180º。证明如下：

不妨设a>b, 自C作CE⊥AB，CF⊥AD, E,F为垂足。因对角线AC平分∠DAB，有CE=CF。 又BC=DC，于是Rt△CEB≌Rt△CFD，∠B=∠CDF, ∠ADC+∠B=∠ADC+∠CDF=180º;

(2) 当a与b满足a=b 且∠B=90 º时，显然有∠D+∠B=180º。

同步训练

一 选择题

1．（2001年北京市初中数学竞赛试题）

下面有四个命题：

①两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等．

②两个三角形有两角及一边对应相等，则这两个三角形全等．

③ 两个三角形的三条边对应相等，则这两个三角形全等．

④ 两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形全等

其中真命题是（    ）

如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于O，AE⊥BD于E，DF⊥BD于F，那么图中全等的三角形有（    ）

3. (1995年江苏省初中数学竞赛试题)

如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于D,AC=AB+BD,∠C=30°,那么

∠ABC的度数为(  )。

A.45°;    B.60°;    C.75°;  D.90°。

         D 

4．（1997年希望杯数学邀请赛试题）

△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC边上的中线AD的长l的取值范围是（    ）

A．1＜l＜4        B．3＜l＜5      C．2＜l＜3    D．0＜l＜5

5．（2003年武汉市初中数学竞赛选拔赛试题）

如图，在ΔABC中，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB。

则AC的长与AE+CD的关系为（       ）。

（A）AC>AE+CD  （B） AC=AE+CD   （C） AC二 填空题

6．（1999年第十届“希望杯”全国数学竞赛试题）

如果一个三角形的两条角平分线又是它的两条高线，那么这个三角形的形状是        ．

7．（1997年重庆市初二数学竞赛试题）

在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，ΔDCE的面积为S，则ABCD的面积为         。

8．（1994年北京市初二数学竞赛试题）

ΔABC中，∠C=90º, ∠A=α,以C为中心将ΔABC旋转角θ到ΔA1B1C的位置（旋转过程中ΔABC的形状保持不变）. B点恰好A1B1上（如图），试用α表示旋转角θ：         。

9．（1998年上海市初中数学竞赛试题）

如图, AC平分∠BAD, CM⊥AB, 且AB＋AD＝2AM, 那么∠ADC＋∠ABC＝________. 

10．若ΔABC中，D，E是AB边上的两点，AD=EB，则AC+BC与CD+CE的大小关系是         。

三 解答题

11．（1996年 湖北省荆沙市初二数学竞赛试题）

在ΔABC中，∠ACB=90°, AC=CB，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AE=BD，求证：BD是∠ABC的平分线。

12．（1998年四川省初中数学竞赛试题）

如图，在ΔABC中，AB=AC，直线l 过A且l∥BC，∠B的平分线与AC和l分别交于D,E; ∠C的平分线与AB和l分别交于F,G。求证 DE=FG.

13．（2003年首届创新杯数学邀请赛试题）

如图，已知ΔABC中，∠BAC=90º,四边形ABDE,BCFG是两个正方形,AB的延长线交DG于P，求证： AC=2BP

14．（1993年第4届希望杯全国数学邀请赛试题）

如图, 三所学校分别记作A、B、C, 体育场记作O, 它是△ABC的三条角平分线的交点, O、A、B、C每两地之间有道路相连, 一支长跑队伍从体育场O出发, 跑遍各校再回到O点, 指出哪条路线跑的距离最短.(已知AB＜BC＜AC)并说明理由。

15．（2004年江苏省第19届初中数学竞赛试题）

下列4个判断：

（1）有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；

（2）有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；

（3）三角形6个边、角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等；

（4）一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等。

上述判断是否正确？若正确，说明理由；若不正确，请举出反例。下载本文