| 全等三角形（4）：全等三角形中的倍长中线 |
上节课我们学习了全等三角形中的角平分线，请同学们回忆一下：
1、全等三角形的性质及判定；
2、角平分线的性质。
二、知识讲解
1、三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线
2、三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
3、等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)
4、三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
5、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
6、中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．
7、中线中位线相关问题(涉及中点的问题)
见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．
三、典型例题精析
【例题1】倍长中线（线段）
【题干】已知为的中线，，的平分线分别交于、交于．求证：．
【解析】延长到，使，连结、．
易证≌，∴，
又∵，的平分线分别交于、交于，
∴，
利用证明≌，∴，
在中，，∴．
【例题2】中位线的应用
【题干】如图所示，在中，为的中点，分别延长、到点、，使．过、分别作直线、的垂线，相交于点，设线段、的中点分别为、．
求证：（1）；(2)．
【解析】⑴ 如图所示，根据题意可知且，
且，
所以．
而、分别是直角三角形、的斜边的中点，
所以，，
又已知，
从而．
(2) 由(1)可知，
则由可得．
而、均为等腰三角形，
所以．
四、课堂运用
【基础】
1、已知：中，是中线．求证：．
2、如图，中，，是中线．求证：．
3、如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：．
4、已知△ABC中，AB=AC，BD为AB的延长线，且BD=AB，CE为△ABC的AB边上的中线．求证CD=2CE
5、如图所示，在中，，延长到，使，为的中点，连接、，求证．
【巩固】
1、如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线．
2、已知：ABCD是凸四边形，且AC 3、已知△ABC，，D，E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G，求证GD=GE． 4、在中，，点为的中点，点、分别为、上的点，且．以线段、、为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？ 课后作业 【基础】 1、已知：如图，梯形中，，点是的中点，的延长线与的延长线相交于点．求证：． 2、如图所示，在和中，、分别是、上的中线，且，，，求证． 3、在中，，，以为底作等腰直角，是的中点，求证：且． 【巩固】 1、如图，在中，是斜边的中点，、分别在边、上，满足．若，，则线段的长度为_________． 2、如图所示，在中，是的中点，垂直于，如果，求证． 3、是的中线，是的中点，的延长线交于．求证：． 4、如图，在五边形中，，，为的中点．求证：．
