1．如图，在△ABC中，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，BD、CE交于点H，点G、F分别为HC、HB的中点，连接AH、DE、EF、FG、GD，其中HA＝BC．
（1）证明：四边形DEFG为菱形；
（2）猜想当AC、AB满足怎样的数量关系时，四边形DEFG为正方形，并说明理由．
2．我们定义：如图1、图2、图3，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′，当α+β＝180°时，我们称△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B'C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．图1、图2、图3中的△AB′C′均是△ABC的“旋补三角形”．
（1）①如图2，当△ABC为等边三角形时，“旋补中线”AD与BC的数量关系为：AD＝ BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则“旋补中线”AD长为 ．
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想“旋补中线”AD与BC的数量关系，并给予证明．
3．如图①，AB是⊙O的直径，，连接AC．
（1）求证：∠CAB＝45°；
（2）如图②，直线l经过点C，在直线l上取一点D，使BD＝AB，BD与AC相交于点E，连接AD，且AD＝AE．
①求证：直线l是⊙O的切线；
②求的值．
4．如图所示，在长方形ABCD中，BC=AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O．
（1）求证：∠AEB=∠AEH；
（2）试探究DH与EH的数量关系，并说明理由；
（3）若AB=，求AF．
5．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB＝2，BC＝，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．
（1）当点E与点C重合时，求DF的长；
（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE＝22.5°，求△DFG的面积；
（3）如果点M为CD的中点，那么在点E从点C移动到点D的过程中，求C′M的最小值.下载本文
