一、填空题
1．如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路．该市拟修建一条从通往海岸的观光专线（新建道路，对道路进行翻新），其中为上异于的一点，与平行，设，新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的倍．要使观光专线的修建总成本最低，则的值为____________．
2．方程，（）的所有根的和等于2024，则满足条件的整数的值是________
3．已知函数在R上可导，对任意x都有，当时，，若，则实数的取值范围为_________
4．已知为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，为的中点，为坐标原点.若△是以为底边的等腰三角形，且△外接圆的面积为，则椭圆的长轴长为___________.
5．已知函数在区间上单调，且满足．有下列结论：
①；
②若，则函数的最小正周期为；
③关于的方程在区间上最多有个不相等的实数解；
④若函数在区间上恰有个零点，则的取值范围为．
其中所有正确结论的编号为________．
6．在长方体中，，，，过点A且与直线平行的平面将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值为___________.
7．已知函数(，)的部分图象如图所示，的图象与轴的交点的坐标是，且关于点对称，若在区间上单调，则的最大值是___________.
8．已知函数，：①函数的图象关于点对称；②函数的最小正周期是；③把函数f(2x)图象上所有点向右平移个单位长度得到的函数图象的对称轴与函数y=图象的对称轴完全相同；④函数 在R上的最大值为2.则以上结论正确的序号为_______________
9．13年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知中，其中，，P为费马点，则的取值范围是__________.
10．若向量满足，则的最大值是___________.
二、单选题
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作直线交双曲线的右支于A，B两点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知，，则使得有最大值时的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．已知双曲线的左右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，满足，点是线段上一点，满足.现将沿折成直二面角，若使折叠后点，距离最小，则（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在正方体中，在棱上，，平行于的直线在正方形内，点到直线的距离记为，记二面角为为，已知初始状态下，，则（ ）
A．当增大时，先增大后减小 B．当增大时，先减小后增大
C．当增大时，先增大后减小 D．当增大时，先减小后增大
15．已知函数，现给出如下结论：①是奇函数；②是周期函数；③在区间上有三个零点；④的最大值为.其中所有正确结论的编号为（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
16．已知函数，，，下列四个结论：
①
②
③
④直线是图象的一条对称轴
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
17．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．设函数，下述四个结论：
①是偶函数；
②的最小正周期为；
③的最小值为0；
④在上有3个零点
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
19．已知函数若关于的不等式对任意恒成立，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
20．已知，其中，若函数在区间内有零点，则实数的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
21．
在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:
具体过程如下：
如图，在平面直角坐标系内作单位圆O，以为始边作角.它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B．
则
由向量数量积的坐标表示，有：
设的夹角为θ，则
另一方面，由图3.1—3（1）可知，；由图可知，
.于是.
所以，也有，
所以，对于任意角有：（）
此公式给出了任意角的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作.
有了公式以后，我们只要知道的值，就可以求得的值了.
阅读以上材料，利用下图单位圆及相关数据（图中M是AB的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题：
（1）判断是否正确？（不需要证明）
（2）证明：
（3）利用以上结论求函数的单调区间.
22．已知向量，若函数的最小正周期为.
（1）求的解析式；
（2）若关于的方程在有实数解，求实数的取值范围.
23．在海岸处，发现北偏东方向，距离为海里的处有一艘走私船，在处北偏西方向，距离为海里的处有一艘缉私艇奉命以海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以海里/时的速度从处向北偏东方向逃窜.
（1）问船与船相距多少海里？船在船的什么方向？
（2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间.
24．如图，四边形是某市中心一边长为百米的正方形地块的平面示意图. 现计划在该地块上划分四个完全相同的直角三角形（即和），且在这四个直角三角形区域内进行绿化，中间的小正方形修建成市民健身广场，为了方便市民到达健身广场，拟修建条路. 已知在直角三角形内进行绿化每1万平方米的费用为元，中间小正方形修建广场每1万平方米的费用为元，修路每1百米的费用为元，其中为正常数．设，.
（1）用表示该工程的总造价；
（2）当为何值时，该工程的总造价最低？
25．已知向量，，.
（1）用含的式子表示及；
（2）求函数的值域.
26．已知函数.
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
27．已知函数(为常数，).给你四个函数：①；②；③；④.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）求函数的最小值；
（3）在给你的四个函数中，请选择一个函数(不需写出选择过程和理由)，该函数记为，满足条件：存在实数a，使得关于x的不等式的解集为，其中常数s，，且.对选择的和任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
28．已知，，，且.
（1）若，求的值；
（2）设，，若的最大值为，求实数的值.
29．已知，函数，.
（1）若在上单调递增，求正数的最大值；
（2）若函数在内恰有一个零点，求的取值范围.
30．已知函数，且.
（1）求的单调递减区间；
（2）若，求的值.
【参】
一、填空题
1．
2．1008或1009
3．
4．
5．①②④．
6．
7．
8．②③④
9．
10．
二、单选题
11．A
12．A
13．C
14．C
15．A
16．B
17．B
18．B
19．C
20．D
三、解答题
21．(1)正确;(2)见解析;(3)单调递增区间为，
的单调递减区间为
【解析】
【分析】
(1) 因为对是方向上的单位向量,又且与共线,即可判断出正确;
(2)在中, ,又,表示出,的坐标,由纵坐标对应相等化简即可证得结论;
即
(3)由(2)结论化简可得借助正弦型函数的性质即可求得结果.
【详解】
(1) 因为对于非零向量是方向上的单位向量,又且与共线,所以正确;
(2) 因为M为AB的中点,则,从而在中, ,又,又,,所以,
即
(3) 因为令,解得:
所以的单调递增区间为
令,解得:
所以的单调递减区间为
【点睛】
本题考查向量在证明三角恒等式中的应用,考查类比推理,考查正弦型函数的单调性,难度较难.
22．（1）；（2）或.
【解析】
（1）根据向量数量积的坐标运算及三角公式，化简可得的解析式；
（2）先化简，利用换元法，设，把目标方程转化为关于的方程，分离参数后进行求解.
【详解】
（1）因为，
所以
.
因为的最小正周期为，所以，即，所以.
（2）由（1）可知.
因为，
，
所以.
令，则，
则方程
可化为，即.
因为，所以，
所以.
所以由题意可知，方程在时有解；
令，
当时，，由得（舍）；
当时，则可化为，
令，，设，则，
，
因为，当且仅当时，取到最小值，
当时，取到最大值8，
所以，所以，解得或.
所以实数的取值范围是或.
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质，利用向量的坐标运算及三角公式把目标函数化简为最简形式，是这类问题常用求解方向，方程有解问题通常利用分离参数法来解决，侧重考查数算的核心素养.
23．（1），船在船的正西方向；（2）缉私艇沿东偏北方向行驶小时才能最快追上走私船．
【解析】
（1）在中根据余弦定理计算，再利用正弦定理计算即可得出方位；
（2）在中，利用正弦定理计算，再计算得出追击时间．
【详解】
解：（1）由题意可知，，，
在中，由余弦定理得：，
，
由正弦定理得：，
即，
解得：，
，
船在船的正西方向．
（2）由（1）知，，
设小时后缉私艇在处追上走私船，
则，，
在中，由正弦定理得：，
解得：，
，
是等腰三角形，
，即．
缉私艇沿东偏北方向行驶小时才能最快追上走私船．
【点睛】
本题考查了正余弦定理解三角形，以及解三角形的实际应用，考查转化能力和运算能力，属于中档题．
24．（1），；（2）当时，取得最小值
【解析】
(1)根据题意可知,,进而求得与再求得总造价即可.
(2)由(1)有,再求导分析函数的单调性与最值即可.
【详解】
（1）在中,,,所以,.
由于和是四个完全相同的直角三角形,所以,,
所以,
.
所以
,.
（2）由（1）记,.
则.
令,因为,所以或(舍).
记,所以当时,,单调递减；
当时,,单调递增. 所以当时,取得极小值,也是最小值,
又,所以当时,取得最小值.
【点睛】
本题主要考查了三角函数在几何中的运用,同时也考查了求导分析函数最值的方法,属于难题.
25．（1）；，（2）
【解析】
（1）根据平面向量数量积的坐标表示以及三角恒等变换公式可得，根据=可求得结果；
（2）利用二倍角的余弦公式化为关于的二次函数可求得结果.
【详解】
（1）因为向量，，，
所以，，
所以，
，
，；
（2），
又，∴，.
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了求平面向量的模，考查了二倍角的余弦公式，考查了整体换元化为二次函数求值域，属于基础题.
26．（1）最小正周期；单调递减区间是，（2）最大值和最小值分别为和1.
【解析】
（1）利用二倍角的正弦公式的逆用公式以及两角和的正弦公式的逆用公式化简得，再根据周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得的递减区间；
（2）利用正弦函数的性质可求得结果.
【详解】
（1）因为.
所以的最小正周期.
由，得，
所以的单调递减区间是，.
（2）因为，所以.
所以当，即时，函数取得最大值是.
当或，即或时，函数取得最小值1.
所以在区间上的最大值和最小值分别为和1.
【点睛】
本题考查了二倍角的正弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了正弦型函数的周期公式，考查了求三角函数的单调区间和最值，属于基础题.
27．（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）令，则的解为或，由后者可得的解.
（2）令，则，分类讨论后可求，的最小值，该最小值即为原来函数的最小值.
（3）取，可以证明满足条件，再利用换元法考虑任意，不等式恒成立可得实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，.
令，因为的解为或，
所以（舍）或，故，
所以的解集为.
（2）令，则，
函数的最小值即为，的最小值.
当即时， .
当即时，；
当即时， .
故.
（3）取，
令，设的解集为闭区间，
由得，故的解集为，
取，则，故满足条件.
当时，，故在上恒成立，
故，解得，
所以实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查复合函数的性质及复合函数对应的不等式的解与恒成立问题，此类问题可通过换元法把复合函数问题转化为二次函数的最值问题或恒成立问题，本题有一定综合性，是难题.
28．(1)0 (2)
【解析】
【分析】
（1）通过可以算出，移项、两边平方即可算出结果.（2）通过向量的运算，解出，再通过最大值根的分布，求出的值.
【详解】
（1）通过可以算出，
即
故答案为0.
（2），设，，，
即的最大值为；
①当时，（满足条件）；
②当时，
（舍）；
③当时，（舍）
故答案为
【点睛】
当式子中同时出现时，常常可以利用换元法，把用进行表示，但计算过程中也要注意自变量的取值范围；二次函数最值一定要注意对称轴是否在规定区间范围内，再讨论最后的结果.
29．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）求出的单调递增区间，令，得，可知区间，即可求出正数的最大值；（2）令，当时，，可将问题转化为在的零点问题，分类讨论即可求出答案.
【详解】
解：（1）由，
得，.
因为在上单调递增，
令，得时单调递增，
所以解得，可得正数的最大值为.
（2），
设，当时，.它的图形如图所示.
又，则，，令，
则函数在内恰有一个零点，可知在内最多一个零点.
①当0为的零点时，显然不成立；
②当为的零点时，由，得，把代入中，
得，解得，，不符合题意.
③当零点在区间时，若，得，此时零点为1，即，由的图象可知不符合题意；
若，即，设的两根分别为，，由，且抛物线的对称轴为，则两根同时为正，要使在内恰有一个零点，则一个根在内，另一个根在内，
所以解得.
综上，的取值范围为.
【点睛】
本题考查了三角函数的单调性的应用，考查了函数的零点，考查了分类讨论的数学思想，考查了学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.
30．(1) 单调递减区间为； (2) .
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出函数的解析式，然后可求出它的单调递减区间．（2）结合条件求出，然后由可得结果．
【详解】
（1）
．
∵，
∴，
∴的最大值为1，最小值为．
又，且，
∴函数的最小正周期为，
∴，
∴．
由，
得，
∴的单调递减区间为．
（2）由（1）得，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵且，
∴，
∴．
∴
．
【点睛】
（1）解答有关三角函数性质的有关问题时，首项把函数解析式化为的形式，然后再结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意系数对结果的影响．
（2）对于三角变换中的“给值求值”问题，在求解过程中注意角的变换，通过角的“拆”、“拼”等手段转化为能应用条件中所给角的形式，然后再利用整体思想求解．下载本文
