高一数学试题（二）

命题人：陈志胜

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的，答案填写在答题卷上.

1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,4U A B ===，则()U A B = ð A .{}1,2,4 B .{}2,3,4 C .{}2,4,5 D .{}2,3,4,5

2.已知31

sin()25

θ-π+=，则cos θ=

A .15

B .15-

C .25

D .25

-

3.23(log 27)(log 4)⋅=

A .1

6

B .2

C .3

D .6

4.函数1

lg(1)

y x =

-的定义域为

A .(,1)-∞

B .(1,)+∞

C .(1,2)(2,)+∞

D .(1,3)(3,)+∞

5.已知0.32a =，0.41

()2

b -=，52log 2

c =，则a ，b ，c 的大小关系为

A .c b a <<

B .c a b <<

C .b a c <<

D .b c a <<

6.函数21

()()2

x f x x =-的零点个数为

A .0

B .1

C .2

D .3 7.已知集合{}1,2,3A =则{,}B x y x A y A =-∈∈中的元素个数为 A .9 B .5 C .3 D .1

8.若,αβ

为锐角，1cos(),cos()4342βαππ+=+=，则cos()2

β

α-=

A

.

B

. C

. D

. 9.已知函数()tan 1f x x x =++，若()2f a =，则()f a -的值为

A .0

B .1-

C .2-

D .3

10.

已知cos()4θπ+=sin 2θ=

A .79-

B .79

C .-

D .8

9

11.设02

αβπ

∈，（，）

且1tan tan cos αββ-=，则 A .3=

2αβπ+ B .2=2αβπ+ C .3=2αβπ- D .2=2

αβπ

- 12.已知方程22240x ax a -+-=的一个实根在区间()1,0-内，另一个实根大于2，则实 数a 的取值范围是

A .04a <<

B .12a <<

C .22a -<<

D .3a <-或1a >

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.

13.设实数12,1,,1,32α⎧⎫

∈--⎨⎬⎩⎭

，如果函数y x α=是定义域为R 的奇函数，则α的值的集

合为 .

14.若1tan 2α=，则2sin cos 4sin cos αα

αα

+=- .

15.已知22()sin cos ,,33f x x x x ππ⎡⎤

=+∈-⎢⎥⎣⎦

，则()f x 的值域为 .

16.下列叙述正确的有 （将你认为所有可能出现的情况的代号填入横线上）. ①集合{}0,1,2的非空真子集有6个；

②集合{}1,2,3,4,5,6A =，集合{}

*5,B y y y =≤∈N ，若:1f x y x →=-，则对应关系f 是从集合A 到集合B 的映射；

③函数tan y x =的对称中心为(,0)()k k π∈Z ； ④函数()f x 对任意实数x 都有1

()(2)

f x f x =--恒成立，则函数()f x 是周期为4的周期函数.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知集合{}

28120A x x x =-+≤，{}521B x m x m =-≤≤+. （1）当=3m 时，求集合A B ，A B ； （2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.

18.（本小题满分12

分）已知函数2()=sin cos (f x x x x x +∈R). （1）求函数()f x 的最小正周期与对称轴方程； （2）求函数()f x 的单调递增区间.

19.（本小题满分12

分）已知函数(f x 是定义在(11)-，

上的奇函数，且12

()=25

f . （1）求实数a b ，的值； （2）判断并证明()f x 在(11)-，上的单调性.

20.（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,)f x x ωϕωϕ=+><π图像的一个最高点坐标是(1)12

π

，

相邻的两对称中心的距离为2

π

.

（1）求函数()f x 的解析式；

（2）函数()y f x =的图像可由sin y x =的图像经过怎样的变化得到.

21.（本小题满分12分） 为振兴苏区发展，赣州市2016年计划投入专项资金加强红色文化基础设施改造.据调查，改造后预计该市在一个月内（以30天记），红色文化旅游人数()f x （万人）与日期x （日）

的函数关系近似满足：1

()320

f x x =-，人均消费()

g x （元）与日期x （日）的函数关系近似满足：

()6020g x x =--.

（1）求该市旅游日收入()p x （万元）与日期x （*130,x x ≤≤∈N ）的函数关系式； （2）当x 取何值时，该市旅游日收入()p x 最大.

22.（本小题满分12

分）已知函数()log )a f x x =. （1）判断并证明()f x 的奇偶性；

（2）若两个函数()F x 与()G x 在闭区间[,]p q 上恒满足()()2F x G x ->，则称函数()F x 与()G x 在闭

区间[,]p q 上是分离的. 是否存在实数a 使得()y f x =的反函数1()y f x -=与()x g x a =在闭区间

[1,2]上分离？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.

高一数学期末复习试题（二）答案 一、选择题

二、填空题

13.{}1,3； 14.2； 15.15,44⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

； 16.①④.

三、解答题

17.解：（1）当3m =时，[]1,4B =-………………………………………………………1分

因为{}26A x x =≤≤………………………………………………………………………3分 所以[]2,4A B = ……………………………………………………………………………4分

[]1,6A B =- ………………………………………………………………………………5分 （2）因为B A ⊆，所以当B =∅时，521m m ->+……………………………………6分 所以4

3

m <

……………………………………………………………………………………7分 当B ≠∅时，则52152216m m m m -≤+⎧⎪

-≥⎨⎪+≤⎩

……………………………………………………………8分

解得

43

32

m ≤≤………………………………………………………………………………9分 综上所述：实数m 的取值范围为3

2

m ≤……………………………………………………10分

18.解：（1）因为1cos 21

()2sin(2)262

x f x x x -π=

+=-+……………………2分 所以()f x 的最小值正周期T =π……………………………………………………………4分 由2,62

x k k ππ

-

=+π∈Z 解得()f x

的对称轴方程为：,32

k x k ππ=

+∈Z …………………………………………7分 （2

）当222262k x k πππ

-+π≤-≤+π……………………………………………………9分

即,63

k x k k ππ

-+π≤≤+π∈Z 时，()f x 为增函数…………………………………11分

所以()f x 的增区间为,,63k k k ππ⎡⎤

-+π+π∈⎢⎥⎣⎦

Z ……………………………………12分

19.（1）因为()f x 是定义在(1,1)-上的奇函数

所以(0)0f b ==…………………………………………………………………………2分 得()f x =

3分 而12

()25

f ==，1a =……………………………………………………………5分

1

0a b =⎧⎨=⎩

………………………………………………………………………………………6分 （2）()f x 在(1,1)-上为增函数 证明如下：由（1）可知2

()1x

f x x

=

+…………………………………………………7分 任取12,(1,1)x x ∈-且12x x <……………………………………………………………8分 则1212122212()(1)

()()(1)(1)

x x x x f x f x x x ---=

++…………………………………………………9分

因为12x x <，所以120x x -<…………………………………………………………10分 因为12(1,1)x x ∈-，所以1210x x ->…………………………………………………11分 所以12()()0f x f x -<

即()f x 在(1,1)-上为增函数……………………………………………………………12分 20.（1）因为()f x 相邻的两对称中心的距离为2

π， 所以

22

T π

=，即T =π…………………………………………………………………1分

所以22T

ωπ

=

=…………………………………………………………………………2分 所以()sin(2)f x x ϕ=+

因为()sin()1126f ϕππ=+=，所以2,3

k k ϕπ

=+π∈Z ……………………………3分

因为ϕ<π，所以3ϕπ

=………………………………………………………………4分

所以()sin(2)3

f x x π

=+………………………………………………………………6分

（2）解法一：

将函数sin y x =的图像纵坐标不变，横坐标向左平移3

π

个单位…………………8分

得到sin()3y x π

=+的图像……………………………………………………………9分

然后将sin()3y x π=+的图像纵坐标不变横坐标缩短为原来的1

2…………………11分

得到sin(2)3

y x π

=+的图像…………………………………………………………12分

解法二：将函数sin y x =的图像纵坐标不变横坐标缩短为原来的1

2

……………8分

得到sin 2y x =的图像………………………………………………………………9分 然后将sin 2y x =的图像纵坐标不变横坐标向左平移

6

π

个单位…………………11分 得到sin(2)3

y x π

=+的图像…………………………………………………………12分

21.解：（1）40(120,)

()80(2030,)

x x x g x x x x + ≤<∈⎧=⎨- ≤≤∈⎩N N …………………………………3分

()()()p x f x g x =⋅

2

21120(120,20

()17240(2030,20x x x x p x x x x x ⎧-++ ≤<∈⎪⎪=⎨⎪-+ ≤≤∈⎪⎩N)N)……………………………………6分

（2）由（1）可知，()p x 在[1,10]上为增函数，在[10,20)上为减函数…………8分 当[1,20)x ∈时，max ()(10)125p x p ==……………………………………………9分 因为()p x 在[]20,30上为减函数，

所以当[20,30]x ∈时，max ()(20)120p x p ==……………………………………10分 综上所述，当10x =时max ()125p x =………………………………………………12分 22.解：（1

0x x >+≥

所以()f x 的定义域为R ………………………………………………………………1分

()log )a f x x -=-

log log )()a

a x f x ==-=-…………………………………2分

所以对任意x ∈R 有()()f x f x -=-…………………………………………………3分 所以()f x 为R 上的奇函数……………………………………………………………4分 （2）因为x ∈R ，所以y ∈R ………………………………………………………5分

由log )a y x =+

得y a x =+………………………………………6分

y a x =-

两边平方整理后得：11

()2y y x a a

=-

所以111

()(),2x x f x a x a

-=-∈R

所以111

()()()2x x f x g x a a

--=+……………………………………………………7分

假设存在实数a 使得()y f x =的反函数1()y f x -=与()x g x a = 在闭区间[1,2]上分离. 所以1()()2f x g x -->即1

4x x

a a +

>在闭区间[1,2]上恒成立……………………8分 令1

()x x h x a a

=+

,x t a =,[1,2]x ∈ 当1a >时，x t a =在[]1,2上为增函数，

2,t a a ⎡⎤∈⎣⎦，所以1()h t t t =+在2

,a a ⎡⎤⎣⎦上为增函数，所以min 1()(1)h x h a a ==+ 由1

4a a

+>

解得2a >

2a <-

，所以2a >+9分

当01a <<时同理可得1

()x x h x a a

=+在[]1,2上为增函数

所以min 1

()(1)h x h a a

==+…………………………………………………………10分

由1

4a a

+

>解得2a >2a <-，所以02a <<11分

综上所述：存在02a <<-2a >+()y f x =的反函数

1()y f x -=与()x g x a =在闭区间[1,2]上分离………………………………………12分下载本文