一、【问题引入与归纳】
1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：
3、有理数的本质定义，能表成（互质）。m n 0,,n m n ≠
4、性质：① 顺序性（可比较大小）；
② 四则运算的封闭性（0不作除数）；
③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：
① ② 非负性 (0)||(0)
a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩2(||0,0)a a ≥≥③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题解析】： 1、若的值等于多少？||||||0,a b ab ab a b ab
+- 则 2． 如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（ ）
m m A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方
3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求a b c d x
的值。
220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图
a b 所示，那么化简的结果等于（
||||a b a b -++ A. B. C.0 D.2a 2a -2b
5、已知，求的值是（ ）
2(3)|2|0a b -+-=b a A.2 B.3 C.9 D.6
6、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么中有几个负数？,,a b b c c a b c c a a b
------ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示,a b a +为0，
，的形式，求。b a
b 20062007a b +
8、
三个有理数的积为负数，和为正数，且,,a b c 则的值是多少？||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac
=+++++321ax bx cx +++9、若
为整数，且，试求的,,a b c 20072007||||1a b c a -+-=||||||c a a b b c -+-+-值。
三、课堂备用练习题。
1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006
2、计算：
1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)
3、计算：59173365129132481632
+++++-4、已知为非负整数，且满足，求的所有可能值。5、若三,a b ||1a b ab -+=,a b 个有理数满足，求的值。,,a b c ||||||1a b c a b c ++=||abc abc
第二讲 数系扩张--有理数（二）
一、【能力训练点】：
1、绝对值的几何意义
① 表示数对应的点到原点的距离。
|||0|a a =-a ② 表示数、对应的两点间的距离。
||a b -a b 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。
二、【典型例题解析】：
1、 （1）若，化简20a -≤≤|2||2|
a a ++-（2）若，化简
0x |||2||3|||x x x x ---2、设，且，试化简0a ||
a x a ≤|1||2|x x +--3、、是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？
a b （1）
（2）||||||;a b a b +=+||||||;ab a b =（3）
（4）若则||||;a b b a -=-||a b =a b =（5）若，则 （6）若，则||||a b a b a b ||||
a b 4、若，求的取值范围。
|5||2|7x x ++-=x 5、不相等的有理数在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果
,,a b c ，那么B 点在A 、C 的什么位置？
||||||a b b c a c -+-=-6、设，求的最小值。
a b c d ||||||||x a x b x c x d -+-+-+-7、是一个五位数，求
abcde a b c d e 的最大值。
||||||||a b b c c d d e -+-+-+-8、设都是有理数，令1232006,,,,a a a a 1232005()
M a a a a =++++ ,,试比2342006()a a a a ++++ 1232006()N a a a a =++++ 2342005()a a a a ++++
较M 、N 的大小。
三、【课堂备用练习题】：
1、已知求的最小值。
()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++- ()f x 2、若与互为相反数，求的值。|1|a b ++2(1)a b -+321a b +-3、如果，求的值。0abc ≠||
||||
a b c a b c ++4、是什么样的有理数时，下列等式成立？
x （1）
（
2）|(2)(4)||2||4|x x x x -+-=-+-|(76)(35)|(76)(35)
x x x x +-=+-5、化简下式：||||
x x x
-
第三讲 数系扩张--有理数（三）
一、【能力训练点】：
1、运算的分级与运算顺序；
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。
（1）加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。
（2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
（3）乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。
（4）除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。
3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。二、【典型例题解析】：
1、计算：3510.752(0.125)124478⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭2、计算：（1）、()()560.9 4.48.11
+-++-+（2）、（-18.75）+（+6.25）+（-3.25）+18.25
（3）、（-4）+23111362324⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3、计算：① ()232321 1.75343⎛⎫⎛⎫⎛⎫------+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②111142243⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
4、 化简：计算：（1）711145438248⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）35123.7540.1258623⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
（3）()()340115477⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-----+--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（4）235713346⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（5）-4.035×12＋7.535×12-36×（）79-57618
+5、计算： （1）（2）()()()3242311-+⨯---（3）()()219981110.5333⎡⎤---⨯⨯--⎣⎦22831210.52552142⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷--⨯--÷⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、计算：()3413312100.514⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫+--⨯-÷---⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭7、计算：
33232002
13471113()[0.25(](5 1.254)[(0.45)(2](1)81634242001
-⨯+----÷++-：
第四讲 数系扩张--有理数（四）
一、【能力训练点】：
1、运算的分级与运算顺序；
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。
3、巧算的一般性技巧：
① 凑整（凑0）； ② 巧用分配律
③ 去、添括号法则； ④ 裂项法
4、综合运用有理数的知识解有关问题。
二、【典型例题解析】：
1、计算：237970.71
6.6 2.20.7 3.31173118⨯-⨯-÷+⨯+÷2、1111111111(1()(12319962341997231997----⨯++++----- 1111()2341996
⨯++++ 3、计算：①2232(2)|3.14|| 3.14|
(1)π
π-+-------②{
}235324[3(2)(4)(1)]7-⨯-+⨯-⨯---÷--4、化简：并求当111()(2)(3)(9)1223
x y x y x y x y +++++++⨯⨯⨯ 时的值。
2,x =9y =5、计算：2222222221314112131411
n n S n ++++=++++---- 6、比较与2的大小。1234248162
n n n S =+++++ 7、计算：
3323200213471113()[0.25(](5 1.254)[(0.45)(2](1)81634242001
-⨯+----÷++-
8、已知、是有理数，且，含，，请将a b a b 23a b c +=23a c x +=23
c b y +=按从小到大的顺序排列。
,,,,a b c x y 三、【备用练习题】：
1、计算（1） （2）1111142870130208++++222133599101
+++⨯⨯⨯ 2、计算：11111120072006200520041232323
-+-+- 3、计算：1111(1)(1)(1)(1)2342006
-⨯-⨯-⨯⨯- 4、如果，求代数式的值。2(1)|2|0a b -++=220062005()()2()
b a a b ab a b -++++5、若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，求
a b c d m 的值。2221(12)a b m m cd
-+÷-+
第五讲代数式（一）
一、【能力训练点】：
（1）列代数式； （2）代数式的意义；
（3）代数式的求值（整体代入法）
二、【典型例题解析】：
1、用代数式表示：
（1）比的和的平方小的数。
x y 与x （2）比的积的2倍大5的数。
a b 与（3）甲乙两数平方的和（差）。
（4）甲数与乙数的差的平方。
（5）甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。
（6）甲、乙两数和的2倍与甲乙两数积的一半的差。
（7）比的平方的2倍小1的数。
a （8）任意一个偶数（奇数）
（9）能被5整除的数。
（10）任意一个三位数。
2、代数式的求值：
（1）已知，求代数式的值。25a b a b -=+2(2)3()2a b a b a b a b
-+++-（2）已知的值是7，求代数式的值。
225x y ++23x y ++（3）已知；，求
的值2a b =5c a =624a b c a b c
+--+(0)c ≠（4）已知，求的值。113b a -=222a b ab a b ab ---+
（5）已知：当时，代数式的值为2007，求当时，
1x =31Px qx ++1x =-代数式的值。
31Px qx ++（6）已知等式对一切都成立，求A 、B
(27)(38)810A B x A B x -+-=+x 的值。
（7）已知，求的值。
223(1)(1)x x a bx cx dx +-=+++a b c d +++（8）当多项式时，求多项式的值。
210m m +-=3222006m m ++3、找规律：
Ⅰ.（1）； （2）22(12)14(11)+-=+22(22)24(21)
+-=+（3） （4）22(32)34(31)+-=+22(42)44(41)
+-=+第N 个式子呢？
Ⅱ.已知 ； ；2222233+=⨯2333388
+=⨯ ； 若244441515+=⨯21010a a b b +=⨯（、为正整数），求a b ?
a b +=Ⅲ. 猜想：
32332333211;123;1236;=+=++=33332123410;+++= 333331234?
n +++++= 三、【备用练习题】：
1、若个人完成一项工程需要天，则个人完成这项工程需要多少
()m n +m n 天？
2、已知代数式的值为8，求代数式的值。2326y y -+2312
y y -+3、某同学到集贸市场买苹果，买每千克3元的苹果用去所带钱数的一半，
而余下的钱都买了每千克2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每千
克多少元？
4、已知求当时，
11
11n n a a +=+(1,2,3,,2006)n = 11a =122320062007?
a a a a a a +++=
第六讲 代数式（二）
一、【能力训练点】：
（1）同类项的合并法则；
（2）代数式的整体代入求值。
二、【典型例题解析】：
1、 已知多项式经合并后，不含有的项，
222259337y x xy x nxy my +-++-+y 求的值。
2m n +2、当达到最大值时，求的值。
250(23)a b -+22149a b +-3、已知多项式与多项式N 的2倍之和是，求
3225a a a -+-324224a a a -+-N ？
4、若互异，且，求的值。,,a b c x y a b b c c a
Z ==---x y Z ++5、已知，求的值。
210m m +-=3222005m m ++6、已知，求的值。
2215,6m mn mn n -=-=-2232m mn n --7、已知均为正整数，且，求的值。,a b 1ab =11
a b a b +++8、求证等于两个连续自然数的积。2006120062
11112222 个个9、已知，求的值。1abc =111
a b c ab a bc b ac c ++++++++10、一堆苹果，若干个人分，每人分4个，剩下9个，若每人分6个，最后一
个人分到的少于3个，问多少人分苹果？
三、【备用练习题】：
1、已知，比较M 、N 的大小。
1ab =， 。1111M a b =+++11a b N a b
=+++2、已知，求的值。
210x x --=321x x -+
3、已知，求K 的值。x y z K y z x z x y
===+++4、，比较的大小。
5544333,4,5a b c ===,,a b c 5、已知，求的值。
22350a a --=432412910a a a -+-第七讲 发现规律
一、【问题引入与归纳】
我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理
论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一”。这种以退为进，寻找
规律的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。
能力训练点：观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力。二、【典型例题解析】
1、 观察算式：
(13)2(15)3(17)4(19)513,135,1357,13579,,2222
+⨯+⨯+⨯+⨯+=++=+++++++= 按规律填空：1+3+5+…+99= ？，1+3+5+7+…+ (21)n -=
2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律，写出第
个小房子用了多少块石子？
n
3、 用黑、白两种颜色的正六边形地面砖（如
图所示）的规律，拼成若干个图案：（1）第3
个图案中有白色地面砖多少块？（2）第个图
n 案中有白色地面砖多少块？
4、 观察下列一组图形，如图，根据其变化规律，可得第10个图形中三角形的
个数为多少？第个图形中三角形的个数为多少？
n
5、 观察右图，回答下列问题：
（1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点？
（2）如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第n 层有多少个点？
（3）某一层上有77个点，这是第几层？
（4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和呢？前4层的和呢？你有没有发现什么规律？根据你的推测，前12层的和是多少？
6、 读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为，这里“”是求和符号，例如
100
1n n =∑∑“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为
又如“”可表示为，同
50
1
(21);n n =-∑3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
23456710+++++++++10
31
n n =∑学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题：
（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ；
（2）计算：= （填写最后的计算结果）。
5
21(1)n n =-∑7、 观察下列各式，你会发现什么规律？
3×5=15，而15=42-1 5×7=35，而35=62-1 … … 11×13=143，而143=122-1 … …
将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来 。
8、 请你从右表归纳出计算13+23+33+…+n 3的分式，并算
出13+23+33+…+1003的值。
三、【跟踪训练题】1
1、有一列数其中：
1234,,,,n a a a a a =6×2+1，=6×3+2，=6×4+3，=6×5+4；…则第个数= 1a 2a 3a 4a n n a ，当=2001时，= 。n a n 2、将正偶数按下表排成5列
第1列
第2列第3列第4列第5列第一行2468
第二行16
141210第三行18202224……
……
28
26
根据上面的规律，则2006应在 行 列。
3、已知一个数列2，5，9，14，20，35…则的值应为：（ ） x x
4、在以下两个数串中：
1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和
1，4，7，10，…，1990，1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中的数的个数共有（ ）个。A.333 B.334 C.335 D.336
5、学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人（如右图所示 ）按照这种规定填写下表的空格：
拼成一行的桌子数
123…n
人数
4
6
…
6、给出下列算式：
48793
8572
835181322222222⨯=-⨯=-⨯=-⨯=-观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律：
7、通过计算探索规律：
152=225可写成100×1×（1+1）+25 252=625可写成100×2×（2+1）+25 352=1225可写成100×3×（3+1）+25 452=2025可写成100×4×（4+1）+25
…………
752=5625可写成
归纳、猜想得：（10n+5）2= 根据猜想计算：19952= 8、已知，计算：()()1216
1
3212222++=
++++n n n n 112+122+132+…+192= ；
9、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者提出：当n 是自然数时，代数式n 2+n+41所表示的是质数。请验证一下，当n=40时，n 2+n+41的值是什么？这位学者结论正确吗？
第八讲
综合练习（一）
1、若
，求的值。5x y x y -=+552233x y x y
x y x y
-+++-2、已知与互为相反数，求。|9|x y +-2(23)x y -+x y 3、已知，求的范围。
|2|20x x -+-=x 4、判断代数式
的正负。||||
x x x
-5、若，求的值。||1abcd abcd =-||||||||
a b c d a b c d
+++6、若，求2|2|(1)0ab b -+-=111
(1)(1)(2)(2)
ab a b a b +
++++++ 1
(2007)(2007)
a b ++7、已知，化简23x - |2||3|
x x +--8、已知互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2，P 是数轴上的表示,a b ,c d m 原点的数，求的值。10002a b
P cd m abcd
+-+
+9、问□中应填入什么数时，才能使|20062006|2006⨯-=A
10、在数轴上的位置如图所示，
,,a b c 化简：|||1||||1||23|
a b b a c c b ++-------11、若，求使成立的的取值范围。
0,0a b ||||||x a x b a b -+-=-x 12、计算：
2481632(21)(21)(21)(21)(21)
21
+++++-13、已知，
200420042004200320032003a ⨯-=-⨯+200520052005
200420042004
b ⨯-=-⨯+，求。
200620062006200520052005
c ⨯-=-⨯+abc
14、已知，求、的大小关系。
99
99909911,99
P q ==P q 15、有理数均不为0，且。设，求代数,,a b c 0a b c ++=||||||
||a b c x b c c a a b
=+++++式的值。
19992008x x -+第九讲 一元一次方程（一）
一、知识点归纳：
1、等式的性质。
2、一元一次方程的定义及求解步骤。
3、一元一次方程的解的理解与应用。
4、一元一次方程解的情况讨论。二、典型例题解析：
1、解下列方程：（1） （2）
2121
136
x x -+=-；32122234x x ⎡⎤
⎛⎫--=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（3）0.30.2 1.550.70.20.5
x x
--+= 2、
能否从；得到，为什么？反之，能否从(2)3a x b -=+3
2
b x a +=
-得到，为什么？3
2
b x a +=
-(2)3a x b -=+3、若关于的方程，无论K 为何值时，它的解总是，x 2236
kx m x nk
+-=+1x =求、的值。
m n 4、若。求的值。
5545410(31)x a x a x a x a +=++++ 543210a a a a a a -+-+-5、已知是方程的解，求代数式的值。
1x =11
322mx x =-22007(79)m m -+6、关于的方程的解是正整数，求整数K 的值。x (21)6k x -=7、若方程与方程同解，求的值。732465x x x --=-3551
2246x x mx ---=-m 8、关于的一元一次方程求代数式
x 22(1)(1)80m x m x --++=的值。
200()(2)m x x m m +-+9、解方程
200612233420062007
x x x x ++++=⨯⨯⨯⨯
10、已知方程的解为，求方程的2(1)3(1)x x +=-2a +2[2(3)3()]3x x a a +--=解。
11、当满足什么条件时，关于的方程，①有一解；②有无
a x |2||5|x x a ---=数解；③无解。
第十讲 一元一次方程（2）
一、能力训练点：
1、列方程应用题的一般步骤。
2、利用一元一次方程解决社会关注的热点问题（如经济问题、利润问题、
增长率问题）
二、典型例题解析。
1、
要配制浓度为20%的硫酸溶液100千克，今有98%的浓硫酸和10%的
硫酸，问这两种硫酸分别应各取多少千克？
2、一项工程由师傅来做需8天完成，由徒弟做需16天完成，现由师徒同时做了4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天？
3、某市场鸡蛋买卖按个数计价，一商贩以每个0.24元购进一批鸡蛋，但在贩运途中不慎碰坏了12个，剩下的蛋以每个0.28元售出，结果仍获利11.2元，问该商贩当初买进多少个鸡蛋？：
4、某商店将彩电按原价提高40%，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍可获利270元，那么每台彩电原价是多少？
5、一个三位数，十位上的数比个位上的数大4，个位上的数比百位上的数小
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WORD 完美格式 下载可编辑2，若将此三位数的个位与百位对调，所得的新数与原数之比为7:4，求原来的三位数？
6、初一年级三个班，完成甲、乙两项任务，（一）班有45人，（二）班有50人，（三）班有43人，现因任务的需要，需将（三）班人数分配至（一）、（二）两个班，且使得分配后（二）班的总人数是（一）班的总人数的2倍少36人，问：应将（三）班各分配多少名学生到（一）、（二）两班？
7、一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的后，用水加满，第二次倒出它13的后用水加满，这时容器中的酒精浓度为25%，求原来酒精溶液的浓度。12
8、 某中学组织初一同学春游，如果租用45座的客车，则有15个人没有座位；如果租用同数量的60座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为每辆300元，问租用哪种客车更合算？租几辆车？
9、 1994年底，张先生的年龄是其祖母的一半，他们出生的年之和是3838，问到2006年底张先生多大？
10、有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用24部A 型抽水机，6天可抽干池水，若用21部A 型抽水机13天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，则至多只能用多少部A 型抽水机抽水？
11、狗跑5步的时间，马能跑6步，马跑4步的距离，狗要跑7步，现在狗已跑出55米，马开始追它，问狗再跑多远马可以追到它？
12、一名落水小孩抱着木头在河中漂流，在A 处遇到逆水而上的快艇和轮船，因雾大而未被发现，1小时快艇和轮船获悉此事，随即掉头追救，求快艇和轮船从获悉到追及小孩各需多少时间？下载本文
