一.(18分)填空：设

1. A-B的Jordan标准形为J=

2. 是否可将A看作线性空间V2中某两个基之间的过渡矩阵（    ）。

3. 是否可将B看作欧式空间V2中某个基的度量矩阵。（    ）

4.（         ），其中。

5 .若常数k使得kA为收敛矩阵，则k应满足的条件是（    ）。

6. AB的全体特征值是（     ）。

7.（    ）。

8. B 的两个不同秩的{1}-逆为。

二.(10分)设,对于矩阵的2-范数和F-范数，定义实数

，（任意）

验证是中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。

三.(15分)已知。

1. 求；

2. 用矩阵函数方法求微分方程满足初始条件x(0) 的解。

四.(10分)用Householder变换求矩阵的QR分解。

五.（10分）用Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值。（要求画图表示）

六. (15分)已知。

1. 求A 的满秩分解；   2. 求A+；

3. 用广义逆矩阵方法判断线性方程组 Ax=b 是否有解；

4. 求线性方程组Ax=b的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x0。（要求指出所求的是哪种解）

七.(15分)已知欧式空间R22 的子空间

R22 中的内积为

V中的线性变换为T(X)=XP+XT, 任意XV， 

1. 给出子空间V 的一个标准正交基；

2. 验证T 是V 中的对称变换；

3. 求V 的一个标准正交基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵.

八. (7分) 设线性空间Vn 的线性变换T 在基下的矩阵为A，Te表示Vn 的单位变换，证明：存在x00，使得T(x0)=(Te-T)(x0)的充要条件是为A的特征值.

矩阵论试题（07，12）

一.(18分)填空：

1. 矩阵的Jordan标准形为J=

2. 设则

3. 若A是正交矩阵，则cos(A)=

4. 设，A+是A的Moore-Penrose逆，则(-2A, A)+=

5. 设，则AB+I2I3的全体特征值是（     ）。

6. 设向量空间R2按照某种内积构成欧式空间，它的两组基为

和

且与的内积为则基的度量矩阵为（    ）。

二.(10分)设,定义实数

1. 证明是中的矩阵范数.

2. 证明该矩阵范数与向量的-范数相容.

三.(15分)已知。

1. 求；

2. 用矩阵函数方法求微分方程满足初始条件x(0) 的解。

四.(10分)用Givens变换求矩阵的QR分解。

五.（10分）用Gerschgorin定理隔离矩阵

的特征值。（要求画图表示）

六. (15分)已知。

1. 求A 的满秩分解；   2. 求A+；

3. 用广义逆矩阵方法判断线性方程组 Ax=b 是否有解；

4. 求线性方程组Ax=b的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x0。（要求指出所求的是哪种解）

七.(15分)设3维欧式空间V 中元素在V的标准正交基下的坐标为

(1，-1，0)T. 定义V的变换如下

1. 证明T是线性变换；

2. 证明T 是对称变换；

3. 求V 的一个标准正交基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵.

八. (7分) 设V是数域K上的2维线性空间，V的一组基为，V的两个子空间为

证明：V=W1W2.

答案：

1.;   2.;   3. I-2A;   4.;

5. 1,1,1,-2,-5,-8;   6. 

三. 1.;2..

四. 

五. D=diag(1,1,5,1)下载本文