1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列_________，这个常数叫做等比数列的公比______，公比通常用字母q表示(q≠0)．即：＝q(n≥2，q≠0，n∈N*)．
破疑点：(1)等比数列的定义可简述为＝q(q为常数，q≠0)．
①由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q也不能为0.
②均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还应注意公比是从第2项起每一项与其前一项之比，不能前后颠倒次序．
(2)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第n(n>3，n∈N*)项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，但是可以说此数列从第2项起或第(n－1)项起是一个等比数列．
(3)常数列都是等差数列，却不一定都是等比数列．例如，各项都为0的常数列，它就不是等比数列；各项都不为0的常数列就是等比数列．
练习：观察下面几个数列，其中一定是等比数列的有哪些？
(1)数列1,2,6,18,54，…；
(2)数列{an}中，已知＝2，＝2；
(3)常数列a，a，…，a，…；
(4)数列{an}中，＝q，其中n∈N*.
[解析] (1)不符合等比数列的定义，故不是等比数列．
(2)不一定是等比数列，当数列只有三项时，它是等比数列；当数列多于3项时，不一定也等于2，故它不一定是等比数列．
(3)不一定是等比数列．当a＝0时，无意义，它不是等比数列；当a≠0时，＝1，数列是等比数列．
(4)是等比数列．等比数列的定义用符号表示就是＝q(n∈N*)．
2．等比中项
(1)定义：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项_________．
(2)公式：若G是a与b的等比中项，则＝_________，所以G2＝ab______，G＝±_______.
破疑点：(1)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．
(2)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．所以“a，G，b成等比数列”与“G＝”是不等价的．
(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab(a，b均不为0)”，可以用它来判断或证明三数成等比数列．
练习：方程x2－5x＋4＝0的两根的等比中项是( )
A. B．±2 C．± D．2
[答案] B
[解析] 设方程的两根为x1、x2，由韦达定理，得x1x2＝4，
∴两根的等比中项为±＝±2.
3．等比数列的通项公式
首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式是an＝a1qn－1______.
破疑点：(1)在已知a1和q的前提下，利用通项公式an＝a1·qn－1可求出等比数列中的任意一项．
(2)在等比数列中，已知a1、n、q、an四个量中的三个，可以求得另一量，即“知三求一”．
(3)等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1，还可以改写为an＝qn，当q>0，且q≠1时，y＝qx是一个指数函数，而y＝·qn是一个不为0的常数与指数函数的积．因此等比数列{an}的图象是函数an＝·qn的图象上一群孤立的点．
练习：已知等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝________.
[答案] －2n或(－2)n
[解析] 设公比为q，则a3＝a1q2，∴q2＝＝4，∴q＝±2.
∴an＝(－2)×2n－1＝－2n或an＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n.
考点一：等比数列通项公式
例1、已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
[解析] 解法一：由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝a1q2，代入已知得，
，即，
∴
由②得a1＝，代入①得2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2，或q＝.
当q＝2时，a1＝1，an＝2n－1；
当q＝是，a1＝4，an＝23－n.
解法二：∵a1a3＝a，
∴a1a2a3＝a＝8，
∴a2＝2.
从而，
解之得a1＝1，a3＝4，或a1＝4，a3＝1，当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝.
故an＝2n－1，或an＝23－n.
跟踪练习：在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
[解析] (1)设公比为q，由题意，得
由得q3＝4，∴q＝.
∴a1＝＝，
∴an＝a1qn－1＝×4＝2.
(2)设公比为q，由题意，得
由得q＝，∴a1＝32.
又an＝1，∴32×()n－1＝1，
即26－n＝20，∴n＝6.
考点二：等比中项
例2、等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是( )
A．90 B．100 C．145 D．190
[答案] B
[解析] 设公差为d，由题意得a＝a1·a5，
∵a1＝1，∴(1＋d)2＝1＋4d，
∴d2－2d＝0，∵d≠0，∴d＝2，
∴S10＝10×1＋×2＝100，故选B.
跟踪练习：等差数列{an}中，公差d≠0，且a3是a1和a9的等比中项，则＝________.
[答案]
[解析] 由题意知，a3是a1和a9的等比中项，
∴a＝a1a9，
∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，解得a1＝d，
∴＝＝.
考点三：等比数列的实际应用
例3、培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒(保留两个有效数字)?
[解析] 由于每代的种子数是它的前一代种子数的120倍，逐代的种子数组成等比数列，记为{an}，其中a1＝120，q＝120，因此，a5＝120×1204≈2.5×1010.
答：到第五代大约可以得到种子2.5×1010粒．
跟踪练习：容积为aL(a>1)的容器盛满酒精后倒出1L，然后加满水，再倒出1L混合溶液后又用水加满，如此继续下去，问第n次操作后溶液的浓度是多少？当a＝2时，至少应倒出几次后才可能使酒精浓度低于10%?
[解析] 开始的浓度为1，操作一次后溶液的浓度是a1＝1－.投操作n次后溶液的浓度是an，则操作n＋1次后溶液的浓度是an＋1＝an(1－)．所以{an}构成以a1＝1－为首项，q＝1－为公比的等比数列．所以an＝(1－)n，即第n次操作后溶液的浓度是(1－)n.当a＝2时，由a1＝()n<，得n≥4.
因此，至少应倒4次后才可以使酒精浓度低于10%.
考点四：等比数列的判定
例4、已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)
(1)求证{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
[解析] (1)∵an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)即bn＋1＝2bn，
∵b1＝a1＋1＝2≠0.∴bn≠0，
∴＝2，
∴{bn}是等比数列．
(2)由(1)知{bn}是首项b1＝2公比为2的等比数列，
∴bn＝2×2n－1＝2n即an＋1＝2n，
∴an＝2n－1.
跟踪练习：在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝，证明数列{－1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式．
[解析] 由a1＝2，an＋1＝可知，对n∈N*，an≠0.
由an＋1＝两边取倒数得，＝＋.
即－1＝，
∵a1＝2，∴－1＝－.
∴数列{－1}是首项为－，公比为的等比数列．
∴－1＝－n－1＝－n.
∴an＝.
例： 等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5、a7的等比中项．
[错解] 设该等比数列的公比为q，首项为a1，
∵a2－a5＝42，∴q≠1，由已知，得
，
∴
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
∴由②除以①，得q(1－q)＝.
∴q＝，
∴a1＝＝96.
∴a6＝a1q5＝96×()5＝3.
∵a5、a7的等比中项为a6，
∴a5、a7的等比中项为3.
[辨析] 错误的原因在于认为a5，a7的等比中项是a6，忽略了同号两数的等比中项有两个且互为相反数．
[正解] 设该等比数列的公比为q，首项为a1，
∵a2－a5＝42，∴q≠1，
由已知，得，
∴
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
∴由得q(1－q)＝，
∴q＝，∴a1＝＝96.
令G是a5、a7的等比中项，则应有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×()10＝9，
∴a5、a7的等比中项是±3.
2.4.2 等比数列的性质
1.等比数列{an}的一些简单性质
(1)对于任意正整数n、m都有＝qn－m.
(2)对任意正整数p、q、r、s，若p＋q＝r＋s，则apaq＝ar·as_______________特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝(ap)2______.
(3)对任意常数k(k≠0)，{kan}仍成等比数列，公比为q_____.
(4){an}、{bn}都是等比数列，则{anbn}与{}都是等比数列，且公比分别为原公比的积与商________．
(5)等比数列{an}中，等间隔(即序号成等差数列)的项仍成等比数列；等间隔的k项之和(或积)仍成等比数列．
如：a1，a3，a5，…，a2n－1…成等比数列．
a1，a4，a7，…，a3n－2…成等比数列．
a3，a7，a11，…，a4n－1…成等比数列．
a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…，a2n－1＋a2n…成等比数列等等．
(6){an}是有穷等比数列，则与首末两项等距离的两项积相等，且等于首末两项之积．即：a1an＝a2an－1___________＝a3an－2
_________＝…＝akan－k＋1______________.
练习：(1)等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝________；
(2)已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝( )
A．5 B．10 C．15 D．20
[答案] (1)4 (2)A
[解析] (1)由等比数列的性质，得a＝a3a7＝16，
∵a3>0，a7>0，∴a5>0，∴a5＝4.
(2)由等比数列的性质，得a4a6＝a，a2a4＝a，
∴(a3＋a5)2＝a＋2a3a5＋a，
＝a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，
∴a3＋a5＝±5.
∵an>0，∴a3＋a5＝5.
2．等比数列的单调性
(1)当a1>0，q>1或a1<0,0 (3)当q＝1时，数列{an}是常数列； (4)当q<0时，数列{an}是摆动数列． 练习：等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，则下列条件中，使{an}一定为递减数列的条件是( ) A．|q|<1 B．a1>0，q<1 C．a1>0,0 [答案] C [解析] 等比数列的增减性由首项的符号以及公比的绝对值来决定．由an＋1－an＝a1qn－1(q－1)<0，得a1>0,0 3．等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或，a，aq. (2)若四个数成等比数列，可设a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设，，aq，aq3. 练习：有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，则这四个数为________． [答案] 3,6,12,24 [解析] 设这四个数分别为a、aq、aq2、aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列， ∴， 整理得，解得q＝2，a＝3. 因此所求四个数为3,6,12,24. 考点一：等比数列的性质 例1、在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则a10＝__________. [答案] 512 [解析] 由等比数列的性质，得a3a8＝a4a7＝－512， 由，得或. ∵q为整数， ∴a3＝－4，a8＝128. ∴q5＝＝＝－32， ∴q＝－2. ∴a10＝a8·q2＝128×4＝512. 跟踪练习：(1)在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝__________. (2){an}为等比数列，且a1a9＝，a3＋a7＝20，则a11＝________. [答案] (1)25 (2)1或 [解析] (1)解法一：∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5， ∴a8a9a10a11＝52＝25. 解法二：由已知得a1q6·a1q11＝aq17＝5， ∴a8a9a10a11＝a1q7·a1q8·a1q9·a1q10＝a·q34＝(a·q17)2＝25. (2)∵a1a9＝a3a7＝， ∴a3，a7是方程x2－20x＋＝0的两根． 解得或. ①若a3＝4，a7＝16，则由a7＝a3q4得，q4＝4， ∴a11＝a7q4＝16×4＝. ②若a7＝4，a3＝16，则由a7＝a3q4得，q4＝， ∴a11＝a7q4＝4×＝1. 故a11＝，或a11＝1. 考点二：对称法设未知项 例2、已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数． [解析] 设四个数为－a、、a、aq， 则由题意得， 解得或. 因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32. 跟踪练习：三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，则这三个数为________． [答案] －4,2,8 [解析] 由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2， 这三个数可表示为2－d,2,2＋d， ①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8. ②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6，或d＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4. ③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，∴d＝0(舍去)． 综上可知此三数为－4,2,8. 考点三：等比数列的综合应用 例3、设数列{an}的首项a1＝a≠，且an＋1＝. 记bn＝a2n－1－，n＝1,2,3，…. (1)求a2、a3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论． [解析] (1)a2＝a1＋＝a＋，a3＝a2＝a＋. (2)∵a4＝a3＋＝a＋，所以a5＝a4＝a＋， 所以b1＝a1－＝a－，b2＝a3－＝(a－)，b3＝a5－＝(a－)． 猜想：{bn}是公比为的等比数列． 证明如下： ∵bn＋1＝a2n＋1－＝a2n－＝(a2n－1＋)－＝(a2n－1－)＝bn (n∈N*)， ∴{bn}是首项为a－，公比为的等比数列． 跟踪练习：在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知a1＝1，且a1＝b1，a2＝b2，a8＝b3. (1)求数列{an}的公差d和数列{bn}的公比q； (2)是否存在常数a，b使得对一切正整数n，都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a和b；若不存在，说明理由． [解析] (1)由已知a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3，得 ，解得或(舍去)． (2)假设存在a，b使得an＝logabn＋b成立， 即有1＋5(n－1)＝loga6n－1＋b. 整理，得(5－loga6)n－(4＋b－loga6)＝0. ∵an＝logabn＋b对一切正整数n恒成立． ∴，∴a＝，b＝1. 例：三个正数能构成等比数列，它们的积是27，平方和为91，则这三个数为________． [错解] 1,3,9或－1,3，－9 设三数为，a，aq，则 由①得a＝3代入②中得q＝±3或q＝±. ∴当q＝3时，三数为1,3,9；当q＝－3时，三数为－1，3，－9；当q＝时三数为9,3,1；当q＝－时，三数为－9,3，－1. 综上可知此三数为1,3,9或－1,3，－9. [辨析] 错解没有注意到“三个正数成等比数列”，因此应有公比q>0. [正解] 1,3,9 设三数为，a，aq，则 由①得a＝3，代入②中得q＝±3或q＝±， ∵三个数为正数，∴q>0，∴q＝3或. 当q＝3时，三数为1,3,9， 当q＝时，三数为9,3,1， 综上知，这三个数为1,3,9.下载本文
