一、知识要点

二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：

（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．

（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．

（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．

（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号．

（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号．

二、基础练习

1、（2011•重庆）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图

所示，则下列结论中，正确的是（）

A、a＞0

B、b＜0

C、c＜0

D、a+b+c＞0

2、（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结

果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）

A、①②③④

B、②④⑤

C、②③④

D、①④⑤

3、（2011•孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐

标为（12，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中

正确结论的个数是（）

A、1

B、2

C、3

D、4

4、（2011•山西）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下

列结论正确的是（）

A、ac＞0

B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3

C、2a-b=0

D、当x＞0时，y随x的增大而减小

5、（2011•泸州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，

有下列结论：①abc＞0，②b2-4ac＜0，③a-b+c＞0，④4a-2b+c＜0，其中正确结论的个数是（）

A、1

B、2

C、3

D、4

6、（2011•兰州）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出

了下面四条信息：

（1）b2-4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a-b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有

（）

A、2个

B、3个

C、4个

D、1个

7、（2011•昆明）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、b2-4ac＜0

B、abc＜0

C、-b2a＜-1

D、a-b+c＜0

8、（2011•鸡西）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：

①b2-4ac＞0 ②a＞0 ③b＞0 ④c＞0 ⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是

（）A、2个B、3个C、4个D、5个

9、（2011•防城港）已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（）

A、第一、二、三象限

B、第二、三、四象限

C、第一、二、四象限

D、第一、三、四象限

10、（2010•昭通）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0

B、a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＜0

C、a＜0，b＞0，c＜0，b2-4ac＞0

D、a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＞0

11、（2010•梧州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的

是（）

A、ac＜0

B、a-b+c＞0

C、b=-4a

D、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=5

12、（2010•文山州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a，b，c满足（）

A、a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0

B、a＜0，b＜0，c＜0，b2-4ac＞0

C、a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＜0

D、a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0

13、（2010•铁岭）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结

论，其中正确的结论是（）

A、abc＞0

B、b＞a+c

C、2a-b=0

D、b2-4ac＜0

14、（2010•钦州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：

①ac＞0；②a-b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；

④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于-1的实数根．

其中错误的结论有（）

A、②③

B、②④

C、①③

D、①④

15、（2010•黔南州）如图所示为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列选项中错误的是（）

A、ac＜0

B、x＞1时，y随x的增大而增大

C、a+b+c＞0

D、方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3

16、（2010•荆门）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（）

A、ab＜0

B、ac＜0

C、当x＜2时，函数值随x增大而增大；当x＞2时，函数值随x增大而减小

D、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根

17、（2010•福州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是

（）

A、a＞0

B、c＜0

C、b2-4ac＜0

D、a+b+c＞0

18、（2010•鄂州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①a，b异

号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=4时，x的取值只能为0，结

论正确的个数有（）个．

A、1

B、2

C、3

D、4

19、（2010•百色）二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，下列几个结论：

①对称轴为x=2；②当y≤0时，x＜0或x＞4；③函数解析式为y=-x（x-4）；④当x≤0时，y随x的增大而增大．

其中正确的结论有（）

A、①②③④

B、①②③

C、①③④

D、①③三、能力练习

1.（2010•广安）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②b＜a+c；③2a+b=0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．

其中正确的结论有（）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

2.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，下列结论：①b＜0；②（a+c）2＞b2；③2a+b-c＞0；④3b ＜2c．其中正确的结论有①③④（填上正确结论的序号）．

解：∵抛物线的开口方向向上，∴a＞0，∵对称轴为x=$-\\frac{b}{2a}$=1，得2a+b=0，2a=-b，

∴a、b异号，即b＜0，∴①正确；∵抛物线与轴的交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴2a+b-c=-c

＞0，∴③正确；∵当x=1时，y=a+b+c＜0，∵当x=-1时，y=a-b+c＞0，∴2a-2b+2c＞0，

∴-b-2b+2c＞0，∴3b＜2c，∴④正确；∵a+b+c＜0，a-b+c＞＞0，∴（a+b+c）（a-b+c）＜0，即（a+c）2-b2＜0，②错误．正确答案：①③④．

3.（2011•广西）已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b ＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（）

A、①⑤

B、①②⑤

C、②⑤

D、①③④

解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，

∵对称轴为x=＞0，∴a、b异号，即b＜0，又∵c＜0，∴abc＞0，故本选项正确；

②∵对称轴为x=＞0，a＞0，-＜1，∴-b＜2a，∴2a+b＞0；故本选项错误；

③当x=1时，y1=a+b+c；

当x=m时，y2=m（am+b）+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2＜y1，所以不能确定；故本选项错误；

④当x=1时，a+b+c=0；当x=-1时，a-b+c＞0；∴（a+b+c）（a-b+c）=0，即（a+c）2-b2=0，∴（a+c）2=b2故本选项错误

⑤当x=-1时，a-b+c=2；当x=1时，a+b+c=0，∴a+c=1，∴a=1+（-c）＞1，即a＞1；故本选项正确；综上所述，正确的是①⑤．故选A．

4.（2010•天津）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：

①b2-4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0

其中，正确结论的个数是（）A、1 B、2 C、3 D、4

解：①根据图示知，二次函数与x轴有两个交点，所以△=b2-4ac＞0；故本选项正确；

②根据图示知，该函数图象的开口向上，∴a＞0；又对称轴x=-=1，∴＜0，∴b＜0；又该函数图象交于y轴的负半轴，∴c＜0；∴abc＞0；故本选项正确；

③∵对称轴x=-=1，∴b=-2a，可将抛物线的解析式化为：y=ax2-2ax+c（a≠0）；

由函数的图象知：当x=-2时，y＞0；即4a-（-4a）+c=8a+c＞0，故本选项正确；也可以：当x=4时，从图像上看y

＞0，此时16a+4b+c＞0,而从对称性看出-b

2a=1，解得b=-2a，代入上式得8a+c＞0；

④根据抛物线的对称轴方程可知：（-1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当x=-1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故本选项正确；所以这四个结论都正确．故答案为：4．

5.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论正确序号是（只填序号）．①abc＞0，②c=-3a，

③b2-4ac＞0，④a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．

解：①正确，∵与y轴交于负半轴，所以c＜0，∵开口向上，∴a＞0，

又∵对称轴在y轴右侧，∴-＞0，∴b＜0，∴abc＞0．

②正确，∵ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=-1，x2=3，根据根与系数的关系，=3×（-1）

=-3，即c=-3a．

③正确，∵函数图象与x轴有两个点，∴b2-4ac＞0；

④正确，由函数图象可知，对称轴为x=1，此时y取最小值为：a+b+c；

∵当x=m时，y值为：am2+bm+c；∴am2+bm+c＞a+b+c，（m≠1的实数），∴a+b＜m（am+b）．故结论正确序号是①

②③④．

6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①a+b+c=0；②4a+b=0；③abc＜0；④4ac-b2＜0；⑤当x≠2时，总有4a+2b＞ax2+bx其中正确的有（填写正确结论的序号）．

解：①由图象可知：当x=1时y＜0，∴a+b+c＜0．

②由图象可知：对称轴x=-=2，∴4a+b=0，∴正确；

由抛物线与x轴有两个交点可以推出b2-4ac＞0，正确；

③由抛物线的开口方向向下可推出a＜0因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x=-＞0，又因为a

＜0，b＞0；

由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，故abc＞0，错误；

④由抛物线与x轴有两个交点可以推出b2-4ac＞0∴4ac-b2＜0正确；

⑤∵对称轴为x=2，∴当x=2时，总有y=ax2+bx+c=4a+2b+c＞0，∴4a+2b＞ax2+bx正确．故答案为：①②④⑤．

7.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②a-b+c＞0；③2a+b=0；

④b2-4ac＞0⑤a+b+c＞m（am+b）+c，（m＞1的实数），其中正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

解：由图象可知：开口向下，与Y轴交点在X轴的上方，对称轴是x=1，∴c＞0，a＜0，-=1，

∴2a+b=0，b＞0，∴（1）abc＜0（正确），（3）2a+b=0（正确），

（2）当x=-1时，y=ax2+bx+c=a-b+c，由图象可知当x=-1时y＜0，即a-b+c＜0，∴（2）a-b+c＞0（不正确），

（4）由图象知与X轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，即（4）b2-4ac＞0（正确），∵m＞1，

当x=1时，y1=ax2+bx+c=a+b+c，

当x=m时，y2=ax2+bx+c=am2+bm+c=m（am+b）+c，由图象知y1＞y2，即（5）a+b+c＞m（am+b）+c（正确），

综合上述：（1）（3）（4）（5）正确有4个正确．

8.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（x1，0），-3＜x1＜-2，对称轴为x=-1．给出四个结论：

①abc＞0；②2a+b=0；③b2＞4ac；④a-b＞m（ma+b）（m≠-1的实数）；⑤3b+2c＞0．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个

解：①由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，

∴c＞0，对称轴为x==-1，得2a=b，∴a、b同号，即b＜0，∴abc＞0；故本选项正确；

②∵对称轴为x==-1，得2a=b，∴2a+b=4a，且a≠0，∴2a+b≠0；故本选项错误；

③从图象知，该函数与x轴有两个不同的交点，所以根的判别式△=b2-4ac＞0，即b2＞4ac；

故本选项正确；

④图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x=-1，能得到：a＜0，c＞0，-=-1，∴b=2a，

∴a-b=a-2a=-a，m（ma+b）=m（m+2）a，假设a-b＞m（am+b），（m≠1的实数）即-a＞m（m+2）a，所以（m+1）2＞0，满足题意，所以假设成立，故本选项正确；

⑤∵-3＜x1＜-2，∴根据二次函数图象的对称性，知当x=1时，y＜0；又由①知，2a=b，∴a+b+c＜0；∴b+b+c＜0，即3b+2c＜0；故本选项错误．综上所述，①③④共有3个正确的．故选B．

9.已知：如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1，与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，且OB=OC，则下列结论正确的个数是（）①b=2a ②a-b+c＞-1 ③0＜b2-4ac＜4 ④ac+1=b．A．1个B．2个C．3个D．4个

解：①∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1，∴-=-1，整理得b=2a，故①正确；

④由抛物线与y轴相交于点C，就可知道C点的坐标为（0，c），又因OC=OB，所以B（-c，0），把它代入y=ax2+bx+c，即ac2-bc+c=0，两边同时除以c，即得到ac-b+1=0，所以ac+1=b．

②∵b=2a，ac+1=b，∴a=，∵0＜c＜1，∴0＜a＜1，∴0＜b＜2，∴a-b+c＞-1∴当x=-1时，y=ax2+bx+c=a-b+c＞-1，故②正确；

③∵函数图象与x轴有两个交点，∴得到b2-4ac＞0，∵0＜b2＜4，4ac＞0，∴b2-4ac＜4故③正确；故选D．

10.如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标为x1、x2，其中-2＜x1＜-1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＞0；②4a-2b+c＜0；③2a-b＞0；④b2+8a＞4ac，正确的结论是①②④

．

解：由图知：抛物线的开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴x=-＞-1，且c＞0；

①∵对称轴x=-＜0，a＜0，∴b＜0；又∵c＞0，∴abc＞0，故本选项正确；

②由图可得：当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0，故本选项正确；

③已知x=-＞-1，且a＜0，所以2a-b＜0，故本选项错误；

④由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：＞2，由于a＜0，所以4ac-b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故本选项正确；因此正确的结论是②④；故答案是：①②④．

11.（2006•武汉）（人教版）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（x1，0），且0＜x1＜1，下列结论：①9a-3b+c＞0；②b＜a；③3a+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3

解：∵y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（x1，0），且0＜x1＜1，∴x=-3时，y=9a-3b+c ＞0；∵对称轴是x=-1，则=-1，∴b=2a．∵a＞0，∴b＞a；再取x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＞0．∴①、③正确．故选C．

12.如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，AB＞AO，下列几个结论：（1）abc＜0；（2）b＞2a；（3）a-b=-1；（4）4a-2b+1＜0．其中正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1

：

解：（1）∵该抛物线的开口向上，∴a＞0；又∵该抛物线的对称轴x=-＜0，∴b＞0；而该抛物

线与y轴交于正半轴，故c＞0，∴abc＞0；故本选项错误；

（2）由（1）知，a＞0，-＜0，∴b＞-2a；故本选项错误；

（3）∵OA=OC=1，∴由图象知：C（0，1），A（-1，0），把C（0，1）代入y=ax2+bx+c得：c=1，把A（-1，0）代入y=ax2+bx+c得：a-b=-1，故本选项正确；

（4）由（3）知，点A的坐标是（-1，0）．又∵AB＞AO，∴当x=-2时，y＜0，即4a-2b+1＜0；故本选项正确．

综上所述，正确的个数是2个．故选C．

13.如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标为x1、x2，其中-2＜x1＜-1、0＜x2＜1．下列结论：①4a-2b+c＜0，②2a-b＜0，③a＜-1，④b2+8a＞4ac中，正确的结论是

解：由图知：抛物线的开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴x=- ＞-1，且c＞0；

①由图可得：当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0，故①正确；

②已知x=- ＞-1，且a＜0，所以2a-b＜0，故②正确；

③已知抛物线经过（-1，2），即a-b+c=2（1），由图知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0（2），

由①知：4a-2b+c＜0（3）；联立（1）（2），得：a+c＜1；联立（1）（3）得：2a-c＜-4；

故3a＜-3，即a＜-1；所以③正确；

④由于抛物线的对称轴大于-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：

＞2，由于a＜0，所以4ac-b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④正确；因此正确的结论是①②③④．

14.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（）A．①②B．②③C．③④D．②④

解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，

∵对称轴为x=＜0，∴a、b同号，即b＞0，∴abc＜0，故本选项错误；

②当x=1时，函数值为2，∴a+b+c=2；故本选项正确；

③∵对称轴x=＞-1，解得：＜a，∵b＞1，∴a＞，故本选项错误；④当x=-1时，函数值＜0，即a-b+c＜0，（1）又a+b+c=2，将a+c=2-b代入（1），2-2b＜0，∴b＞1故本选项正确；综上所述，其中正确的结论是②④；故选D．15.（2003•武汉）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（-1，0），且满足4a+2b+c＞0，以下结论：①a+b＞0；②a+c ＞0；③-a+b+c＞0；④b2-2ac＞5a2，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个

解：（1）因为抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（-1，0），所以原式可化为a-b+c=0----①，

又因为4a+2b+c＞0----②，所以②-①得：3a+3b＞0，即a+b＞0；（2）②+①×2得，6a+3c＞0，

即2a+c＞0，

∴a+c＞-a，∵a＜0，∴-a＞0，故a+c＞0；（3）因为4a+2b+c＞0，可以看作y=ax2+bx+c（a＜0）

当x=2时的值大于0，草图为：可见c＞0，∵a-b+c=0，∴-a+b-c=0，两边同时加2c得-a+b-c+2c=2c，整理得-a+b+c=2c ＞0，即-a+b+c＞0；

（4）∵过（-1，0），代入得a-b+c=0，∴c=b-a，再代入4a+2b+c=3b+3a＞0，即b＞-a∴b＞0，a＜0，c=b-a＞0，

又将c=b-a代入b2-2ac=b2-2a（b-a）=b2-2ab+2a2，∵b2-2ab=b（b-2a），b＞-a，b-2a＞-3a，并且b是正数，

∴原式大于3a2．综上可知正确的个数有4个．故选D．

16.如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（-3，0），对称轴为x=-1．给出四个结论：①b2＞4ac；②b=-2a；③a-b+c=0；④b＞5a．其中正确结论是．

解：①∵图象与x轴有交点，对称轴为x==-1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，

又∵二次函数的图象是抛物线，∴与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，即b2＞4ac，正确；

②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∵对称轴为x==-1，

∴2a=b，∴2a+b=4a，a≠0，错误；

③∵x=-1时y有最大值，由图象可知y≠0，错误；

④把x=1，x=-3代入解析式得a+b+c=0，9a-3b+c=0，两边相加整理得5a-b=-c＜0，即5a＜b．故正确的为①④．下载本文